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圆锥曲线的离心率
厦门六中 郭祯
1
相关性质小结
圆锥曲线离心率求值和求范围是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.
名称 椭圆 双曲线
抛物线
图像
几何 性质 离心率 定 义 公 式
变 形 公 式 范 围 渐近线
2
求离心率--公式法
例1已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F作圆x2+y2=b2的切线,若两条切线互相垂直,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
D
O
x
y
[解析] 由题意可得b=c,
则2b2=c2,即2(a2-c2)=c2,
则2a2=3c2,∴=,
即e==
F
A
B
【方法】利用离心率的公式及变形求解：
练习：若双曲线E:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x+3)2+y2=9所截得的弦长为3,则E的离心率为(　　)
A. B. C.2 D.
C
O
A
由已知可得 AOC为等边三角形，
则双曲线的一条渐近线倾斜角为60°，
即渐近线方程为x，
∴∴
C
3
求离心率或其范围--构造法
P
[解析]由|PF1|=3|PF2|
又∵|PF1|-|PF2|=2a,则|PF1|=3a，|PF2|=a
∵∠=60°，=,则由余弦定理得
=
即,∴ =, ∴
A
【方法】列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
建立关于a,b,c的齐次方程(或不等式)时,要充分利用双曲线的几何性质、三角形的边长关系等.
变式：设椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,过点F1的直线与椭圆C交于点P,Q,若|PF2|=2c,且|PF1|=|QF1|,则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
[解析] 连接QF2,由|PF2|=2c得|PF1|=2a-|PF2|=2a-2c,则|QF1|=,|PQ|=|PF1|+|QF1|=,
|QF2|=2a-|QF1|=.
由cos∠F2PQ=cos∠F2PF1,得=,
整理得7c2-12ac+5a2=0,即(5a-7c)(a-c)=0,
又a>c,所以5a=7c,故e==,
C
O
x
y
例3 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过原点的直线l交双曲线C于A,B两点,且 |BF|=3|AF|,则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)
A.(1,2] B.(1,3] C.(3,+∞) D.[2,+∞)
O
x
y
A
B
F
F’
【解析】因为|BF|=3|AF|,所以|AF'|=3|AF|,
所以|AF'|-|AF|=2|AF|=2a,所以|AF|=a,|AF'|=3a.
①当点A不在x轴上时,在△AF'F中,可得所以a②当点A在x轴上时,|AF'|+|AF|=|FF'|,所以4a=2c,所以e==2.综上所述,e∈(1,2].
A
变式：
O
x
y
P
练习1：[2020·全国卷3] 设双曲线C：
=1(a>0，b>0)左、右焦点分别为F1,F2,离心率为．P是C上一点，且．若△的面积为4，则a= (　　)
A．1 B． 2 C ．4 D．8
4
试试高考题
A
【解析】
由双曲线的定义得
又∵
∴
即
∴
练习2[2019·全国卷Ⅰ] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,·=0,则C的离心率为　　　　.
O
x
y
[解析] ∵=,原点O为线段F1F2的中点,∴OA∥BF2,
又∵·=0,∴F1B⊥F2B,∴OA⊥BF1,
∴OA为等腰三角形OF1B的底边F1B上的中线和高,也是顶角∠F1OB的平分线,
∴∠F1OA=∠BOA=∠BOF2=60°,
∴渐近线OB的斜率k=tan 60°==,
∴双曲线C的离心率e===2.
A
B
1.解题关键：寻找a,b,c至少两者间的齐次等式或者不等关系；
2.基本思路：从“形”入手，寻找几何性质突破口；以“数”解形，
利用数量关系解决问题；
3.灵活运用：充分利用平面几何，平面向量，解析几何和解
三角形的相关知识。
5
小结反思
巩固练习1[2020·全国卷Ⅰ] 已知F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为　　　　.
[解析]由题知,A(a,0),F(c,0),
因为BF⊥x轴,所以B(c,),又AB的斜率为3,所以kAB===3,所以=e+1=3,解得e=2.
