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专题30 功率与机车启动问题
常考点 机车启动模型及解题方法分析
【典例1】
（多选）质量为m的物体做自由落体运动，经过时间t落地．在物体下落的过程中，以下说法正确的是
（　　）
A．下落过程中，重力的平均功率为mg2t
B．下落过程中，重力的平均功率为mg2t
C．落地前瞬间，重力的瞬时功率为mg2t
D．落地前瞬间，重力的瞬时功率为mg2t
【解析】物体做自由落体运动，由速度公式得：v＝gt，平均速度：；
A、B、下落过程重力的平均功率：＝mg＝mg＝，故A正确，B错误；
C、落地时重力的瞬时功率：P＝mgv＝mg×gt＝mg2t，故C错误，D正确。
【典例2】
据报道，山东将持续加大高铁建设力度，规划到2022年，全省高铁建成和在建里程达到3900千米，
不仅让老百姓的出行更加方便，也将推动各地经济文化技术交流。现有一列质量为m的动车，从静止开始，
以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程所受到的阻力f
保持不变。动车在时间t内（　　）
A．动车启动过程所受合外力不变
B．动车位移为s＝
C．平均速度为
D．动车先做匀加速运动后做加速度减小的加速运动
【解析】A、动车的功率恒定，根据P＝Fv可知v增大，动车的牵引力减小，受到的合力F合＝F﹣f将减小，故A错误；
CD、根据牛顿第二定律可知F﹣f＝ma，由于牵引力F减小，则动车的加速度减小，所以动车做加速度减小的变加速运动，其平均速度，故CD错误；
B、在整个运动过程中，根据动能定理可得：，解得s＝，故B正确。
1． 功率
（1）定义：功与完成这些功所用时间的比值．
（2）物理意义：描述力对物体做功的快慢．
（3）额定功率和实际功率
①额定功率：机械能够长时间工作的最大功率。
②实际功率：机械实际工作时的功率，不能长时间大于额定功率。
2． 功率的计算方法
(1)平均功率的计算
①利用＝。
②利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度。
(2)瞬时功率的计算
①利用公式P＝F·vcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。
②利用公式P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
③利用公式P＝Fv·v，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力。
3． 求解功率时应注意的“三个”问题
(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率；
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率；
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率．
4． 机车功率P=Fv
（1）F是机车的牵引力，不是机车的合力。
（2）在水平面上：匀速行驶时，F=f；加速行驶时，F-f= ma。
（3）有的问题中f大小恒定，有的问题中f与速率有关f=kv(或kv2)。
5． 模型一　以恒定功率启动
(1)动态过程
(2)这一过程的P－t图象、v－t图象和F－t图象如图所示：
6． 模型二　以恒定加速度启动
(1)动态过程
(2)这一过程的P－t图象、v－t图象和F－t图象如图所示：
7． 三个重要关系式
(1)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－F阻x＝ΔEk。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率达到最大，但速度没有达到最大，即v＝(3)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。
