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课题：直角三角形（2）
一、创设情境，激活思维
1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？
1.SSS、SAS、AAS、ASA。
2.直角三角形两直角边的平方
和等于斜边的平方。
2.什么是勾股定理？
一、创设情境，激活思维
思考：两边分别相等且一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角呢？
二、问题探究，思维生长
1.活动一：动手操作，猜想结论
已知：线段ɑ、c（ɑ＜c），直角α．
求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝ɑ，AB＝c．
（1）作∠MCN=∠α=90°．
二、问题探究，思维生长
M
C
N
M
（2）在射线CM上截取CB=ɑ．
M
C
N
B
M
二、问题探究，思维生长
（3）以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于A．
二、问题探究，思维生长
M
C
N
B
M
A
A
二、问题探究，思维生长
M
C
N
B
M
（4）连接AB，得到Rt△ABC．
二、问题探究，思维生长
1.活动一：动手操作，猜想结论
你作的三角形和身边小伙伴作的三角形全等吗？
通过画图和观察，你发现了什么结论？写下来。
小组内交流，写下你认为正确的结论。
结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
二、问题探究，思维生长
二、问题探究，思维生长
2.活动二：引导推理，论证结论
已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．求证：△ABC≌△A′B′C′．
二、问题探究，思维生长
已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．求证：△ABC≌△A′B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．
证明：
在△ABC中
∵∠C=90°，
∴BC2=AB2-AC2（勾股定理）．
∴BC=B′C′．
∵AB=A′B′,AC=A′C′，
同理，B′C′2=A′B′2-A′C′2．
二、问题探究，思维生长
定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
(简述为“斜边、直角边”或“HL”).
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△DEF中
AB=CD
AC=DF
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
二、问题探究，思维生长
3.活动三：反思质疑，深化知识
已知AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
思考：两边分别相等且一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角呢？
二、问题探究，思维生长
3.活动三：反思质疑，深化知识
已知AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
思考：两边分别相等且一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角呢？
二、问题探究，思维生长
4.活动四：运用定理，解决问题
（1）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是 ．
（不添加字母和辅助线）
AB=DC
AC=DB
二、问题探究，思维生长
4.活动四：运用定理，解决问题
（2）下列不能使两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．三边对应相等
B．两个锐角相等
C．一条直角边和斜边对应相等
D．两条直角边对应相等
B
SSS
HL
SAS
三、典型例题，巩固新知
1．如图，幼儿园的滑梯有两个长度相等滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等．
（1）△ABC与△DEF全等吗？
（2）两个滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE的大小有什么关系．
解：△ABC与△DEF全等
理由如下：
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
BC=EF
AC=DF
三、典型例题，巩固新知
1．如图，幼儿园的滑梯有两个长度相等滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等．
（1）△ABC与△DEF全等吗？
（2）两个滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE的大小有什么关系．
解：∠ABC+∠DFE＝90°
理由如下：
由（1）知，Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC+∠DFE＝90°．
则∠ABC＝∠DEF
∵∠DEF+∠DFE＝90°，
四、归纳小结，反思提高
回忆本节课探究新知识的过程，谈谈你对收获？
定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△DEF中
AB=CD
AC=DF
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
操作
猜想
观察
证明
交流
应用
释疑
课题：直角三角形（2）
感谢观看！直角三角形（第二课时）教学设计
教材的地位和作用
“直角三角形（第二课时）”选自《义务教育课程标准实验教科书（北师大版）·数学》八年级下册第一章第二节．本节课主要探究的是直角三角形全等判定的“斜边、直角边”定理，这是在学生已经学过的三角形全等的判定、直角三角形的性质和勾股定理等知识的基础上进行的，它既是前面学习的三角形全等判断方法的拓展与应用，又为证明三角形全等、研究矩形的性质等提供了新的方法．所以，本节课在教材中起着承上启下的作用．另外学生在本节课的动手操作、观察猜想、合作交流、反思质疑及归纳小结的过程中，进一步的提高了分析问题和解决问题的能力、感受了合情推理与演绎推理的紧密联系、养成了良好学习习惯以及形成了实事求是的科学态度．这对于学生对后续知识的研究起着很大的作用．
学情分析
就其知识掌握而言，学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前，已经掌握了一般三角形全等的判定方法、勾股定理，且在以往的探究知识的过程中，具备了初步的合情推理和演绎推理能力，积累了一定的探究知识经验，已经具备了进一步探索并证明判定直角三角形全等定理的基础．就其生理、心理特点而言，八年级学生的思维还是以形象思维为主，抽象思维虽然逐渐形成，但尚未成熟．八年级学生有较强的学习兴趣，学习独立性逐渐加强，可塑性大，是掌握基础知识、基本技能的最佳时期．但其认知水平和分析能力有一定的局限．所以在教学过程中，一方面教师要运用直观材料激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性和主动性；另一方面教师要精心的设计教学活动，留足时间给学生操作、观察、思考、交流、质疑和归纳，引导学生用自己的语言归纳新的定理，让学生真正明白知识的产生过程，学会探究新知识的方法．
