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专题44 电场的力学性质
常考点 电场的力学性质
【典例1】
(多选)如图所示，B为线段AC的中点，如果在A点放一个+Q的点电荷，测得B点的电场
强度大小EB＝48N/C，则（　　）
A．C点的电场强度大小EC＝24N/C
B．C点的电场强度方向向右
C．把q＝10﹣9C的试探电荷放在C点，则其所受电场力的大小为1.2×10﹣8N
D．若要使B点的电场强度EB＝0，可在C处放一个﹣Q的点电荷
解：AB．设B点到A点的距离为R，则C点到A点的距离为2R，由点电荷的电场强度公式有：，同理有，由于EB＝48N/C，所以可得EC＝12N/C，由于场源电荷带正电，所以C点的电场强度的方向向右，故A错误，B正确；
C．把q＝10﹣9C的试探电荷放在C点，则其所受电场力的大小为F＝ECq＝1.2×10﹣8N，故C正确；
D．若要使B点的电场强度EB＝0，根据叠加原理可知应该在C处放一个Q的点电荷，故D错误。
【典例2】
若正电荷Q周围的电场线如图所示，由图可知，以下说法正确的是（　　）
A．a点的电场强度小于b点的电场强度
B．把另一个带正电的点电荷q放在a点，q所受的电场力向右
C．把另一个带负电的点电荷q放在b点，q所受的电场力向右
D．无论是正电荷还是负电荷，无论放在a点或b点，q所受的电场力都向右
解：A、电场线的疏密表示场强的强弱，电场线密的地方电场强，疏的地方电场弱，所以a点的电场强度大于b点的电场强度，故A错误；
B、把另一个带正电的点电荷q放在a点，它所受的电场力与电场线方向相同，方向向右，故B正确；
C、把另一个带负电的点电荷q放在b点，它所受的电场力与电场线方向相反，方向向左，故C错误；
D、根据对B、C的分析可知，故D错误。
【典例3】
(多选)如图甲是某一点电荷形成的电场中的一条电场线，A、B是电场线上的两点，一负电荷q仅在电场力作用下以初速度v0从A运动到B过程中的速度图线如图乙所示，则以下说法中正确的是（　　）
A．此电场一定是正电荷形成的电场
B．A、B两点的电场强度是EA＜EB
C．A、B两点的电势是φA＞φB
D．负电荷q在A、B两点的电势能大小是EpA＞EpB
解：A、点电荷做加速度增大的减速运动，电场力增大，场强增大，则点电荷应靠近场源电荷，所以此电场应是负电荷形成的电场，故A错误。
B、速度图象的斜率等于物体的加速度，由图可知点电荷从A向B运动的过程中加速度越来越大，故A点的场强小于B点场强。即EA＜EB，故B正确。
C、由于点电荷沿电场线运动过程中做减速运动，电场力做负功，电势能增大，而负电荷在电势高处电势能小，在电势低处电势能大，所以得知电势应降低，即A点电势比B点的电势高，φA＞φB，故C正确。
D、由上知，点电荷的速度减小，动能减小，由于仅在电场力作用，所以根据能量守恒电势能电势能增大，即EPA＜EPB．故D错误。
1． 电荷与电荷守恒定律
2． 库仑定律
(1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
(2)表达式：F＝k，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫做静电力常量。
(3)适用条件：真空中的点电荷。
①在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式。
②当两个带电体的间距远大于本身的大小时 ，可以把带电体看成点电荷。
(4)库仑力的方向：由相互作用的两个带电体决定，且同种电荷相互排斥，为斥力；异种电荷相互吸引，为引力。
3． 对库仑定律的理解
(1)F＝k，r指两点电荷间的距离。对可视为点电荷的两个均匀带电球，r为两球心间距。
(2)当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能视为点电荷，它们之间的静电力不能认为趋于无限大。
(3)不必将表示电性的正、负号代入公式，库仑力的方向可以根据“同性相斥、异性相吸”的规律判断。
4． 相似三角形法解库仑力平衡问题
【问题】如图平衡，Q、d、l一定，讨论m、q与x大小关系
【解析】如图，受力分析，三力平衡可构成矢量三角形，根据相似三角形有，
,又因为库仑力
所以可得：
讨论：(1)若m不变，因为Q、d、l一定，则T不变；q∝x3
(2)若q不变，因为Q、d、l一定，则T∝1/x3；m∝1/x3
5． 两电悬绳平衡问题的多种解法
如图，比较m1和m2、q1和q2大小
