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2022年中考数学复习（选择题）：一次函数（10题）
一．选择题（共10小题）
1．（2021 宁夏）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y＝kx+b（k≠0）上，当x1＜x2时，y2＞y1，且kb＞0，则在平面直角坐标系内，它的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2021 陕西）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，平移后的直线经过点（﹣1，m），则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
3．（2021 抚顺）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（　　）
A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4
4．（2021 黔东南州）已知直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是第一象限内的点，若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（　　）
A．（1，1）
B．（1，1）或（1，2）
C．（1，1）或（1，2）或（2，1）
D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）
5．（2021 雁塔区校级一模）函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象经过点P，且y的值随x的增大而增大，则点P的坐标可以为（　　）
A．（0，3） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣1） D．（3，﹣2）
6．（2021 鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（　　）
A．x＜2 B．x＜3 C．x＞2 D．x＞3
7．（2021 赤峰）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的个数是（　　）
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；
③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44＜x＜89；
④乙到达终点时，甲距离终点还有68米．
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2021 克什克腾旗二模）甲、乙两车从A城出发前往300km处的B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（　　）
A．甲车的平均速度为60km/h
B．乙车的平均速度为100km/h
C．乙车比甲车先到B城
D．乙车比甲车先出发1h
9．（2021 开州区模拟）A、B两地相距90km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l1，l2表示两人离A地的距离S（km）与时间t（h）的关系，结合图象，下列结论正确的有（　　）
①l1是表示甲离A地的距离与时间关系的图象；
②乙的速度是30km/h；
③两人相遇时间在t＝1.2h；
④当甲到达终点时乙距离终点还有45km．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2021 北碚区校级四模）一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系．则点C的纵坐标是（　　）
A．260 B．280 C．300 D．320
2022年中考数学复习（填空题）：一次函数（10题）
二．填空题（共10小题）
1．（2021秋 青羊区校级期中）如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点An、Bn，△AnBnO的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2021＝　 　．
2．（2021 梧州）如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 　 　．
3．（2021 集贤县模拟）如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3…按此规律作下去，则B2021的坐标为 　 　．
4．（2021 镇江一模）在平面直角坐标系中，已知点A（1，﹣2），点B（2，1），点P在一次函数y＝x+b的图象上，若满足PAB＝45°的点P只有1个，则b的取值范围是 　 　．
5．（2021 盐城二模）点（m，y1），（m+1，y2）都在函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，若y1﹣y2＝2，则k＝　 　．
6．（2021 兴安盟）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，以A1B1为边向右作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交直线l于点B2；以A2B2为边向右作正方形A2B2C2A3，延长A3C2交直线l于点B3；…；按照这个规律进行下去，点B2021的坐标为 　 　．
7．（2021 沂水县一模）定义：若两个函数的图象关于直线y＝x对称，则称这两个函数互为反函数．请写出函数y＝﹣2x+1的反函数的解析式 　 　．
8．（2021 德州）小亮从学校步行回家，图中的折线反映了小亮离家的距离S（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，给出以下结论：①他在前12分钟的平均速度是70米/分钟；②他在第19分钟到家；③他在第15分钟离家的距离和第24分钟离家的距离相等；④他在第33分钟离家的距离是720米．其中正确的序号为 　 　．
9．（2021 重庆模拟）春节期间，月月和妈妈从家出发到电影院观看热映电影《你好，李焕英》．妈妈先出发，2分钟后月月沿同一路线出发去追妈妈，当月月追上妈妈时发现手机落在途中了，妈妈立即返回找手机，月月继续前往电影院，当月月到达电影院时，妈妈刚好找到了手机并立即前往电影院（妈妈找手机的时间忽略不计），月月在电影院等了一会儿，没有等到妈妈，就沿同一路线返回接妈妈，最终与妈妈会合，月月和妈妈的速度始终不变，如图是月月和妈妈两人之间的距离y（米）与妈妈出发的时间x（分）的图象，则月月开始返回时，妈妈离家的距离为 　 　米．
10．（2021 阜新）育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了h第一次返回到自己班级，则七（2）班需要 　 　h才能追上七（1）班．
2022年中考数学复习（解答题）：一次函数（10题）
三．解答题（共10小题）
1．（2021 萧山区二模）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．
（1）直接写出不等式x+1＞mx+n的解集；
（2）直接写出方程组的解；
（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．
2．（2021 滨江区校级三模）已知一次函数y＝（m﹣1）x﹣2m+1，其中m≠1．
