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上海市长宁区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷
一、填空题
1．（2021高二上·长宁期末）底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为　 　．
2．（2021高二上·长宁期末）甲 乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.5，则甲、乙两人下成和棋的概率为　 　.
3．（2021高二上·长宁期末）若球的大圆的面积为π，则该球的表面积为　 　.
4．（2021高二上·长宁期末）同时掷两枚骰子，则点数和为7的概率是　 　.
5．（2021高二上·长宁期末）正四棱锥底面边长和高均为分别是其所在棱的中点，则棱台的体积为　 　.
6．（2021高二上·长宁期末）某古典概型的样本空间，事件，则　 　.
7．（2021高二上·长宁期末）盒子中放有大小和质地相同的2个白球 1个黑球，从中随机摸取2个球，恰好都是白球的概率为　 　.
8．（2021高二上·长宁期末）如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是　 　.
①直线与直线垂直；
②直线与直线相交；
③直线与直线平行；
④直线与直线异面；
9．（2021高二上·长宁期末）某校共有学生480人；现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试；若这80人中有30人是男生，则该校女生共有　 　.
10．（2021高二上·长宁期末）已知平面和两条不同的直线，则下列判断中正确的序号是　 　.
① 若，则；
② 若，则；
③ 若，则；
④ 若，则；
11．（2021高二上·长宁期末）某位同学参加物理 化学 政治科目的等级考，依据以往成绩估算该同学在物理 化学 政治科目等级中达的概率分别为假设各门科目考试的结果互不影响，则该同学等级考至多有1门学科没有获得的概率为　 　.
12．（2021高二上·长宁期末）已知直线和平面，且；①若异面，则至少有一个与相交；②若垂直，则至少有一个与垂直；对于以上命题中，所有正确的序号是　 　.
二、单选题
13．（2021高二上·长宁期末）如图，样本和分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为和，标准差分别为和，则（　　）
A． B．
C． D．
14．（2021高二上·长宁期末）已知直线和平面，且在上，不在上，则下列判断错误的是（　　）
A．若，则存在无数条直线，使得
B．若，则存在无数条直线，使得
C．若存在无数条直线，使得，则
D．若存在无数条直线，使得，则
15．（2021高二上·长宁期末）已知分别表示随机事件发生的概率，那么是下列哪个事件的概率（　　）
A．事件同时发生 B．事件至少有一个发生
C．事件都不发生 D．事件至多有一个发生
16．（2021高二上·长宁期末）在三棱锥中，平面；记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（　　）
A． B． C． D．
三、解答题
17．（2021高二上·长宁期末）如图，底面是矩形的直棱柱中，；
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小；
18．（2021高二上·长宁期末）某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示：
（1）求该公司员工年龄的极差和第25百分位数；
（2）从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件与是否互相独立，并说明理由；
19．（2021高二上·长宁期末）已知是边长为2的正方形，正方形绕旋转形成一个圆柱；
（1）求该圆柱的表面积；
（2）正方形绕顺时针旋转至，求异面直线与所成角的大小
20．（2021高二上·长宁期末）为了解某城中村居民收入情况，小明利用周末时间对该地在岗居民月收入进行了抽样调查，并将调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据直方图估算：
（1）在该地随机调查一位在岗居民，该居民收入在区间内的概率；
（2）该地区在岗居民月收入的平均数和中位数；
21．（2021高二上·长宁期末）在矩形中，是的中点，是上，，且，如图，将沿折起至：
（1）指出二面角的平面角，并说明理由；
（2）若，求证：平面平面；
（3）若是线段的中点，求证：直线平面；
答案解析部分
1．【答案】
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】【解答】设圆锥的高为，由勾股定理可得，
由圆锥的体积可得。
故答案为 。
【分析】利用已知条件结合勾股定理求出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式，进而求出圆锥的体积。
2．【答案】0.1
【考点】互斥事件与对立事件；概率的应用
【解析】【解答】。
故答案为：0.1。
【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式，进而求出甲、乙两人下成和棋的概率。
3．【答案】4π
【考点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设球的半径为，则球的大圆的半径为，
所以球的大圆的面积为，可得，
所以该球的表面积为。
故答案为：4π。
【分析】利用已知条件结合圆的面积公式，从而求出球的大圆的半径，再利用球的表面积公式，进而求出该球的表面积。
4．【答案】
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】依题意，记抛掷两颗骰子向上的点数分别为，，则可得到数组共有组，其中满足的组数共有6组，分别为，，，，，，
因此所求的概率等于。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而求出同时掷两枚骰子，则点数和为7的概率。
5．【答案】
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】分别是其所在棱的中点，则正四棱锥底面边长和高均为1，
，，
故。
故答案为：。
【分析】利用分别是其所在棱的中点，再结合中点的性质，则正四棱锥底面边长和高均为1，再利用三棱锥的体积公式得出，的值，再结合作差法得出棱台的体积，即求出的值。
6．【答案】
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而求出事件A的概率。
7．【答案】
【考点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】根据题意：。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合组合数公式，再结合古典概型求概率公式，进而求出从中随机摸取2个球，恰好都是白球的概率。
8．【答案】①④
【考点】棱柱的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】如图所示的正方体中，，，故，① 正确；
若直线与直线相交，则四点共面，即在平面内，不成立，② 错误；
，与相交，故直线与直线不平行，③ 错误；
，与不平行，故与不平行，若与相交，则四点共面，在平面内，不成立，故直线与直线异面，④ 正确；
故答案为：①④.