(1)电荷间的库仑力是相互作用力，无论q1和q2大小关系如何，二者间的库仑力始终等值反向，所以q1和q2大小无法判断；
(2)方法一、正弦定理法
对m1、m2受力分析，三力平衡可构成矢量三角形，根据正弦定理有，
对m1：
对m2：
对悬绳构成的三角形有：
联立解得m1gl1sinα=m2gl2sinβ
特殊情况：若l1=l2，α=β，则m1=m2。
方法二、力乘力臂法
以整体为研究对象，以悬点为转动轴，两根轻绳拉力的力臂均为零，根据转动平衡知:动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂，即m1g·l1sinα=m2g·l2sinβ。
方法三、重心法
以整体为研究对象，整体受重力和两根轻绳的拉力，根据三力平衡必共点，因此整体的重心必过悬点正下方。所以有m1·l1sinα=m2·l2sinβ。
6． “三个自由点电荷平衡”的问题
(1)平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合场强为零的位置．
(2)
7． 电场的力的性质
8． 电场强度三个表达式：
定义式 决定式 关系式
表达式]
适用范围 任何情况(E与F、q无关，取决于电场本身) 真空中点电荷 匀强电场
9． 点电荷电场强度
（1）公式：
（2）适用：真空中静止的点电荷。均匀带电球体（或球壳）外各点的电场强度也可用此公式，式中r为球心到该点的距离。一个半径为R的均匀带电球体（或球壳）在外部产生的电场，与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。
（3）决定式。由场源电荷Q和场源电荷到某点的距离r决定。
（4）方向：当Q为正电荷时，E的方向沿半径向外；当Q为负电荷时，E的方向沿半径向内。
10． 孤立点电荷的电场模型
(1)正(负)点电荷的电场线呈空间球对称分布指向外(内)部。
(2)离点电荷越近，电场线越密(场强越大)。
(3)以点电荷为球心作一球面，则电场线处处与球面垂直，在此球面上场强大小相等，但方向不同。
11． 等量同种和异种点电荷的电场强度的比较
比较项目 等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线分布图
连线中点O处的场强 连线上O点场强最小，指向负电荷一方 为零
连线上的场强大小(从左到右) 沿连线先变小，再变大 沿连线先变小，再变大
沿中垂线由O点向外场强大小 O点最大，向外逐渐减小 O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′、B与B′的场强 等大同向 等大反向
【变式演练1】
如图所示，A、B、C三个可视为质点的小球，质量均为m。A小球带电量为+q并固定在绝缘天花板上，带
电小球B绕小球A正下方的O点在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，小球A、B间的距离为R。小
球C用细线悬挂于同一天花板上的D点，与小球B在同一水平面内做半径为的匀速圆周运动，已知重力
加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法错误的是（　　）
A．小球B和C转动的角速度大小一定相同
B．小球B所带的电荷量大小为
C．A、B间的库仑力与C、D间细线拉力之比为2：
D．小球B和C做圆周运动的向心加速度之比为2：1
解：对小球B、C受力分析如下：
A、设AO距离为h，则对小球B受力分析，由牛顿第二定律得：
mgtanθ＝mrω2，
且r＝htanθ，
解得：
，
对C小球同理有，故小球B和C的角速度大小相同，故A正确；
B、由题可知，AB与竖直方向夹角为θ＝45°，对小球B受力分析有：
，
解得：
qB＝，
故B错误；
C、对B小球有：
FBcosθ＝mg，
解得：
FB＝mg，
对C小球有：
Tcosα＝mg，
由几何关系得：
cosα＝，
则T＝，
则FB：T＝2：，
故C正确；
D、由a＝rω2可知：
a1：a2＝2：1
【变式演练2】
用两轻绳的末端各系质量分别为mA、mB的带同种电荷的小球，两绳另一端同系于O点，如图所示，绳长分别为LA、LB，且mB＝3mA，LA＝3LB，平衡后绳与竖直方向夹角分别为α、β。关于两夹角的大小关系，正确的判断是（　　）
α＝β B．α＜β C．α＞β D．无法确定
解：对A、B球进行受力分析，根据共点力平衡和几何关系得：将两个小球以及两根绳子作为系统，系统受到的外力有A和B球的重力，O点对两绳的拉力，合力为零，而且合力矩也为零，O点是支点，则有：