（1）无论m取何值，判断点A（2，﹣1）是否一定在一次函数的图象上，并说明理由．
（2）若点B（1，t），C（3，t+2）都在该一次函数的图象上，求m的值．
（3）当﹣2≤x≤3时，函数有最大值为2，求函数表达式．
3．（2021 滨州）甲、乙两车沿同一条笔直的道路匀速同向行驶，车速分别为20米/秒和25米/秒．现甲车在乙车前500米处，设x秒后两车相距y米，根据要求解答：以下问题：
（1）当x＝50（秒）时，两车相距多少米？当x＝150（秒）时呢？
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在给出的平面直角坐标系中，请直接画出（2）中所求函数的图象．
4．（2021 兰州）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：
（1）观光车出发 　 　分钟追上小军；
（2）求l2所在直线对应的函数表达式；
（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．
5．（2021 兴安盟）移动公司推出A，B，C三种套餐，收费方式如表：
套餐 月保底费（元） 包通话时间（分钟） 超时费（元/分钟）
A 38 120 0.1
B 　 　 　 　 　 　
C 118 不限时
设月通话时间为x分钟，A套餐，B套餐的收费金额分别为y1元，y2元．其中B套餐的收费金额y2元与通话时间x分钟的函数关系如图所示．
（1）结合表格信息，求y1与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）结合图象信息补全表格中B套餐的数据；
（3）选择哪种套餐所需费用最少？说明理由．
6．（2021 齐齐哈尔二模）甲乘船从A码头出发顺流到B码头，再逆流返回A码头，往返两次的顺流速度相同，逆流速度相同．乙乘漂流筏从A、B两码头间的C码头出发，以9km/h的速度到达B码头后马上乘快艇返回A码头（换乘时间忽略不计）两人同时出发，最后乙比甲先到达A码头（两人行驶途中所受其它阻力忽略不计）．两人离B码头的路程y（km）与甲行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．结合图象解答：下列问题：
（1）m＝　 　，n＝　 　，甲在静水中的速度为 　 　km/h，乙从B码头到A码头的速度为 　 　km/h；
（2）求图中线段DE的函数解析式；
（3）两人第二次相遇时离C码头 　 　km．
7．（2021 雁塔区校级一模）2020年初新型冠状肺炎的爆发及蔓延牵动了全国人民的心，也增强了大家的防护意识，因此，日常生活中开展科学、规范的防护工作显得十分重要．某社区为防控疫情传播，保障社区人员的生命安全，计划购买大量消毒液用于日常消毒．经了解，甲、乙两个销售公司推出的购买优惠方案如下：甲公司规定：每瓶消毒液一律按标价的八五折出售；乙公司规定：每瓶消毒液按标价出售，若购买数量超过20瓶则超出的部分打七折．已知每瓶消毒液的标价为8元，若该社区计划购买消毒液共x瓶，购买甲公司消毒液所需费用为y1元，购买乙公司消毒液所需费用为y2元．
（1）分别求y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）若该社区计划购买消毒液共60瓶，则选择哪一家销售公司比较合算？
8．（2021 沈阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x，y轴于B、A两点，将△AOB沿直线折叠，使点B落在点C处．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求OC的长；
（3）若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△CDO面积相等时，请直接写出直线OD的函数表达式．
9．（2021 沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线y＝x于点D，连接OC，AD．
（1）填空：k＝　 　，点A的坐标是（ 　 　，　 　）；
（2）求证：四边形OADC是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当t＝1时，△CPQ的面积是 　 　．
②当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时t的值．
10．（2021 金华）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若BA＝BO，求证：CD＝CO．
②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．
（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．
2022年中考数学复习（选择题）：一次函数（10题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021 宁夏）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y＝kx+b（k≠0）上，当x1＜x2时，y2＞y1，且kb＞0，则在平面直角坐标系内，它的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
考点：一次函数的性质．
专题：一次函数及其应用；推理能力；应用意识．
分析：根据点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y＝kx+b（k≠0）上，当x1＜x2时，y2＞y1，且kb＞0，可以得到k、b的正负情况，然后根据一次函数的性质，即可得到直线y＝kx+b经过哪几个象限．
解答：∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y＝kx+b（k≠0）上，当x1＜x2时，y2＞y1，且kb＞0，
∴k＞0，b＞0，
∴直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，
故选：A．
点评：本题考查一次函数的性质，解答：本题的关键是求出k、b的正负．
2．（2021 陕西）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，平移后的直线经过点（﹣1，m），则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
考点：一次函数图象与几何变换．
专题：一次函数及其应用；应用意识．
分析：先根据平移规律求出直线y＝﹣2x向上平移3个单位的直线解析式，再把点（﹣1，m）代入，即可求出m的值．
解答：将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，得到直线y＝﹣2x+3，
把点（﹣1，m）代入，得m＝﹣2×（﹣1）+3＝5．
故选：D．
点评：本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．
3．（2021 抚顺）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（　　）
A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4
考点：函数的图象；一次函数与一元一次方程．
专题：一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