【分析】将正方体展开图还原为正方体，再利用已知条件结合线线垂直的判断方法、线线相交的判断方法、线线平行的判断方法、异面直线的判断方法，从而找出说法正确的序号。
9．【答案】300人
【考点】分层抽样方法
【解析】【解答】该校女生共有人。
故答案为：300人。
【分析】利用已知条件结合分层抽样的方法，从而求出该校女生共有的人数。
10．【答案】②④
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】若，则或，异面，或，相交，① 错误；
若，则，② 正确；
若，则或或与相交，③ 错误；
若 ，则，④ 正确；
故答案为：②④.
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、线面垂直的判定定理，从而找出判断正确的序号。
11．【答案】
【考点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，再结合对立事件求概率公式，进而求出该同学等级考至多有1门学科没有获得的概率。
12．【答案】①②
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】若与都不相交，，，则，同理，故，与异面矛盾，① 正确；
若不垂直，上取一点，作交于，，，故，，故，，，故，，，故，② 正确.
故答案为：①②.
【分析】利用已知条件结合面面垂直的性质定理，再结合两直线位置关系判断方法，从而找出正确序号。
13．【答案】B
【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】根据图表：样本数据均小于等于10，样本数据均大于等于10，故；
样本数据波动大于样本数据，故。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合表格中的数据，再结合平均数公式和标准差公式，进而得出和。
14．【答案】D
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】若，则平行于过的平面与的交线，当时，，则存在无数条直线，使得，A正确，不符合题意；
若，垂直于平面中的所有直线，则存在无数条直线，使得，B正确，不符合题意；
若存在无数条直线，使得，，，则，C正确，不符合题意；
当时，存在无数条直线，使得，D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、向量垂直数量积为0的等价关系，线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，从而找出判断错误的选项。
15．【答案】C
【考点】互斥事件与对立事件；概率的应用
【解析】【解答】分别表示随机事件发生的概率，
表示事件至少有一个发生的概率，故表示事件都不发生的概率.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合互斥事件的概率和对立事件的概率，从而得出表示事件都不发生的概率。
16．【答案】A
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】令，
由平面，且平面，
，又，，
面，
三棱锥的每一个面都是直角三角形，
与平面所成的角，
二面角的平面角，
由已知可得，，
，
，
又，
则，
所以，又均为锐角，
。
故答案为：A.
【分析】令，由平面结合线面垂直证出线线垂直，所以，再利用结合线线垂直证出线面垂直，所以面，所以三棱锥的每一个面都是直角三角形，所以与平面所成的角，二面角的平面角，由已知可得，，再结合余弦函数的定义得出，的值，再利用数量积的运算法则结合数量积的定义，得出的值，再利用数量积求向量夹角公式得出的值，所以，再利用均为锐角，从而比较出大小。
17．【答案】（1）证明：棱柱为直棱柱，
A1B1C1D1面，又面A1B1C1D1
，
又直棱柱的底面是矩形，
，又，平面，平面，
平面；
（2）解：连接，
面A1B1C1D1，
则为直线与平面所成角的平面角
在直角三角形中，
则，，
所以直线与平面所成角的大小为.
