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人教A版（2019） 必修第一册 第一章 1.3 集合的基本运算
一、解答题
1．求方程组的解集.
2．已知集合，集合，集合．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
3．定义：给定整数i，如果非空集合满足如下3个条件：
①；②；③，若，则.
则称集合A为“减i集”
（1）是否为“减0集”？是否为“减1集”？
（2）证明：不存在“减2集”；
（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由.
4．已知，求.
5．求下列方程组的解集：
（1）；（2）；（3）.
6．已知集合，．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
7．已知集合，，
（1）求，；
（2），
8．已知函数的定义域为集合，，．
（1）求，；
（2）若，求实数的范围．
9．已知全集，集合，，．
（1）求，；
（2）如果，求实数的取值范围．
10．在①充分不必要；②必要不充分；③充要这三个条件中任选一个，补充到下面的横线中，求解下列问题：
已知集合，.
（1）若，求；
（2）是否存在实数a，使得是的 条件.若存在，求实数a的取值范围；若不存在，
请说明理由.
(注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分)
11．（1）若，，求；
（2）若，，求．
12．已知集合，集合．
（1）若，求集合；
（2）已知．且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
13．若集合A＝{x|}和B＝{ x |2m－1≤x≤m＋1}．
（1）当时，求集合.
（2）当时，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【解析】
先利用加减消元法求得，再利用加减消元法可求出该方程组的解，即可得出原方程组的解集.
【详解】
设，，则有，解得，所以，
即，两式相减得，解得或，
当时，；当时，.
因此，原方程组的解集为.
【点睛】
本题考查二元方程组的求解，一般利用代入消元法和加减消元法求解，考查运算求解能力，属于基础题.
2．（1）；（2）或．
【解析】
【详解】
试题分析：若要求解，必须先分别求解函数和的定义域即可；由（1）中集合，再由可得，集合一定是集合的子集，得出不等式解出即可，值得注意的是集合要分为空集和非空集两种情况．
试题解析：（1）∵，，
∴．
（2） ∵ ∴．
①,,∴．
②,则或．∴．
综上，或
考点：1、函数定义域；2、一元二次不等式；3、集合的运算．
3．（1）是“减0集”；不是“减1集”（2）证明见解析；（3）存在；，，，3，，
【解析】
【分析】
（1），，，，即可得出是“减0集”，同理可得不是“减1集”．
（2）假设存在是“减2集”，则若，那么，分当和时，对，分类讨论即可举出反例，进而证明命题．
（3）存在“减1集” ．．假设，则中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设，，而，因此．假设，，而，因此．因此可以有，．假设，，而，因此．假设，，，，，因此．
因此可以有，3，．以此类推可得所有的．
【详解】
（1），，，，是“减0集”
同理，，，，，不是“减1集”．
（2）假设存在是“减2集”，则若，
那么，当时，有，
则，一个为2，一个为4，所以集合中有元素6，
但是，，与是“减2集”，矛盾，
当时，则或，若，
为除1以外的最小元素，则，时，小于，
若要符合题意则，此时取时，不属于，故不符合题意；
时，，同样得出矛盾，综上所述，故不存在“减2集”.
（3）存在“减1集”．．
①假设，则中除了元素1以外，必然还含有其它元素．
假设，，而，因此．
假设，，而，因此．
因此可以有，．
假设，，而，因此．
假设，，，，，因此．
因此可以有，3，．
以此类推可得：，3，5，，，，，
所以满足条件的集合：，，，3，，
【点睛】
本题考查集合新定义，元素与集合的关系，逻辑推理能力，属于难题
4．
【解析】
先求出函数的函数值的范围即集合，再求出函数的函数值的范围，再结合可得集合，再两者结合可求
【详解】
因为，故，
所以.
又，故
故，
故.
【点睛】
本题考查集合的交，注意集合表示函数的函数值的取值集合，本题属于基础题.
5．（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）由可得，代入，利用代入消元法可求出原方程组的解集；
（2）由可得，代入，利用代入消元法可求出原方程组的解集；
（3）由可得，代入，利用代入消元法可求出原方程组的解集.
【详解】
（1），
由①得，③，把③代入②得，解得或.
把代入③得，把代入③得，
因此，原方程组的解集是；
（2），
由①得，③，把③代入②，整理得，
即，解得或.
