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专题64 带电粒子在交变复合场中的运动问题
常考点 带电粒子在交变复合场中的运动问题
【典例1】
如图甲所示，建立xOy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，
第Ⅰ、Ⅳ象限有一宽度一定的匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里。位于极板左侧的粒子源沿x轴向右连
续发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子。在0～4t0时间内两板间加上如图乙所示的
电压（不考虑极板边缘的影响）．已知t＝0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时刻经极板边缘射入磁场。
上述m、q、l、t0、B为已知量。（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）
（1）求两板间的电压U0
（2）0～t0时间内射入两板间的带电粒子都能够从磁场右边界射出，求磁场的最大宽度
（3）t0时刻射入两板间的带电粒子进入磁场和离开磁场时的位置坐标
（4）若两板间电压为0，请设计一种方案：粒子源沿x轴向右连续发射的带电粒子，经过y轴右边的几个有边界的磁场后，带电粒子又返回粒子源。
解：（1）t＝0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时刻经极板边缘射入磁场，
则在两极板间，
y轴方向偏转距离为，由：
其中
t＝t0
解得
（2）经过分析，0～t0时间内，
t0时刻射入两板间的带电粒子进入磁场并能够从磁场右边界射出，
则其他粒子也能从磁场右边界射出
t0时刻射入两板间的带电粒子，
在两板间匀速运动，
并从O点沿+x方向射入磁场，
在磁场中的运动半径为
R
得
又l＝v0t0
则磁场的最大宽度D＝
（3）t0时刻射入两板间的带电粒子，
在t0﹣﹣2 t0时间做匀速直线运动，
在2t0﹣﹣t0
向上偏转
其中
得
进入磁场的位置坐标（0，）
从y轴离开磁场与进入磁场的距离
又l＝v0t0
又
离开磁场的位置坐标（0，）
（4）由对称性可设计如图所示的磁场区域，
粒子源沿x轴向右连续发射的带电粒子，
经过y轴右边的几个有边界的磁场后，
带电粒子又返回粒子源。
【典例2】
在如图（a）所示的正方形平面oabc内存在着垂直于该平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，已知正
方形边长为L．一个质量为m、带电量为+q的粒子（不计重力）在t＝0时刻平行于oc边从o点射入磁场中．
（1）若带电粒子从a点射出磁场，求带电粒子在磁场中运动的时间及初速度大小；
（2）若磁场的磁感应强度按如图（b）所示的规律变化，规定磁场向外的方向为正方向，磁感应强度的大小为B0，假使带电粒子能从oa边界射出磁场，求磁感应强度B变化周期T的最小值；
（3）若所加磁场与第（2）问中的相同，要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时的速度v0．
解：（1）若带电粒子从a点射出磁场，则做圆周运动的半径为r＝
所需时间t＝
又根据
得
（2）要使粒子从oa边射出，其临界状态轨迹如图（1）所示
则有sinα＝
α＝30°
在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转150°角，运动时间t＝
而t＝
所以磁场变化的最小周期为T＝
（3）若使粒子从b点沿着ab方向射出磁场，轨迹如图（2）．
在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转的角度为2β，其中β＝45°，
即
所以磁场变化的周期为T＝
每一个圆弧对应的弦长OM为s＝
圆弧半径r＝（n＝2，4，6…）
由，得（n＝2，4，6…）
（1）带电粒子在磁场中运动的时间为及初速度大小为；
（2）磁感应强度B变化周期T的最小值为；
（3）满足这一条件的磁感应强度变化的周期T为，粒子射入磁场时的速度v0为（n＝2，4，6…）．
1． 相切圆问题
带电粒子在两个相邻的匀强磁场中运动，粒子从一个匀强磁场进入另一个匀强磁场后，若磁场方向相反，轨迹在交界处必外切，如磁感应强度大小也变再结合缩放圆处理；若磁感应强度磁场方向相同、大小变化，轨迹在交界处必内切，如图所示。
数学知识：两圆心和切点三点共线，且与公切面垂直！
2.在交变磁场中的典型运动
B-t图
轨迹图
关系 时间关系：t=； 角度关系：弦切角等于圆心角的一半α=θ/2.