8． 倾斜、竖直机车启动问题
上坡最大速度vm=P/(f+mgsinθ) 下坡最大速度vm=P/(f-mgsinθ) 竖直提升最大速度vm=P/mg
9． 机车启动a-1/v图像和F-1/v图像问题
恒定功率启动a-1/v图像 恒定加速度启动F-1/v图像
由F－Ff＝ma，P＝Fv可得：a＝·－， ①斜率k＝②纵截距b=－③横截距= ①AB段牵引力不变，做匀加速直线运动； ②BC图线的斜率k表示功率P，知BC段功率不变，牵引力减小，加速度减小，做加速度减小的加速运动； ③B点横坐标对应匀加速运动的末速度为1/v0； ④C点横坐标对应运动的最大速度1/vm，此时牵引力等于阻力。
【变式演练1】
西安市蓝田县8月19日发生了特大暴雨，全县多处发生山体滑坡，多地突发洪水，政府紧急组织救援行动，
在救援行动中使用了起重机搬运重物．假如一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重
物的速度为v1时，起重机的功率达到最大值P，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大
速度v2匀速上升，重物上升的高度为h，则整个过程中，下列说法正确的是（　　）
A．钢绳的最大拉力为
B．钢绳的最大拉力为mg
C．重物匀加速的末速度为
D．重物匀加速运动的加速度为﹣g
【解析】AB、对重物受力分析：
匀加速阶段，由牛顿第二定律有
T﹣mg＝ma；
匀速阶段
T＝mg，
显然匀加速阶段绳拉力更大些。
由P＝Fv可知，匀加速阶段重物的速度为v1，起重机的功率达到最大值P时，牵引力F最大，则
Fm＝。
由牛顿第三定律知F＝T，即Tm＝Fm＝，故AB错误；
C、起重机的功率达到最大值P时，重物匀加速运动结束，此时有P＝F'v1，在匀加速运动过程中，由牛顿第二定律得：
F'﹣mg＝ma，
得F'＝mg+ma，则v1＝，故C错误；
D、由P＝F'v1得F'＝ 重物做匀加速运动的加速度大小为a＝＝﹣g，故D正确。
【变式演练2】
汽车沿平直公路以恒定功率P从静止开始启动，如图所示为牵引力F与速度v的关系，加速过程在图中的T点结束，所用的时间t＝8 s，通过的路程s＝50 m，8 s后汽车做匀速运动，若汽车所受阻力始终不变，则(　　)
A．汽车做匀速运动时的牵引力大小为2×105 N B．汽车所受的阻力大小为4×104 N
C．汽车的恒定功率为1.6×105 W D．汽车的质量为8×103 kg
【答案】C　
【解析】汽车的加速过程在T点结束，即此后汽车沿平直路面做匀速运动，由平衡条件和图象信息可得F－f＝0，汽车做匀速运动时的牵引力大小为F＝2×104 N，故A错误；汽车所受的阻力大小f＝2×104 N，故B错误；由图象信息得汽车的恒定功率P＝Fv＝2×104×8 W＝1.6×105 W，故C正确；汽车加速运动过程，牵引力做功为W＝Pt，根据动能定理可得Pt－fs＝mv2，解得m＝＝ kg＝8.75×103 kg，故D错误。
考点拓展练习
1．汽车发动机的额定功率是60kW，汽车的质量为2×103kg在平直路面上行驶，受到的阻力是车重的0.2倍。若汽车从静止出发，以1m/s2的加速度做匀加速运动，则出发12s时，汽车发动机的实际功率P；汽车能达到的最大速度vm分别为（　　）（g取10m/s2）
A．P＝60kW，vm＝12m/s B．P＝60kW，vm＝15m/s
C．P＝48kW，vm＝52m/s D．P＝72kW，vm＝12m/s
【解析】汽车做匀加速直线运动时，根据牛顿第二定律有：F﹣0.2mg＝ma
代入数据解得：F＝6×103N
当发动机功率增加到额定功率P0时，匀加速结束，根据功率公式P0＝Fv
得：v＝m/s＝10m/s