mAgLAsinα＝mBgLBsinβ
得：
即sinα＝sinβ
因为α、β都为锐角，所以
α＝β
【变式演练3】
如图所示，光滑水平面上有三个带电小球a、b、c（均可视为质点），它们所带电荷量的绝对值分别为q1、
q2、q3，且q1为正电荷，在它们之间的静电力相互作用下均处于平衡状态，则（　　）
A．q2带正电
B．a对b库仑力方向水平向右
C．一定存在+＝
D．q1＞q3
解：AB．因q3电性不确定，q2可带正电也可带负电，a对b库仑力方向可能水平向右也可能水平向左，AB错误；
C．设a、b之间的距离为r1，b、c之间的距离为r2，由题意可知都处于平衡状态，对a球有
对c 球有
解得
两式相加可得
+＝＝1
即有
+＝ C正确；
D．因为q2、q3的电性不确定，所以无法确定q1、q3的大小，D错误。
1．关于电学概念和规律的理解，以下说法正确的是（　　）
A．摩擦起电并不是产生了电荷，只是电子发生了转移
B．质子、电子等带电荷量绝对值为2.0×10﹣19C的粒子叫元电荷
C．电场线是为了形象描述电荷产生的电场而人为引入的，它是客观存在的
D．对于不能看做点电荷的两个带电体，库仑定律不适用，静电力也就不存在了
解：A、摩擦起电的实质因为物体内部原子核对电子的束缚能力不同，在摩擦时有的物体得电子，带负电；另一物体失去电子，带正电，故A正确；
B、由元电荷定义：将电子或质子所带电量的绝对值称为元电荷，而不是把质子或电子叫元电荷，故B错误；
C、电场是客观的存在，但电场线实际上是不存在的，它是人为引入的用来描绘电场分布的，故C错误；
D、对于不能看成点电荷的两个带电体，库仑定律不适用，但静电力依然存在，故D错误。
2．真空中有两个静止的点电荷，它们之间的静电力大小为F，当两者的距离和其中一个点电荷的电量都增加一倍时，它们之间的静电力大小变为（　　）
A． B．F C．2F D．4F
解：真空中两个静止的点电荷，它们之间的作用力大小为：
F＝k，
当两者的距离和其中一个点电荷的电量都增加一倍时，两个点电荷之间的距离变为原来的2倍，其中一个电荷的电量变为原来的2倍，则两点间的作用力大小为：
F'＝k＝＝F，
3．如图，质量分别为mA和mB的两小球带有同种电荷，电荷最分别为qA和qB，用绝缘细线悬挂在天花板上．平衡时，两小球恰处于同一水平位置，细线与竖直方向间夹角分别为θ与α（θ＞α）。两小球突然失去各自所带电荷后开始摆动，最大速度分别vA和vB，最大动能分别为EkA和EkB。则（　　）
A．mA一定大于mB B．qA一定大于qB
C．vA一定大于vB D．EkA一定小于EkB
解：A、对小球A受力分析，受重力、静电力、拉力，如图：
根据平衡条件，有：tanθ＝
故：mA＝
同理有：mB＝
由于θ＞α，故mA＜mB，故A错误；
B、两球间的库仑力是作用力与反作用力，一定相等，与两个球电量是否相等无关，故B错误；
C、设悬点到AB的竖直高度为h，则摆球A到最低点时下降的高度：ΔhA＝﹣h＝h（﹣1）
小球A摆动过程机械能守恒，有mAgΔhA＝mAvA2
解得：vA＝。
同理可得：摆球B到最低点时下降的高度：ΔhB＝﹣h＝h（﹣1）
小球B摆动过程机械能守恒，有mBgΔhB＝mBvB2
解得：vB＝由于A球摆到最低点过程，下降的高度Δh较大，故A球的速度较大，故C正确；
D、小球摆动过程机械能守恒，有mgΔh＝EK，设绳与竖直方向夹角为β，故
Ek＝mgΔh＝mgL（1﹣cosβ）＝L（1﹣cosβ）＝FLcosβtan
其中FLcosβ相同，故β越大，动能越大，因为θ＞α，故EkA一定大于EkB，故D错误
4．如图所示，竖直放置的等腰直角三角形ABC顶角∠C＝90°，直角边CA和CB光滑且绝缘，AB边固定在水平面上。有两个质量均为m的带异种电荷的小球静止在图中的位置，此时两个小球的连线与AB边平行，重力加速度为g，则两球之间的库仑力为（　　）
A．mg B．mg C．mg D．mg
解：对右侧小球分析受力，作出受力示意图，根据平衡条件得
F＝mgcos45°＝mg
即两球之间的库仑力为mg，故ACD错误，B正确。
5．如图所示，A、B是两个电荷量都是Q的点电荷，相距l，AB连线中点为O。现将另一个电荷量为q的点电荷放置在AB连线的中垂线上，距O为x的C处。此时q受力大小为F1，若A的电荷量变为﹣Q，其他条件都不变，此时q所受的静电力大小为F2，为使F2小于F1，l和x的大小应满足什么关系为（　　）
A．l＞2x B．l＜2x C．l＞x D．l＜x