3． 粒子碰壁返回出发点问题
与圆形内壁碰撞 与圆形外壁碰撞 与三角形内壁碰撞 与正方向内壁碰撞
碰壁n次，θ=， R=(n=0，1，2，……)
4　粒子在间隔磁场中的运动问题
经过一次循环，粒子在O点和D点速度相同
OD=dcotα+2Rsinα-dcotα+2Rsinα=4Rsinα OD=dcotα-2Rsinα+dcotα-2Rsinα=2dcotα-4Rsinα
5.带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题
多解分类 多解原因 示意图
带电粒 子电性 不确定 带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同
磁场方向 不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强度方向有两种情况
临界状态 不唯一 带电粒子在飞越有界磁场时，可能直接穿过去了，也可能从入射界面反向飞出
运动的 往复性 带电粒子在空间运动时，往往具有往复性
【变式演练1】
如图（甲）所示，两平行金属板间接有如图（乙）所示的随时间t变化的电压u，两板间电场可看作是均匀
的，且两板外无电场，极板长L＝0.2m，板间距离d＝0.2m，在金属板右侧有一边界为MN的区域足够大的
匀强磁场，MN与两板中线OO′垂直，磁感应强度B＝5×10﹣3T，方向垂直纸面向里。现有带正电的粒子
流沿两板中线OO′连续射入电场中，已知每个粒子的速度v0＝105m/s，比荷q/m＝108C/kg，重力忽略不计，
在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视作是恒定不变的。（取π＝3.14）
（1）试求带电粒子射出电场时的最大速度。
（2）证明任意时刻从电场射出的带电粒子，进入磁场时在MN上的入射点和出磁场时在MN上的出射点间的距离为定值。写出表达式并求出这个定值。
（3）从电场射出的带电粒子，进入磁场运动一段时间后又射出磁场。试猜想粒子在磁场中运动的时间是否为定值，若是，求出该定值的大小；若不是，求粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间。
解：（1）设两板间电压为U1时，带电粒子刚好从极板边缘射出电场，
则有；
代入数据，解得：U1＝100V
在电压低于100V时，带电粒子才能从两板间射出，电压高于100V时，带电粒子打在极板上，不能从两板间射出。
粒子刚好从极板边缘射出电场时，速度最大，设最大速度为v1，则有：；
解得：m/s＝1.414×105m/s
（2）设粒子进入磁场时速度方向与OO'的夹角为θ，
则速度大小，
粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径，粒子从磁场中飞出的位置与进入磁场的位置之间的距离
代入数据解得s＝0.4m，s与θ无关，即射出电场的任何一个带电粒子进入磁场的入射点与出射点间距离恒为定值。
（3）粒子飞出电场进入磁场，在磁场中按逆时针方向做匀速圆周运动。粒子飞出电场时的速度方向与OO'的最大夹角为α，
则 ，α＝45°。
当粒子从下板边缘飞出电场再进入磁场时，在磁场中运动时间最长，＝3π×10﹣6s＝9.42×10﹣6s；
当粒子从上板边缘飞出电场再进入磁场时，在磁场中运动时间最短，＝π×10﹣6s＝3.14×10﹣6s。
答：（1）带电粒子射出电场时的最大速度为1.414×105m/s。
（2）证明如上所述。粒子从磁场中飞出的位置与进入磁场的位置之间的距离。
（3）粒子在磁场中运动的最长时间为9.42×10﹣6s，最短时间为3.14×10﹣6s。
【变式演练2】
如图甲所示，两平行金属板间接有如图乙所示的随时间t变化的交流电压u，金属板间电场可看做均匀、且
两板外无电场，板长L＝0.2m，板间距离d＝0.1m，在金属板右侧有一边界为MN的区域足够大的匀强磁场，
MN与两板中线OO′垂直，磁感应强度B＝5×10﹣3T，方向垂直纸面向里．现有带正电的粒子流沿两板中