匀加速所用时间：t＝＝10s
出发12s时，汽车的实际功率已经达到了额定功率，有：P＝P0＝60kW
当汽车匀速行驶时，则有F＝f，汽车的最大速度为：vm＝m/s＝15m/s
2．一质量为m的汽车原来在平直路面上以速度v匀速行驶，发动机的输出功率为P．从某时刻开始，司机突然加大油门将汽车发动机的输出功率提升至某个值并保持不变，结果汽车在速度到达2v之后又开始匀速行驶。若汽车行驶过程所受路面阻力保持不变，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．汽车加速过程的最大加速度为
B．汽车加速过程的平均速度为
C．汽车速度从v增大到2v过程做匀加速运动
D．汽车速度增大时发动机产生的牵引力随之不断增大
【解析】A、设汽车所受的阻力为f，则开始时：P＝fv；加大油门后：P1＝f 2v；则P1＝2P；汽车在开始加大油门时的加速度最大，最大加速度为，故A正确；
B、汽车若做匀加速运动，则平均速度为；而汽车随速度的增加，由P＝Fv可知牵引力减小，则加速度减小，即汽车做加速度减小的加速运动，则平均速度不等于，故BCD错误。
3．如图所示为质量为m的汽车在水平路面上启动过程的v﹣t图象，Oa为过原点的倾斜直线，ab段是汽车以额定功率行驶时的加速阶段速度随时间变化的曲线，bc段是与ab段相切的水平直线。整个启动过程中阻力恒为f，则下列说法正确的是（　　）
A．0～t1时间内汽车牵引力F＝f+m
B．0～t1时间内汽车以恒定功率做匀加速运动
C．t1～t2时间内汽车的平均速度为
D．t1时刻汽车的牵引力小于t2时刻汽车的牵引力
【解析】A、0～t1时间内汽车的加速度为a＝，在此过程中，水平方向受到牵引力和阻力，根据牛顿第二定律F﹣f＝ma，解得F＝，故A正确；
B、0～t1时间内汽车做匀加速运动，牵引力恒定，速度逐渐增大，根据P＝Fv可知，汽车的功率逐渐增大，故B错误；
C、t1～t2时间内汽车做变加速直线运动，平均速度，故C错误；
D、t1～t2时间内汽车的功率不变，速度增大，牵引力减小，t2时刻后，牵引力减小到与阻力相同，汽车做匀速直线运动，故t1时刻汽车的牵引力大于t2时刻汽车的牵引力，故D错误。
4．一质量为1500kg的汽车，在平直路面上从静止开始在1500N的合外力作用下以恒定加速度启动，当速度达到20m/s时功率达到额定功率，接着以额定功率继续加速，最后以30m/s的最大速度匀速运动，整个运动过程中汽车所受阻力恒定，下列说法正确的是（　　）
A．汽车的额定功率为80kW
B．汽车的额定功率为90kW
C．汽车受到的阻力大小为2000N
D．汽车受到的阻力大小为4000N
【解析】当汽车的速度v1＝20m/s时汽车的功率达到额定功率，汽车的最大速度v2＝30m/s，汽车做匀速直线运动时处于平衡状态，设汽车的额定功率为P，设此时汽车的牵引力为F，则F＝，由平衡条件得：f＝F＝，汽车做匀加速直线运动时，汽车的牵引力F′＝，汽车做匀加速直线运动时，由牛顿第二定律得：F′﹣f＝ma，即﹣＝ma＝1500N，解得：P＝90000W＝90kW，f＝3000N，故B正确，ACD错误。
5．“金山银山，不如绿水青山”，现在越来越多的环保新能源电动车出现我们的生活中。为了检测某款新型电动车的性能，让其由静止开始沿平直公路行驶，用仪器测得不同时刻电动车的牵引力F与对应的速度v，并绘出F﹣图象如图所示（图中AB、BC均为直线，C点为实线与虚线的分界点）。假设电动车行驶中所受的阻力恒定，电动车总质量为200kg，重力加速度g取10m/s2，则由图象可知（　　）
A．电动车在AB段做匀速直线运动，在BC段做匀加速直线运动
B．电动车行驶中所受阻力为400N，最大速度为20m/s
C．BC段斜率的意义表示电动车的额定功率，大小为4000W
D．若测得BC段位移为6m，则可算得BC段经历时间为4s