解：设q为正电荷，在C点，A、B两电荷对q产生的电场力大小相同，为：FA＝FB＝，方向分别为由A指向C和由B指向C，如图甲所示：
故C处的电场力大小为：F1＝2FAsinθ，方向由O指向C；
若A的电荷量变为﹣Q，其他条件都不变，则C处q受到的电场力：F2＝2FAcosθ，方向由B指向A。
为使F2小于F1，则：2FAcosθ＜2FAsinθ，即：tanθ＞1，
根据图中几何关系可得：tanθ＝，则有：l＜2x，故B正确、ACD错误。
6．如图所示，M、N为两个固定的等量同种正电荷，在其连线的中垂线上的P点放一个静止的负电荷（重力不计），下列说法中正确的是（　　）
A．从P到O，一定加速度越来越小，速度越来越大
B．从P到O，可能加速度先变大，再变小，速度越来越大
C．越过O点后，加速度一直变大，速度一直变小
D．越过O点后，加速度一直变小，速度一直变小
解：A、B在等量同种电荷连线中垂线上电场强度方向O→P，负点电荷q从P点到O点运动的过程中，电场力方向P→O，速度越来越大。但电场线的疏密情况不确定，电场强度大小变化情况不确定，则电荷所受电场力大小变化情况不确定，加速度变化情况无法判断，但可能是加速度先变大后变小。故A错误，B正确。
C、越过O点后，负电荷q做减速运动，则点电荷运动到O点时速度最大。电场力为零，加速度为零。根据电场线的对称性可知，越过O点后，负电荷q做减速运动，加速度的变化情况：先增大后减小；对于速度一直减小，故CD错误。
7．如图所示为静电场的一部分电场线的分布，下列说法正确的是（　　）
A．这个电场可能是负点电荷形成的
B．C点处的电场强度为零，因为那里没有电场线
C．点电荷q在A点所受到的静电力比在B点所受静电力大
D．负电荷在B点受到的电场力的方向沿B点切线方向
解：A、孤立的负点电荷形成的电场电场线是会聚型的射线，则知这个电场不可能是孤立的负点电荷形成的电场，所以A错误；
B、电场线密的地方电场的强度大，电场线疏的地方电场的强度小，并不是没画电场线的地方没有电场强度。故B错误；
C、电场线密的地方电场的强度大，电场线疏的地方电场的强度小，所以EA＞EB，根据F＝qE＝ma知A处的电场力大。C正确；
D、负电荷在B点受到的电场力的方向沿B点切线方向的相反方向。故D错误。
8．某电场线分布如图所示，一带电粒子沿图中虚线所示途径运动，先后通过M点和N点，以下说法正确的是（　　）
A．M、N点的场强EM＞EN
B．粒子在M、N点的加速度aM＞aN
C．粒子在M、N点的速度vM＞vN
D．粒子带正电
解：A、电场线密的地方电场的强度大，电场线疏的地方电场的强度小，所以有EM＜EN．故A错误。
B、M处场强小，粒子受到的电场力小，由牛顿第二定律知加速度也小，即有 aM＜aN．故B错误。
CD、根据粒子的运动的轨迹弯曲方向可以知道，粒子的受到的电场力的方向斜向上，所以粒子为正电荷，若粒子从M点运动到N点，电场力方向与速度方向成锐角，电场力做正功，粒子的速度增大，则有vM＜vN．故C错误，D正确。
9．A、B是一条电场线上的两个点，一带负电的微粒仅在电场力作用下静止开始从A点沿电场线运动到B点，加速度变小．则这一电场可能是图中的（　　）
A． B．
C． D．
解：由题境可知加速度减小，所以带电粒子所受的电场力逐渐减小，即电场线越来越稀疏，所以AD错误；且带电粒子仅在电场力作用下，据场强方向的规定可知，负电荷的运动轨迹与电场线的方向相反，故ABD错误，C正确。
10．(多选)如图所示，在x轴上关于O点对称的A、B两点有等量同种点电荷+Q，在y轴上有C、D两点，且CO＝OD，∠ADO＝60°．下列判断正确的是（　　）
A．C、D两点的电场强度相同
B．O点电场强度为零
C．若将点电荷+q从O移至C，电势能减小
D．若将点电荷﹣q从D移至C，电势能增大
解：A、根据平行四边形定则得到，x轴上两个等量同种点电荷+Q在D点产生的电场强度方向沿+y轴方向，而两个等量同种点电荷+Q在C点产生的电场强度方向沿﹣y轴方向，因此它们的电场强度方向不同，故A错误。
B、题中A、B两个+Q在O点的场强大小相等，方向相反，矢量和为0，故B正确。
C、在两等量同种电荷两线的中点以上，根据平行四边形定则，+q受到两电荷对它库仑力的合力竖直向上，在中点以下，受到库仑力的合力竖直向下，若将点电荷+q从O移至C，电场力做正功，电势能减小，故C正确。
D、若将点电荷﹣q从D移至C，电场力先做正功，后做负功，所以电势能先减小，后增加。故D错误。
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