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用棱柱为直棱柱，得出面A1B1C1D1，再利用线面垂直的定义得出线线垂直，所以，再利用直棱柱的底面是矩形，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，从而证出平面。
（2） 连接，利用面A1B1C1D1，则为直线与平面所成角的平面角，在直角三角形中结合勾股定理得出AC的长，再利用正切函数的定义得出的值，再结合反三角函数值求解方法，进而求出直线与平面所成角的大小。
18．【答案】（1）解：员工年龄的极差为，，故第25百分位数为.
（2）解：，，，故，
故事件和相互独立.
【考点】茎叶图；极差、方差与标准差；随机抽样和样本估计总体的实际应用；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合茎叶图中的数据，再结合极差的定义和百分位数求解方法，进而求出该公司员工年龄的极差和第25百分位数。
（2）利用已知条件结合古典概型求概率公式结合独立事件乘法求概率公式，进而判断出事件和相互独立。
19．【答案】（1）解：
（2）解：如图所示：连接和，，故即为异面直线与所成角，
，，，故平面，平面，
故，，故，
直角中，，，，
故异面直线与所成角的大小为.
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；异面直线及其所成的角
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合圆柱的表面积公式，进而求出圆柱的表面积。
（2） 连接和，，故为异面直线与所成角，再利用，结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，，故，在直角三角形中，，再利用勾股定理得出的长，再利用正切函数的定义得出异面直线与所成角的正切值，再结合反三角函数值求解方法，进而求出异面直线与所成角的大小。
20．【答案】（1）解：该居民收入在区间内的概率为：
（2）解：居民月收入的平均数为：
.
第一组概率为，第二组概率为，第三组概率为，
设居民月收入的中位数为，则，解得.
【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；随机抽样和样本估计总体的实际应用
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用概率之和等于1，从而求出该居民收入在区间内的概率。
（2）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数、中位数的方法，进而求出该地区在岗居民月收入的平均数和中位数。
21．【答案】（1）解：连接，则，，故为二面角的平面角.
（2）证明：，，，故平面，平面，
故，又，，故平面，
平面，故平面平面.
（3）解：延长，交于点，连接，
易知，故
故是的中点，是线段的中点，故，
平面，且平面，故直线平面.
【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 连接，则，，再结合二面角的求解方法，故为二面角的平面角。
（2） 利用，结合线线垂直线面垂直，故平面，再利用，故，再结合和线线垂直证出线面垂直，故平面，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面。
（3） 延长，交于点，连接，易知，故，所以是的中点，是线段的中点，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，故，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线平面。
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上海市长宁区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷
一、填空题
1．（2021高二上·长宁期末）底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为　 　．
【答案】
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】【解答】设圆锥的高为，由勾股定理可得，
由圆锥的体积可得。
故答案为 。
【分析】利用已知条件结合勾股定理求出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式，进而求出圆锥的体积。
2．（2021高二上·长宁期末）甲 乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.5，则甲、乙两人下成和棋的概率为　 　.
【答案】0.1
【考点】互斥事件与对立事件；概率的应用
【解析】【解答】。
故答案为：0.1。
【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式，进而求出甲、乙两人下成和棋的概率。
3．（2021高二上·长宁期末）若球的大圆的面积为π，则该球的表面积为　 　.
【答案】4π
【考点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设球的半径为，则球的大圆的半径为，
所以球的大圆的面积为，可得，
所以该球的表面积为。
故答案为：4π。
【分析】利用已知条件结合圆的面积公式，从而求出球的大圆的半径，再利用球的表面积公式，进而求出该球的表面积。
4．（2021高二上·长宁期末）同时掷两枚骰子，则点数和为7的概率是　 　.
【答案】
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】依题意，记抛掷两颗骰子向上的点数分别为，，则可得到数组共有组，其中满足的组数共有6组，分别为，，，，，，
因此所求的概率等于。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而求出同时掷两枚骰子，则点数和为7的概率。
5．（2021高二上·长宁期末）正四棱锥底面边长和高均为分别是其所在棱的中点，则棱台的体积为　 　.
【答案】
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】分别是其所在棱的中点，则正四棱锥底面边长和高均为1，
，，
故。
故答案为：。
【分析】利用分别是其所在棱的中点，再结合中点的性质，则正四棱锥底面边长和高均为1，再利用三棱锥的体积公式得出，的值，再结合作差法得出棱台的体积，即求出的值。
6．（2021高二上·长宁期末）某古典概型的样本空间，事件，则　 　.
【答案】
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而求出事件A的概率。
7．（2021高二上·长宁期末）盒子中放有大小和质地相同的2个白球 1个黑球，从中随机摸取2个球，恰好都是白球的概率为　 　.