【解析】A、AB段牵引力不变，根据牛顿第二定律知，加速度不变，做匀加速直线运动，BC图线的斜率表示电动车的功率，知BC段功率不变，速度增大，牵引力减小，做加速度逐渐减小的加速运动，故A错误；
B、由图可知，汽车行驶过程中，速度最大为15m/s，此时所受到的阻力等于牵引力，故f＝F＝400N，故B错误；
C、BC图线的斜率表示电动车的功率，知BC段功率不变，额定功率 P＝Fminvmax＝400×15＝6×103W，故C错误；
D、在AB段，根据P＝Fv可得
在BC段，根据动能定理可得Pt﹣fx＝，解得t＝4s，故D正确
6．如图所示，把两个相同的小球从离地面相同高度处，以相同大小的初速度v分别沿竖直向下和水平方向抛出，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A．两小球落地时速度相同
B．两小球落地时，重力的瞬时功率相等
C．从小球抛出到落地，重力对两小球做的功不相等
D．从小球抛出到落地，重力对两小球做功的平均功率不相等
【解析】AB、根据机械能守恒定律可知，两小球落地时速度大小相等，设两小球落地时速度大小为v′，平抛运动的小球落地时速度方向与水平方向成θ角，所以小球落地时重力的瞬时功率为：P＝mgv′sinθ；竖直下抛的小球落地时重力的瞬时功率为：P′＝mgv′，所以两小球落地时，速度不相等，平抛运动的小球重力的瞬时功率小于竖直下抛的小球重力的瞬时功率，故AB错误；
CD、从开始运动至落地，由于平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，下抛的小球在竖直方向做竖直下抛运动，所以平抛运动的小球运动时间大于竖直下抛运动的小球运动时间，根据W＝Fl，得重力做的功相同，根据平均功率公式＝ 可知，所以重力对平抛运动小球做功的平均功率小于重力对竖直下抛运动小球做功的平均功率，故C错误，D正确。
7．在水平公路上，质量为m的汽车从静止开始以恒定功率启动，经t时间达到最大速度v，汽车启动过程受到的阻力大小恒为f，则下列判断错误的是（　　）
A．汽车的额定功率为fv
B．汽车牵引力大小为2f时，速度大小为v
C．t时间内，汽车运动的位移小于vt
D．t时间内，汽车运动的位移大于vt
【解析】A、汽车达到最大速度时，做匀速直线运动，受力平衡，牵引力等于阻力，则汽车的额定功率：P＝fv，故A正确；
B、汽车牵引力大小为2f时，速度：v'＝＝，故B正确；
CD、作出速度随时间变化的图线如图所示：
t时间内，图线与坐标轴围成的面积表示位移，根据几何关系可知，x＞，故C错误，D正确。
8．图甲是全球最大回转自升塔式起重机，它的开发标志着中国工程用超大吨位塔机打破长期依赖进口的局面，也意味着中国桥梁及铁路施工装备进一步迈向世界前列。该起重机某次从t＝0时刻由静止开始提升质量为m的物体，其a﹣t图像如图乙所示，t1～t2内起重机的功率为额定功率，不计其他阻力，重力加速度为g，则以下说法正确的是（　　）
A．该起重机的额定功率为ma02t1
B．该起重机的额定功率为（mg+ma0）a0（t2﹣t1）
C．0～t1和t1～t2时间内牵引力做的功之比为t1：2（t2﹣t1）
D．0～t1和t1～t2时间内牵引力做的功之比为t1：2t2
【解析】AB、0﹣t1时间内，物体匀加速上升，t1时刻达到额定功率，由牛顿第二定律得：F﹣mg＝ma0，
解得该过程中物体所受牵引力大小为：F＝m（g+a0），
t1时刻物体的速度大小为：v＝a0t1，
则该起重机的额定功率为：P＝Fv＝m（g+a0）a0t1，故AB错误：
CD、0﹣t1时间内牵引力做的功为：W1＝Fx＝m（g+a0）×，
t1﹣t2时间内牵引力做的功为：W2＝P（t2﹣t1）＝m（g+a0）a0t1（t2﹣t1），
则二者之比为：，故C正确，D错误。
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