线OO′连续射入电场中，已知每个粒子的速度v0＝105m/s，比荷＝108C/kg，重力忽略不计，在每个粒
子通过电场区域的极短时间内，电场可视为恒定不变．求：
（1）带电粒子刚好从极板边缘射出时两金属板间的电压；
（2）带电粒子进入磁场时粒子最大速度的大小；
（3）证明：任意时刻从电场射出的带电粒子，进入磁场时在MN上的入射点和出磁场时在MN上的出射点间的距离为定值，并计算两点间的距离．
解：（1）设带电粒子刚好从极板边缘射出电场时电压为U
解得
U＝25V
即带电粒子刚好从极板边缘射出时两金属板间的电压为25V．
（2）带电粒子刚好从极板边缘射出电场时速度最大，设最大速度为vm，由动能定理
m/s
即带电粒子进入磁场时粒子最大速度的大小为m/s．
（3）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，其可能的两种轨迹如图；
设粒子进入磁场时速度方向与OO'的夹角为θ
则任意时刻粒子进入磁场的速度大小
粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R
设带电粒子从磁场中飞出的位置与进入磁场的位置之间的距离为l，
由上式可知，射出电场的任何一个带电粒子，进入磁场时的入射点与射出磁场时的出射点间距离为定值，l与θ无关，与所加电压值无关
两点间的距离为：l＝0.4m，
故任意时刻从电场射出的带电粒子，进入磁场时在MN上的入射点和出磁场时在MN上的出射点间的距离为定值，两点间的距离为0.4m．
1．如图（甲）所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点（3L，0）为圆心、半径为L的圆形区域，圆形区域与x轴的交点分别为M、N．现有一质量为m，带电量为e的电子，从y轴上的A点以速度v0沿x轴正方向射入电场，飞出电场后从M点进入圆形区域，速度方向与x轴夹角为30°．此时在圆形区域加如图（乙）所示周期性变化的磁场（磁场从t＝0时刻开始变化，且以垂直于纸面向外为磁场正方向），最后电子运动一段时间后从N点飞出，速度方向与x轴夹角也为30°．求：
（1）电子进入圆形磁场区域时的速度大小（请作出电子飞行的轨迹图）；
（2）0≤x≤L区域内匀强电场场强E的大小；
（3）写出圆形磁场区域磁感应强度B0的大小、磁场变化周期T各应满足的表达式。
解：（1）电子在电场中做类平抛运动，射出电场时，
由速度关系：＝cos30°
解得：v＝
轨迹如图所示：
（2）由速度关系得 vy＝v0 tan30°＝v0
在竖直方向 a＝ vy＝at＝
解得 E＝
（3）如图所示，在磁场变化的半个周期内粒子的偏转角为60°，所以，在磁场变化的半个周期内，粒子在x轴方向上的位移等于R．粒子到达N点而且速度符合要求的空间条件是：
＝n R＝2L
电子在磁场做圆周运动的轨道半径 R＝＝
得 B0＝（n＝1，2，3…）
若粒子在磁场变化的半个周期恰好转过圆周，同时MN间运动时间是磁场变化半周期的整数倍时，可使粒子到达N点并且速度满足题设要求。应满足的时间条件：＝ T＝T运＝
代入B的表达式得：T＝（n＝1，2，3…）
答：（1）电子进入圆形区域时的速度大小是，轨迹如图所示；
（2）0≤x≤L区域内匀强电场的场强大小是；
（3）写出圆形区域磁场的变化周期表达式为T＝（n＝1，2，3…）、磁感应强度B0的大小表达式是得 B0＝（n＝1，2，3…）。
2．如图甲所示，在y≥0的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示；与x轴平行的虚线MN下方有沿+y方向的匀强电场，电场强度E＝×103N/C．在y轴上放置一足够大的挡板．t＝0时刻，一个带正电粒子从P点以v＝2×104m/s的速度沿+x方向射入磁场．已知电场边界MN到x轴的距离为m，P点到坐标原点O的距离为1.1m，粒子的比荷＝106C/kg，不计粒子的重力．求粒子：
（1）在磁场中运动时距x轴的最大距离；
（2）连续两次通过电场边界MN所需的时间；
（3）最终打在挡板上的位置到坐标原点O的距离．
解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，有：