把代入③得，把代入③得，
所以原方程组的解集为；
（3），
由①得，③，把③代入②，整理得，即，解得.
把代入③得，
所以原方程组的解集为.
【点睛】
本题考查二元二次方程组的求解，一般利用加减消元法和代入消元法求解，考查运算求解能力，属于基础题.
6．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先化简集合A,B,再求；（2）由题得，再把集合C分两种情况讨论得解.
【详解】
（1）由得：，
即，，∴；
由得：，故，∴；
故．
（2）因为，故，
当时，，∴；
当时，∴，
∴实数的取值范围是．
【点睛】
本题主要考查指数不等式和分式不等式的解法，考查集合的混合运算，考查集合之间的关系运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．（1），
（2），
【解析】
【详解】
试题分析：两集合的交集为两集合的相同的元素构成的集合，并集为两集合的所有的元素构成的集合，A的补集为全集中不在A中的元素构成的集合，集合的交并补运算常借助于数轴求解
试题解析：（1）由已知得 ,
（2）由已知得,
考点：集合交并补运算
8．（1），；（2）．
【解析】
【分析】
（1）求出函数的定义域得出集合，再利用集合的交、补运算即可求解.
（2）根据题意可得，然后讨论或，利用集合的包含关系即可求解.
【详解】
解：（1）由，
得解得，
所以或，又．
所以．
（2）由，分两种情况讨论，
①时，得
②时，得，
综上．
9．（1）见解析；（2）a≤1或a≥7.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）利用对数函数的性质化简集合，从而根据补集的定义求出集合 与集合的补集，再根据集合交集与并集的定义可得；（2）通过是非空集，，而或，从而求出的范围.
试题解析：（1）由0＜log3x＜2，得1＜x＜9∴B=（1，9），
∵A={x|2≤x＜7}=[2，7），∴A∪B=（1，9）
CUA=（﹣∞，2）∪[7，+∞），
∴（CUA）∩B=（1，2）∪[7，9）
（2）C={x|a＜x＜a+1}=（a，a+1）
∵A∩C=，∴a+1≤2或a≥7，
解得：a≤1或a≥7
10．（1）；（2）选①；选②；选③不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意得到，，再求即可.
（2）若选①，得到，再解不等式组即可；若选②得到，再解不等式组即可；若选③，得到，再解方程组即可.
【详解】
（1），，
所以.
（2）若选①，是的充分不必要条件，
所以.
若选②，是的必要不充分条件，
所以.
若选③，是的充要条件，
所以，无解.
11．（1）；（2）
【解析】
（1）先求得，由此求得；
（2）根据图象变换的知识以及抛物线的知识，求得；
【详解】
（1）由于，所以；由于，所以，所以
（2）抛物线向上平移一个单位得到抛物线，根据抛物线的性质可知，两条抛物线没有交点，所以.
【点睛】
本小题主要考查集合的概念，考查交集的概念和运算，属于基础题.
12．（1）（2）.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）当时，所以
（2）由于对A,B集合进行化简.“”是“”的必要不充分条件等价于.由于B集合化简为且所以只需讨论B集合非空的情形.
试题解析：（1）当时，=
．
∴．
（2）∵∴，∴．
又，∴．
∵“”是“”的必要不充分条件，∴，
∴，
解之得：．
考点：1、一元二次不等式；2、集合间的关系和运算．
13．（1）{x|－7≤x≤4} （2）m≥－1
【解析】
（1）先求出集和A＝{x|﹣3≤x≤4}，然后m＝﹣3时可以得出集和B，进行并集的运算便可得出A∪B；
（2）可由A∩B＝B得出B A，然后讨论B是否为空集，对于每种情况，判断是否满足题意，并建立关于m的不等式，解出m的范围，求并集便可得出实数m的取值范围．
【详解】
解析：（1）当m＝－3时，
B＝{x|－7≤x≤－2}，
AB＝{x|－7≤x≤4}．
（2）由A∩B＝B知，B A；
①当2m﹣1＞m+1，即m＞2时，B＝ A，合题意；
②当B≠ 时，由B A，则有，∴﹣1≤m≤2
综上①②，实数m取值范围是{m|m≥﹣1}．
【点睛】
本题考查描述法表示集合，以及交集、并集的概念及运算，子集的概念，空集的概念，考查分类讨论思想．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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