【答案】
【考点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】根据题意：。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合组合数公式，再结合古典概型求概率公式，进而求出从中随机摸取2个球，恰好都是白球的概率。
8．（2021高二上·长宁期末）如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是　 　.
①直线与直线垂直；
②直线与直线相交；
③直线与直线平行；
④直线与直线异面；
【答案】①④
【考点】棱柱的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】如图所示的正方体中，，，故，① 正确；
若直线与直线相交，则四点共面，即在平面内，不成立，② 错误；
，与相交，故直线与直线不平行，③ 错误；
，与不平行，故与不平行，若与相交，则四点共面，在平面内，不成立，故直线与直线异面，④ 正确；
故答案为：①④.
【分析】将正方体展开图还原为正方体，再利用已知条件结合线线垂直的判断方法、线线相交的判断方法、线线平行的判断方法、异面直线的判断方法，从而找出说法正确的序号。
9．（2021高二上·长宁期末）某校共有学生480人；现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试；若这80人中有30人是男生，则该校女生共有　 　.
【答案】300人
【考点】分层抽样方法
【解析】【解答】该校女生共有人。
故答案为：300人。
【分析】利用已知条件结合分层抽样的方法，从而求出该校女生共有的人数。
10．（2021高二上·长宁期末）已知平面和两条不同的直线，则下列判断中正确的序号是　 　.
① 若，则；
② 若，则；
③ 若，则；
④ 若，则；
【答案】②④
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】若，则或，异面，或，相交，① 错误；
若，则，② 正确；
若，则或或与相交，③ 错误；
若 ，则，④ 正确；
故答案为：②④.
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、线面垂直的判定定理，从而找出判断正确的序号。
11．（2021高二上·长宁期末）某位同学参加物理 化学 政治科目的等级考，依据以往成绩估算该同学在物理 化学 政治科目等级中达的概率分别为假设各门科目考试的结果互不影响，则该同学等级考至多有1门学科没有获得的概率为　 　.
【答案】
【考点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，再结合对立事件求概率公式，进而求出该同学等级考至多有1门学科没有获得的概率。
12．（2021高二上·长宁期末）已知直线和平面，且；①若异面，则至少有一个与相交；②若垂直，则至少有一个与垂直；对于以上命题中，所有正确的序号是　 　.
【答案】①②
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】若与都不相交，，，则，同理，故，与异面矛盾，① 正确；
若不垂直，上取一点，作交于，，，故，，故，，，故，，，故，② 正确.
故答案为：①②.
【分析】利用已知条件结合面面垂直的性质定理，再结合两直线位置关系判断方法，从而找出正确序号。
二、单选题
13．（2021高二上·长宁期末）如图，样本和分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为和，标准差分别为和，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】根据图表：样本数据均小于等于10，样本数据均大于等于10，故；
样本数据波动大于样本数据，故。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合表格中的数据，再结合平均数公式和标准差公式，进而得出和。
14．（2021高二上·长宁期末）已知直线和平面，且在上，不在上，则下列判断错误的是（　　）
A．若，则存在无数条直线，使得
B．若，则存在无数条直线，使得
C．若存在无数条直线，使得，则
D．若存在无数条直线，使得，则
【答案】D
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】若，则平行于过的平面与的交线，当时，，则存在无数条直线，使得，A正确，不符合题意；
若，垂直于平面中的所有直线，则存在无数条直线，使得，B正确，不符合题意；
若存在无数条直线，使得，，，则，C正确，不符合题意；
当时，存在无数条直线，使得，D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、向量垂直数量积为0的等价关系，线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，从而找出判断错误的选项。
15．（2021高二上·长宁期末）已知分别表示随机事件发生的概率，那么是下列哪个事件的概率（　　）
A．事件同时发生 B．事件至少有一个发生
C．事件都不发生 D．事件至多有一个发生
【答案】C
【考点】互斥事件与对立事件；概率的应用
【解析】【解答】分别表示随机事件发生的概率，
表示事件至少有一个发生的概率，故表示事件都不发生的概率.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合互斥事件的概率和对立事件的概率，从而得出表示事件都不发生的概率。
16．（2021高二上·长宁期末）在三棱锥中，平面；记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】令，
由平面，且平面，
，又，，
面，
三棱锥的每一个面都是直角三角形，
与平面所成的角，
二面角的平面角，
由已知可得，，
，
，
又，
则，
所以，又均为锐角，
。
故答案为：A.