解得半径为：R＝0.2m
粒子在磁场中运动时，到x轴的最大距离为：ym＝2R＝0.4m
（2）如答图甲所示，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为：s
由磁场变化规律可知，它在0﹣s（即0﹣）时间内做匀速圆周运动至A点，接着沿﹣y方向做匀速直线运动直至电场边界C点，用时为：
进入电场后做匀减速运动至D点，由牛顿定律得粒子的加速度为：
粒子从C点减速至D再反向加速至C所需的时间为：
接下来，粒子沿+y轴方向匀速运动至A所需时间仍为t2，磁场刚好恢复，粒子将在洛伦兹力的作用下从A做匀速圆周运动，再经s时间，粒子将运动到F点，此后将重复前面的运动过程．所以粒子连续通过电场边界MN有两种可能：
第一种可能是，由C点先沿﹣y方向到D再返回经过C，所需时间为：
t＝t3＝
第二种可能是，由C点先沿+y方向运动至A点开始做匀速圆周运动一圈半后，从G点沿﹣y方向做匀速直线运动至MN，
所需时间为：s
（3）由上问可知，粒子每完成一次周期性的运动，将向﹣x方向平移2R（即答图甲中所示从P点移到F点），
，故粒子打在挡板前的一次运动如答图乙所示，其中I是粒子开始做圆周运动的起点，J是粒子打在挡板上的位置，
K是最后一段圆周运动的圆心，Q是I点与K点连线与y轴的交点．
由题意知：
，则有：
J点到O的距离为：
答：（1）在磁场中运动时距x轴的最大距离为0.4m；
（2）连续两次通过电场边界MN所需的时间可能为s或4π×10﹣5s
（3）最终打在挡板上的位置到坐标原点O的距离为0.37m．
3．如图甲所示，在xOy平面内存在磁场和电场，磁感应强度和电场强度大小随时间周期性变化，B的变化周期为4t0，E的变化周期为2t0，变化规律分别如图乙和图丙所示．在t＝0时刻从O点发射一带负电的粒子（不计重力），初速度大小为v0，方向沿y轴正方向．在x轴上有一点A（图中未标出），坐标为（）．若规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，y轴正方向为电场强度的正方向，v0、t0、B0为已知量，磁感应强度与电场强度的大小满足：；粒子的比荷满足：．求：
（1）在时，粒子的位置坐标；
（2）粒子偏离x轴的最大距离；
（3）粒子运动至A点的时间．
解：（1）在0～t0时间内，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得：
得：
则在时间内转过的圆心角
所以在时，粒子的位置坐标为：（）
（2）在t0～2t0时间内，粒子经电场加速后的速度为v，粒子的运动轨迹如图所示
运动的位移：
在2t0～3t0时间内粒子做匀速圆周运动，半径：
故粒子偏离x轴的最大距离：
（3）粒子在xOy平面内做周期性运动的运动周期为4t0
一个周期内向右运动的距离：
AO间的距离为：
所以，粒子运动至A点的时间为：t＝32t0
答：（1）在时，粒子的位置坐标（）；
（2）粒子偏离x轴的最大距离；
（3）粒子运动至A点的时间32t0．
4．如图（甲）所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点（3L，0）为圆心、半径为L的圆形区域，圆形区域与x轴的交点分别为M、N．现有一质量为m，带电量为e的电子，从y轴上的A点以速度v0沿x轴正方向射入电场，飞出电场后从M点进入圆形区域，速度方向与x轴夹角为30°．此时在圆形区域加如图（乙）所示周期性变化的磁场，以垂直于纸面向外为磁场正方向，最后电子运动一段时间后从N点飞出，速度方向与进入磁场时的速度方向相同（与x轴正方向夹角也为30°）。求：
（1）电子进入圆形磁场区域时的速度大小v；
（2）0≤x≤L区域内匀强电场场强E的大小；
（3）写出圆形磁场区域磁感应强度B0的大小、磁场变化周期T各应满足的表达式。
解：（1）电子在电场中做类平抛运动，射出电场时与水平方向夹角30°得到：
根据几何关系可得：，
解得：
（2）由速度关系vy＝v0tan30°
根据速度时间关系可得：vy＝at，
加速度：，L＝v0t
联立可以得到：；