教学目标
探索并掌握直角三角形全等的“斜边、直角边”的判定定理．
能熟练运用“斜边、直角边”定理判定两个直角三角形是否全等，解决一些简单的实际问题．
已知一直角边和斜边，能用尺规作出直角三角形．
经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力．
教学重点与难点
重点：掌握“斜边、直角边”定理；运用“斜边、直角边”定理解决一些简单的实际问题．
难点：“斜边、直角边”定理的探究过程；“HL”和“SSA”的区别与联系．
教学关键
运用操作、观察、猜想得出结论，在独立思考和合作交流中突破难点．
教学方法
在学生动手操作、观察分析、独立思考、合作交流的基础上，运用直观教学法引导学生发现知识，再运用启发式教学法引导学生积极主动学习，以促进身心发展，同时利用多媒体辅助教学．
教具学具准备
课件、三角尺、圆规．
教学设计
（一）创设情境，激活思维
1.学生回顾全等三角形的判定方法、勾股定理．
2.思考：两边分别相等且一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角呢？
带着这个问题，我们一起进入今天的课程．
［设计意图：教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验之上．复习回顾旧知识有利于本节课探究过程的进行.］
（二）问题探究，思维生长
（教师出示探究活动）
活动一：动手操作，猜想结论
请同学们用尺规作图：已知：线段a、c（a＜c），直角α．求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c. 并认真观察，独立思考，解决以下问题．
问题①：对比你和小伙伴作的三角形，全等吗？
问题②：通过画图和观察，你发现了什么结论？写下来
问题③：小组内交流，写下你认为正确的结论．
你发现的结论 小组内你认为正确的结论
（教师引导学生归纳出“斜边、直角边”定理）
结论： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
［设计意图：学生经历操作、观察、猜想、交流、验证等活动，获得判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.］
活动二：引导推理，论证结论
（教师引导：孩子们，我们知道新知识的获得要经历操作、观察、猜想、交流、证明等活动，由猜想得到的命题只有经过证明才能成为定理.现在，我们一起来证明你的猜想吧.）
（1）已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．求证：△ABC≌△A′B′C′
证明：
在△ABC中，
∵∠C=90°
∴BC2=AB2-AC2
同理，BC′2=AB′2-AC′2
∵AB=A′B′,AC=A′C′
∴BC=B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）
（教师引导学生归纳定理．）
定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
（3）几何语言：
在Rt△ABC和Rt△DEF中
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
（强调：利用定理的前提是“在直角三角形中”，证明三角形全等又多了一种方法）
［设计意图：学生经历了定理的发现、提出和证明的全过程，感受了合情推理与演绎推理的紧密联系.］
活动三：反思质疑，深化知识
两边分别相等且一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角呢？
［设计意图：通过此环节进一步理解“斜边、直角边”定理．养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，形成实事求是的科学态度.］
活动四：运用定理，解决问题
（1）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是　 ．（不添加字母和辅助线）
（2）下列不能使两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．三边对应相等
B．两个锐角相等
C．一条直角边和斜边对应相等
D．两条直角边对应相等
［设计意图：及时运用知识解决问题，提高学生分析问题和解决问题的能力，增强应用意识、参与意识，巩固所学的“斜边、直角边”定理．］
典型例题，巩固新知
（教师出示例题）
1．如图，幼儿园的滑梯有两个长度相等滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等．
（1）△ABC与△DEF全等吗？
（2）两个滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE的大小有什么关系．
［设计意图：运用变式练习，巩固所学的“斜边、直角边”定理，使学生对本节课所形成的概念有更深刻的理解．］
（四）归纳小结，反思提高
回忆本节课探究新知识的过程，谈谈你对收获？
1.知识体系构建：
定理
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
几何语言
在Rt△ABC和Rt△DEF中
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)
2.探究新知识的方法：
操作→观察→猜想→交流→证明→释疑→应用．
［设计意图：通过学生谈本节课的感悟与收获, 引导学生反思学习过程，达到知识的概括与提升，激发学生学习成就感，使学生在知识、能力、情感三个纬度得到提高.．］
（五）分层作业，深化新知
1.必做题：学案第1、2、3、4题；
2.选做题：学案第1题；
［设计意图：作业以分层形式进行，保证基本要求的前提下，体现一定的弹性，以满足学生的不同需求，使不同的人在数学上得到不同的发展.］
（六）板书设计
教学设计说明与反思：
数学学习如果忽视了丰富多彩的人的生活及其需要，忽视了学生在
教学设计说明与反思
九、教学设计说明与反思
教学目标的定位是教学设计的核心，教学问题的设计是教学设计的关键，教学活动的设计是教学设计的标志，教学评价的设计是教学设计的保证．教师在备课时要研读教材、教参与数学课程标准、研究学生的身心发展特点、研究学生的知识水平与认知水平．教师在设计时应明确教学目标、教学重难点，精心的设计教学活动、精心准备数学问题，上好每一节课．正如《数学课程标准》（2011年版）指出的：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想．为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识．”下面就“直角三角形（第二课时）”这一课堂教学为例，谈谈自己的一些做法与体会．
设计操作、观察等活动，培养几何直观