【分析】令，由平面结合线面垂直证出线线垂直，所以，再利用结合线线垂直证出线面垂直，所以面，所以三棱锥的每一个面都是直角三角形，所以与平面所成的角，二面角的平面角，由已知可得，，再结合余弦函数的定义得出，的值，再利用数量积的运算法则结合数量积的定义，得出的值，再利用数量积求向量夹角公式得出的值，所以，再利用均为锐角，从而比较出大小。
三、解答题
17．（2021高二上·长宁期末）如图，底面是矩形的直棱柱中，；
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小；
【答案】（1）证明：棱柱为直棱柱，
A1B1C1D1面，又面A1B1C1D1
，
又直棱柱的底面是矩形，
，又，平面，平面，
平面；
（2）解：连接，
面A1B1C1D1，
则为直线与平面所成角的平面角
在直角三角形中，
则，，
所以直线与平面所成角的大小为.
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用棱柱为直棱柱，得出面A1B1C1D1，再利用线面垂直的定义得出线线垂直，所以，再利用直棱柱的底面是矩形，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，从而证出平面。
（2） 连接，利用面A1B1C1D1，则为直线与平面所成角的平面角，在直角三角形中结合勾股定理得出AC的长，再利用正切函数的定义得出的值，再结合反三角函数值求解方法，进而求出直线与平面所成角的大小。
18．（2021高二上·长宁期末）某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示：
（1）求该公司员工年龄的极差和第25百分位数；
（2）从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件与是否互相独立，并说明理由；
【答案】（1）解：员工年龄的极差为，，故第25百分位数为.
（2）解：，，，故，
故事件和相互独立.
【考点】茎叶图；极差、方差与标准差；随机抽样和样本估计总体的实际应用；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合茎叶图中的数据，再结合极差的定义和百分位数求解方法，进而求出该公司员工年龄的极差和第25百分位数。
（2）利用已知条件结合古典概型求概率公式结合独立事件乘法求概率公式，进而判断出事件和相互独立。
19．（2021高二上·长宁期末）已知是边长为2的正方形，正方形绕旋转形成一个圆柱；
（1）求该圆柱的表面积；
（2）正方形绕顺时针旋转至，求异面直线与所成角的大小
【答案】（1）解：
（2）解：如图所示：连接和，，故即为异面直线与所成角，
，，，故平面，平面，
故，，故，
直角中，，，，
故异面直线与所成角的大小为.
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；异面直线及其所成的角
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合圆柱的表面积公式，进而求出圆柱的表面积。
（2） 连接和，，故为异面直线与所成角，再利用，结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，，故，在直角三角形中，，再利用勾股定理得出的长，再利用正切函数的定义得出异面直线与所成角的正切值，再结合反三角函数值求解方法，进而求出异面直线与所成角的大小。
20．（2021高二上·长宁期末）为了解某城中村居民收入情况，小明利用周末时间对该地在岗居民月收入进行了抽样调查，并将调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据直方图估算：
（1）在该地随机调查一位在岗居民，该居民收入在区间内的概率；
（2）该地区在岗居民月收入的平均数和中位数；
【答案】（1）解：该居民收入在区间内的概率为：
（2）解：居民月收入的平均数为：
.
第一组概率为，第二组概率为，第三组概率为，
设居民月收入的中位数为，则，解得.
【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；随机抽样和样本估计总体的实际应用
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用概率之和等于1，从而求出该居民收入在区间内的概率。
（2）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数、中位数的方法，进而求出该地区在岗居民月收入的平均数和中位数。
21．（2021高二上·长宁期末）在矩形中，是的中点，是上，，且，如图，将沿折起至：
（1）指出二面角的平面角，并说明理由；
（2）若，求证：平面平面；
（3）若是线段的中点，求证：直线平面；
【答案】（1）解：连接，则，，故为二面角的平面角.
（2）证明：，，，故平面，平面，
故，又，，故平面，
平面，故平面平面.
（3）解：延长，交于点，连接，
易知，故
故是的中点，是线段的中点，故，
平面，且平面，故直线平面.
【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 连接，则，，再结合二面角的求解方法，故为二面角的平面角。
（2） 利用，结合线线垂直线面垂直，故平面，再利用，故，再结合和线线垂直证出线面垂直，故平面，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面。
（3） 延长，交于点，连接，易知，故，所以是的中点，是线段的中点，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，故，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线平面。
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