O
x
y
A
B
F
巩固练习2：已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F1(2,0),点P的坐标为(0,1),点Q为双曲线左支上的动点,且△PQF1的周长不小于14,则双曲线离心率的取值范围为 (　　)
A.(,+∞) B.(,+∞) C.(1,) D.(1,]
[解析] ∵F1(2,0),点P的坐标为(0,1),∴|PF1|==5.
∵△PQF1的周长不小于14,∴|PQ|+|QF1|≥9.设F2为双曲线的左焦点,连接QF2,PF2,
∵F1为双曲线的右焦点,点Q为双曲线左支上的动点,∴|QF1|=|QF2|+2a,
则|PQ|+|QF1|=|PQ|+|QF2|+2a≥9,
当Q在线段PF2上时,|PQ|+|QF2|取得最小值|PF2|=5,故5+2a≥9,解得a≥2,又∵a<2,∴
2≤a<2,故离心率e==∈(1,].
巩固练习3已知F1(-c,0),F2(c,0)分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,直线l:+=1与C交于M,N两点,线段MN的垂直平分线与x轴交于点T(-5c,0),则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
[解析]设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为S(x0,y0),则b2-a2=a2b2,b2-a2=a2b2,两式相减可得b2(-)=a2(-),可得b2(x1-x2)(x1+x2)=a2(y1-y2)(y1+y2),即2b2(x1-x2)x0=2a2(y1-y2)y0,所以kMN=-==,即-·=①.由kMN·kST=-1,可得-·=-1②.由①②可得x0=-,y0=5b,即S (-,5b ).又点S在直线MN上,所以-+5=1,解得e==.故选D.
巩固练习4：设，则二次曲线 的离心率的取值范围为（ ）
A . B. C . D.
巩固练习5：已知双曲线 的左右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且=4 ，则此双曲线离心率的最大值为（ ）
A. B. C. 2 D
巩固练习5：已知椭圆 的左右焦点，分别为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，若直线的斜率为，且= ，此椭圆的离心率为 。
谢 谢 观 看厦门六中高中数学“微专题”教学研讨活动
《 圆锥曲线中的离心率》导学案
学习目标
课题名称 圆锥曲线中的离心率
学 　科 数学 课型 复习课 执教 郭祯
教学时间 一课时（45分钟）（2021.12.01）
教学目标 一般以椭圆或双曲线为载体,主要考查直接求解离心率或离心率的取值范围问题,或通过离心率求解参数或参数的取值范围。
渗透基本思想 要求学生有较强的推理论证能力和准确的计算能力以及数形结合的数学思想
体现学科核心素养 培养学生直观想象,数学运算和数学建模等核心素养
教学重点 利用椭圆、双曲线的定义、几何性质及平面几何，平面向量，解三角形的相关知识方法等找到的数量关系。
教学难点 椭圆、双曲线离心率的方法的灵活应用。
学习过程
复习引入
名称 椭圆 双曲线 抛物线
图像
离心率 公式
变形
范围
渐近线
方法引导
方法一：公式法
例1已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F作圆x2+y2=b2的切线,若两条切线互相垂直,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
方法二：构造法
例2：已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）A. B. C. D.
变式：已知椭圆+=1 的左右焦点分别是,若椭圆上存在点P，使=，求该椭圆离心率的取值范围 。
（三）试试高考题
（四）巩固练习
1. 若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率为( )
A. B. C. D.
2. 如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( )
A. B. C. D2
3..双曲线：的左、右焦点分别为、，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为____.
4..已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且（O为坐标原点），则C的离心率为________.
5.已知双曲线 的左右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且=4 ，则此双曲线离心率的最大值为（ ）
A. B. C. 2 D
6.已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.
（五）总结反思
1.解题关键：寻找a,b,c至少两者间的齐次等式或者不等关系；
2.基本思路：从“形”入手，寻找几何性质突破口；以“数”解形，利用数量关系解决问题；
3.灵活运用：充分利用平面几何，平面向量，解析几何和解三角形的相关知识。

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