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2.2 函数的单调性
一、学习目标
1.理解函数单调性的概念；
2.会判断与证明函数的单调性；
3.掌握单调性的初步应用.
二、知识要点
1.单调性的概念：
增函数 减函数
图象
定义 一般地，设函数的定义域为，若对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，
当时，都有，则称是区间上的增函数 当时，都有， 则称是区间上的减函数
简记
2.单调性的处理策略：①定义法；②图象法；③复合函数单调性：同增异减；④利用已知函数的单调性：增+增=增，减+减=减等；⑤导数法.
3.用定义证明单调性的步骤：①取值；②作差；③变形；④定号；⑤判断.
三、典例分析
例1.求下列函数的单调区间：
（1）；（2）； （3）；（4）.
【答案】（1），； （2），；
（3），； （4），.
例2.（1）试讨论函数在上的单调性；
（2）设，试判断函数在区间的单调性；
【答案】（1）利用单调性定义可得：在上单调递增；
利用单调性定义或导数可得：当时，在区间上递减.
例3.（1）已知是R上的减函数，则的取值范围是__________.
（2）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是____________.
（3）函数在，上是减函数，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】（1）； （2）； （3）C.
例4.（1）已知若，则实数的取值范围是________.
（2）设，下列命题中正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】（1）； （2）A.
课外作业
1.下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2.定义在上的函数满足对任意，有，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
3.已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
4．已知函数满足：且．则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
6.设函数在上有定义，对于给定的正数，定义函数，取函数，当时，函数的单调递增区间为（ ）
B. C. D.
【答案】D
7.函数的递减区间是____________.
【答案】，
8.若函数在区间上递增，则实数的取值范围是_________.
【答案】
9.设函数在是增函数，则的取值范围___________.
【答案】
10.已知函数，若，则实数的取值范围是_________.
【答案】
11.已知函数
（1）证明：函数在区间上是增函数；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）单调性定义或者导数； （2）最小值，最大值.
12.函数对任意的，都有，且当时，
（1）求证：是上的增函数； （2）若，解不等式
【答案】（1）定义； （2）.

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