（3）在磁场变化的半个周期内，粒子的偏转角是60°，这过程中x方向位移为R，粒子到达N点时要满足速度方向与进入磁场方向相同，则有：
2nR＝2L（n＝1、2、3…）
电子在磁场中做圆周运动：
解得：
若粒子在磁场中的半个周期内转过60°，同时在磁场中运动的时间是磁场周期的整数倍时，可以满足题目要求，则有：
解得：。
答：（1）电子飞出电场时的速度大小为；
（2）0≤x≤L区域内匀强电场场强E的大小为；
（3）写出圆形磁场区域磁感应强度B0的大小、磁场变化周期T各应满足的表达式为。
5．如图（甲）所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿x轴正方向的匀强电场，右侧有一个圆心在x轴上、半径为L的圆形区域，圆形区域与x轴的交点分别为M、N．现有一质量为m，带电量为e的正电子（重力忽略不计），从y轴上的A点以速度v0沿y轴负方向射入电场，飞出电场后从M点进入圆形区域，速度方向与x轴夹角为30°．此时在圆形区域加如图（乙）所示周期性变化的磁场，以垂直于纸面向里为磁场正方向，最后正电子运动一段时间后从N点飞出，速度方向与进入磁场时的速度方向相同．求：
（1）0≤x≤L区域内匀强电场场强E的大小；
（2）写出圆形磁场区域磁感应强度B0的大小应满足的表达式．
解：（1）正电子在电场中做类平抛运动，射出电场时，如图1所示．
由速度关系：vx＝v0cot30°＝v0；
在x轴方向有：a＝，
联立解得：E＝
（2）粒子离开电场时的速度为：v＝＝2v0；
在磁场变化的半个周期内粒子的偏转角为60°，根据几何知识，在磁场变化的半个周期内，粒子在x轴方向上的位移恰好等于轨迹半径R．粒子到达N点而且速度符合要求的空间条件是：
n 2R＝2L，式中 n＝1，2，3，…
正电子在磁场做圆周运动的轨道半径为：R＝
解得：B＝，（n＝1、2、3…）
答：（1）0≤x≤L区域内匀强电场场强E的大小是；
（2）写出圆形磁场区域磁感应强度B0的大小应满足的表达式是B＝，（n＝1、2、3…）．
6．如图（甲）所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点（3L，0）为圆心、半径为L的圆形区域，圆形区域与x轴的交点分别为M、N．现有一质量为m、带电量为e的电子，从y轴上的A点以速度v0沿x轴正方向射入电场，飞出电场后从M点进入圆形区域，速度方向与X轴夹角为30°．此时在圆形区域加上如图（乙）所示周期性变化的磁场（以垂直于纸面向外为磁场正方向），最后电子运动一段时间后从N点飞出，速度方向与进入磁场时的速度方向相同（与X轴夹角也为30°）．求：
（1）0≤x≤L区域内匀强电场场强E的大小；
（2）圆形磁场区域磁感应强度B0的大小以及磁场变化周期T．
解：（1）电子在电场中做类平抛运动，射出电场时，如图1所示．
由速度关系：，
解得：v＝，
由速度关系得：，
在竖直方向有：，，
解得：E＝．
（2）在磁场变化的半个周期内粒子的偏转角为60°，根据几何知识，在磁场变化的半个周期内，
粒子在x轴方向上的位移恰好等于R．粒子到达N点而且速度符合要求的空间条件是：
nR＝2L
电子在磁场做圆周运动的轨道半径为：＝，
解得：（n＝1、2、3…）
若粒子在磁场变化的半个周期恰好转过圆周，同时MN间运动时间是磁场变化周期的整数倍时，可使粒子到达N点并且 速度满足题设要求．应满足的时间条件：
解得：，
代入T的表达式得：T＝，（n＝1、2、3…）
答：（1）0≤x≤L区域内匀强电场场强E的大小为．
（2）圆形磁场区域磁感应强度B0的大小表达式为（n＝1、2、3…）；磁场变化周期T＝，（n＝1、2、3…）
7．如图所示，在xOy平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规律分别如图乙、丙所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、沿y轴正方向电场强度为正）．在t＝0时刻由原点O发射初速度大小为v0，方向沿y轴正方向的带负电粒子． 已知v0、t0、B0，粒子的比荷为，不计粒子的重力．求：