在数学发展历程中，对于数学中的很多问题的发现与解决，数学家的灵感往往发端于几何直观．数学家总是力求把他们研究的问题尽量变成可借助于图形直观加以分析解决的问题，使直观变成数学发现的向导．正如《数学课程标准》（2011年版）指出的：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题．借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果．几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用．”本节课中，我设计的活动给足了学生动手操作、观察分析的时间，引导学生通过观察图形初步得出结论，形成初步的空间观念和一定的几何直观．
设计猜想、证明等活动，培养推理能力
推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．正如《数学课程标准》（2011年版）指出的：“推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算．在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论．”本节课中，我设计的教学活动给学生提供探索交流的空间，引导学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程”，并把推理能力的培养有机地融合在这样的“过程”之中．
设计思考、归纳等活动，培养创新意识
《数学课程标准》（2011年版）指出：“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中．学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法．创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终．”本节课中，我设计的教学活动给学生留足了独立思考的时间，引导学生在观察分析过程中进行独立思考，在推理论证之后尝试用自己的语言归纳结论，在一定程度上培养了学生的创新意识．
设计与生活息息相关的问题，培养应用意识
《数学课程标准》（2011年版）指出：“应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决．在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体． ”本节课，在典型例题的环节中，我设计了一个与生活息息相关的问题，使学生体会数学结论在实际中的应用.．在一定程度上培养了学生的应用意识．
总之，本节课围绕着“直角三角形中全等的判定”这条主线，让学生经历操作、观察、猜想、质疑、交流、证明等学习过程．这既重视了知识的生成过程，又重视了学生思维的发展过程；既重视了能力的培养，又重视了学生情感的产生和保持．
本节课到此是结束了，但是学生发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基础活动经验是一个漫长的过程．在今后的教学中，我们应精心备课、上好每一节课，争取达到“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的目标．
投影区
学生练习板演
1.2直角三角形（2）
定理
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
（“斜边、直角边”或“HL”）
几何语言
在Rt△ABC和Rt△DEF中
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)
- 6 -直角三角形（2）
创设情境，激活思维
判断两个三角形全等的方法有哪几种？
什么是勾股定理？
思考：两边分别相等且一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角呢？
问题探究，思维生长
活动一：动手操作，猜想结论
已知：线段a、c（a＜c），直角α.
求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c.
问题①：你作的三角形和身边小伙伴作的三角形全等吗？
问题②：通过画图和观察，你发现了什么结论？写下来
问题③：小组内交流，写下你认为正确的结论
你发现的结论 小组内你认为正确的结论
活动二：引导推理，论证结论
已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．求证：△ABC≌△A′B′C′
活动三：反思质疑，深化知识
两边分别相等且一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角呢？
活动四：运用定理，解决问题
1．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是　 　．（不添加字母和辅助线）
2．下列不能使两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．三边对应相等 B．两个锐角相等
C．一条直角边和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等
典型例题，巩固新知
1．如图，幼儿园的滑梯有两个长度相等滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等．
（1）△ABC与△DEF全等吗？
（2）两个滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE的大小有什么关系．
归纳小结，反思提高
回忆本节课探究新知识的过程，谈谈你对收获？
分层作业，深化新知
必做题
1．如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD； ③∠BAC＝∠BAD； ④BC＝BD，能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列说法错误的是（　　）
A．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等
B．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等
C．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等
D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等
3．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝　 　．
4．在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF＝AE，BC＝DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．
选做题
1．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？

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