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基本不等式习专题之基本不等式做题技巧
【基本知识】
1.（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）
2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）
(3)若，则 (当且仅当时取“=”）
(4)当且仅当a = b = c时,“=”号成立；
,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.
4.若，则（当且仅当时取“=”）
注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3) 熟悉一个重要的不等式链：。

【技巧讲解】
技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）
1：已知，求函数的最大值。
2. 当时，求的最大值。
3：设，求函数的最大值。
4、求函数的最小值。
5 已知，且满足，求的最大值.
6已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.
7 若且,求的最小值 .
技巧一答案：
1解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，
，
当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

2解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。
当，即x＝2时取等号 当x＝2时，的最大值为8。
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。
3、解：∵∴∴
当且仅当即时等号成立。
4解析：
，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最小值是。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
5、分析 , 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式是否定值， 而已知是与的和为定值，故应先配系数，即将变形为，再用均值不等式.
　　　
当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值是.
6分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。
同时还应化简中y2前面的系数为 ， x＝x ＝x·
下面将x，分别看成两个因式：
x·≤＝＝ 即x＝·x ≤
　　7分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用+b来解决.换个思路，可考虑将重新组合，变成，而等于定值，于是就可以利用均值不等式了.
技巧二： 分离或裂项
求的值域。
2求函数的值域.
1解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
2、解：可将上式转化为
所以值域为：
技巧三：换元
1、求的值域。
2、求函数的最大值.
3、、已知正数x、y满足，求的最小值。
4、已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.
参考答案：
　　1、解析：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。
2分析 可先令，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.
3、解法三：（三角换元法）
令则有
，易求得时“=”号成立，故最小值是18。
技巧四：消元（转化为函数最值，此时要注意确定变量的范围）
已知正数x、y满足，求的最小值。
2、已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.
3、设为正实数，，则的最小值是.
1解法：（消元法）
由得，由则。当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。
法一：a＝， ab＝·b＝
　　　由a＞0得，0＜b＜15
　　　令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8
　　　∴ ab≤18 ∴ y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
3分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得，则可对进行消元，用表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.
技巧五：整体代换(条件不等式)
1：已知，且，求的最小值。
2、已知正数x、y满足，求的最小值。
1错解：，且， 故 。
错因：解法中两次连用基本不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解：，
当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。
变式： （1）若且，求的最小值
(2)已知且，求的最小值
2、解法：（利用均值不等式）
,当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。
技巧六：转化为不等式
已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.
2、已知正数满足，试求、的范围。
1解：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 　∴ 30－ab≥2
　　　令u＝　则u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3
　　　∴≤3，ab≤18，∴y≥
点评：①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.
1解法：
由，则，即解得，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是。
又，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是
技巧六：取平方
已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值.
2: 求函数的最大值。
解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单
　＋ ≤＝＝2
解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
W＞0，W2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·≤10＋()2·()2 ＝10＋(3x＋2y)＝20
　　∴ W≤＝2
解析：注意到与的和为定值。
又，所以
当且仅当=，即时取等号。 故。
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。
注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。
1：求函数的值域。
2、若x、y，求的最小值。
1解：令，则
因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。
因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。
所以，所求函数的值域为。
2解法一：（单调性法）由函数图象及性质知，当时，函数是减函数。
证明：
任取且，则
，
∵，∴，
则，即在上是减函数。
故当时，在上有最小值5。
解法二：（配方法）因，则有，易知当时， 且单调递减，则在上也是减函数，即在上是减函数，当时，在上有最小值5。
解法三：（导数法）由得，当时，，则函数在上是减函数。故当时，在上有最小值5。
解法四：（拆分法），当且仅当时“=”号成立，故此函数最小值是5。
评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。
练习：

2.若实数满足，则的最小值是 .
分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值，
解： 都是正数，≥
当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6．
3若，求的最小值.并求x,y的值
求下列函数的最大值：
① ②
解析：
①，∴
，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值是1。②，则，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。
,当且仅当，即时，不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是。
4.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。
5.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

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