（1）t＝t0时，求粒子的位置坐标；
（2）若t＝5t0时粒子回到原点，求0～5t0时间内粒子距x轴的最大距离；
（3）若粒子能够回到原点，求满足条件的所有E值．
解：（1）由粒子的比荷，得粒子做圆周运动的周期为：
则在0﹣t0内转过的圆心角α＝π
由牛顿第二定律有：
得：
位置坐标为：（，0）
（2）粒子t＝5t0时回到原点，轨迹如图1所示r2＝2r1
得：v2＝2v0
又，
粒子在t0﹣2t0时间内做匀加速直线运动，2t0﹣3t0时间内做匀速圆周运动，则在5t0时间内粒子距x轴的最大距离：
（3）如图2所示，设带电粒子在x轴上方做圆周运动的轨道半径为r1，在x轴下方做圆周运动的轨道半径为r2，由几何关系可知，要使粒子经过原点，则必须满足：
n（2r2﹣2r1）＝2r1（n＝1，2，3，…）
联立以上解得：
又由于：
得：（n＝1，2，3，…）
答：（1）t＝t0时，粒子的位置坐标为（，0）；
（2）若t＝5t0时粒子回到原点，0～5t0时间内粒子距x轴的最大距离为（+）v0t0；
（3）若粒子能够回到原点，满足条件的所有E值为（n＝1，2，3，…）．
8．如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一四象限有磁场，方向垂直于Oxy平面向里。位于极板左侧的粒子源沿x轴向右连续发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子。在两板间加上如图乙所示的周期性变化的电压（不考虑极板边缘的影响）。已知t＝0时刻进入两板间的带电粒子恰好在2t0时刻经极板边缘射入磁场。上述m、q、l、t0、B为已知量。（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）（若tanθ＝b，θ∈（﹣，），则θ＝arctanb）
（1）求两极板间电压U0的大小。
（2）求t0＝0时进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径。
（3）何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间。
解：
（1）t＝0时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，2t0时刻刚好从极板边缘射出，在y轴负方向偏移的距离为，则有：
…①
Eq＝ma …②
…③
联立以上三式，解得两极板间偏转电压为： …④
（2）t0＝0时刻进入两极板的带电粒子，前t0时间在电场中偏转，后t0时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动。
带电粒子沿x轴方向的分速度大小为：…⑤
带电粒子离开电场时沿y轴负方向的分速度大小为：vy＝at0…⑥
带电粒子离开电场时的速度大小为：…⑦
设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R，则有：…⑧
联立③⑤⑥⑦⑧式解得：…⑨
（3）2t0时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短。带电粒子离开电场时沿y轴正方向的分速度为：…⑩
设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为α，则：
联立③⑤⑩式解得：α＝arctan1.5
粒子在磁场运动的轨迹图如图所示，圆弧所对的圆心角为：
2α＝2arctan1.5
所求最短时间为：
带电粒子在磁场中运动的周期为：
联立以上两式解得：
（其实，在t0到2t0之间进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间相同，都是最短。）
答：（1）求两极板间电压U0的大小为。
（2）求t0＝0时进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为。
（3）在t0到2t0之间进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短，最短时间为。
9．如图甲所示，两平行金属板间接有如图乙所示的随时间t变化的交流电压u，金属板间电场可看做均匀、且两板外无电场，板长L＝0.2m，板间距离d＝0.1m，在金属板右侧有一左边界为MN的区域足够大的匀强磁场，MN与两板中线OO′垂直，磁感应强度B＝5×10﹣3T，方向垂直纸面向里．现有带正电的粒子流沿两板中线OO′连续射入电场中，已知每个粒子的速度v0＝105m/s，比荷＝108C/kg，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视为恒定不变．求：
（1）垂直边界MN进入磁场的带电粒子在磁场中运动的轨道半径；
（2）为了使射入电场的带电粒子全部进入磁场，交变电压的最大值um和粒子进入磁场的最大速度；
（3）所有进入磁场的带电粒子经磁场偏转后从边界MN上哪个范围离开磁场的．
解：（1）带电粒子垂直边界MN进入磁场时，v＝v0：
＝0.2m
（2）带电粒子恰好从极板边缘射出电场时，偏转电压应为um：
um＝25V
带电粒子刚好从极板边缘射出电场时速度最大，设最大速度为vm，由动能定理
m/s
（3）设粒子进入磁场时速度方向与OO'的夹角为θ
则任意时刻粒子进入磁场的速度大小
粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R
设带电粒子从磁场中飞出的位置与进入磁场的位置之间的距离为l
＝0.4m
由上式可知，射出电场的任何一个带电粒子，进入磁场时的入射点与射出磁场时的出射点间距离为定值，
l与θ无关，与所加电压值无关．
考虑粒子在电场中向上（设沿M方向为向上）或向下两种偏转可能，设粒子离开磁场时在点的上方且距离点为Y的位置，则：
当粒子在两板间受到向上电场力作用时，Y的范围为0.40m～0.45m
当粒子在两板间受到向下电场力作用时，Y的范围为0.35m～0.40m
所以粒子在边界MN上距点上方0.35m～0.45m范围内离开磁场的．
答：（1）垂直边界MN进入磁场的带电粒子在磁场中运动的轨道半径是0.2m；
（2）为了使射入电场的带电粒子全部进入磁场，交变电压的最大值是25V，粒子进入磁场的最大速度是m/s；
（3）粒子在边界MN上距点上方0.35m～0.45m范围内离开磁场的．
10．如图（a）所示，两个平行的金属板间接有图（b）所示的交变电压，板长为L＝0.4m，板间距d＝0.2m．在金属板的右侧即磁场的理想左边界，磁场区域足够大．磁感应强度B＝5×10﹣3T，方向垂直纸面向里，现有一带电粒子（不计重力）以v0＝105m/s速度沿着极板中线从左端射入极板间．已知粒子的荷质比为q/m＝108C/kg，粒子通过电场区域的极短时间内，可以认为电场是恒定的．
（1）若粒子在t＝0时刻射入，求粒子在磁场中运动的射入点到出射点间的距离；
（2）证明任意时刻射入电场的粒子，在磁场中运动的射入点与出射点间的距离都相等；
（3）求粒子射出电场时的最大速度．
解：（1）带电粒子在t＝0时刻进入，由题可知，粒子通过电场区域时间极短，因此粒子从进入电场到离开电场，板间电场强度始终为零，则粒子将以v0的速度垂直磁场左边界射入磁场中．
由牛顿第二定律，得
qv0B＝m
得r＝＝0.2m
故粒子在磁场中运动的射入点到出射点间的距离S＝2r＝0.4m．
（2）设某时刻进入磁场的粒子速度为v，方向与水平方向成θ角，如右图
则v＝
粒子在磁场中运动时的轨迹半径为
r′＝＝
粒子射入点到出射点间的距离S′＝2r′cosθ＝2
由（1）知S′＝2r＝0.4m
故任意时刻射入电场的粒子，在磁场中运动的射入点与出射点间的距离都相等．
（3）设粒子进入电场时刻，板间的电压为U，且粒子可以射出电场进入磁场．则
y＝，t＝
当侧移量y＝时，电场力对粒子做功最多，
得到U＝
代入解得U＝25V
由动能定理得
q＝﹣
解得 vm＝
答：（1）粒子在t＝0时刻射入，在磁场中运动的射入点到出射点间的距离为0.4m；
（2）略
（3）粒子射出电场时的最大速度为．
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