分析：首先利用函数解析式y＝2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b＝2的解可得答案．
解答：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），
∴2＝2m，
∴m＝1，
∴P（1，2），
∴当x＝1时，y＝kx+b＝2，
∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，
故选：B．
点评：此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
4．（2021 黔东南州）已知直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是第一象限内的点，若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（　　）
A．（1，1）
B．（1，1）或（1，2）
C．（1，1）或（1，2）或（2，1）
D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）
考点：一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．
专题：一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；几何直观．
分析：先根据一次函数解析式求出A、B两点的坐标，然后根据已知条件，进行分类讨论分别求出点P的坐标．
解答：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，
当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝1；
故A、B两点坐标分别为A（1，0），B（0，1），
∵点P是第一象限内的点且△PAB为等腰直角三角形，
①当∠PAB＝90°时，P点坐标为（2，1）；
②当∠PBA＝90°时，P点坐标为（1，2）；
③当∠APB＝90°时，P点坐标为（1，1）；
故选：C．
点评：本题主要考查了一次函数的应用，数形结合思想和分类讨论思想的运用是解题的关键．
5．（2021 雁塔区校级一模）函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象经过点P，且y的值随x的增大而增大，则点P的坐标可以为（　　）
A．（0，3） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣1） D．（3，﹣2）
考点：一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
专题：一次函数及其应用；运算能力．
分析：由y的值随x值的增大而增大可得出k＞0，分别取四个选项中点的坐标，利用待定系数法可求出k值，取k＞0的选项即可得出结论．
解答：∵y的值随x值的增大而增大，
∴k＞0．
A、将（0，3）代入y＝kx﹣k，得：3＝﹣k，
解得：k＝﹣3，选项A不符合题意；
B、将（﹣1，2）代入y＝kx﹣k，得：2＝﹣k﹣k，
解得：k＝﹣1，选项B不符合题意；
C、将（﹣1，﹣1）代入y＝kx﹣k，得：﹣1＝﹣k﹣k，
解得：k＝，选项C符合题意；
D、将（3，﹣2）代入y＝kx﹣k，得：﹣2＝3k﹣k，
解得：k＝﹣1，选项D不符合题意．
故选：C．
点评：本题考查了一次函数的性质以及待定系数法求一次函数解析式，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
6．（2021 鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（　　）
A．x＜2 B．x＜3 C．x＞2 D．x＞3
考点：一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．
专题：一次函数及其应用；几何直观．
分析：以两函数图象交点为分界，直线y＝kx+b（k≠0）在直线y＝2x﹣1的下方时，x＞2．
解答：根据图象可得：不等式2x﹣1＞kx+b的解集为：x＞2，
故选：C．
点评：此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．
7．（2021 赤峰）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的个数是（　　）
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；
③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44＜x＜89；
④乙到达终点时，甲距离终点还有68米．
A．4 B．3 C．2 D．1
考点：一次函数的应用．
专题：一次函数及其应用；应用意识．
分析：通过函数图象可得，甲出发3秒走的路程为12米，乙到达终点所用的时间为80秒，根据行程问题的数量关系可以求出甲、乙的速度，利用数形结合思想及一元一次方程即可解答：．
解答：由函数图象，得：甲的速度为12÷3＝4（米/秒），乙的速度为400÷80＝5（米/秒），
故①正确；
设乙离开起点x秒后，甲、乙两人第一次相遇，根据题意得：
5x＝12+4x，
解得：x＝12，
∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点为：12×5＝60（米），
故②错误；
当甲、乙两人之间的距离超过32米时，
，
可得44＜x＜89，
故③正确；
∵乙到达终点时，所用时间为80秒，甲先出发3秒，
∴此时甲行走的时间为83秒，
∴甲走的路程为：83×4＝332（米），
∴乙到达终点时，甲、乙两人相距：400﹣332＝68（米），
故④正确；
结论正确的个数为3．
故选：B．
点评：本题主要考查了一次函数的应用，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析：得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
8．（2021 克什克腾旗二模）甲、乙两车从A城出发前往300km处的B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（　　）
A．甲车的平均速度为60km/h
B．乙车的平均速度为100km/h
C．乙车比甲车先到B城
D．乙车比甲车先出发1h
考点：一次函数的应用．
专题：一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
分析：根据函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两车的速度，从而可以判断A和B；再根据图象，可以发现乙车比甲车先到B城，乙车比甲车晚出发1h，从而可以判断C和D．
解答：由图象可得，
甲车的平均速度为：300÷（10﹣5）＝300÷5＝60（km/h），故选项A正确，不符合题意；
乙车的平均速度为：300÷（9﹣6）＝300÷3＝100（km/h），故选项B正确，不符合题意；
乙车比甲车先到B城，故选项C正确，不符合题意；
乙车比甲车晚出发1h，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
点评：本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答：是解答：本题的关键．
9．（2021 开州区模拟）A、B两地相距90km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l1，l2表示两人离A地的距离S（km）与时间t（h）的关系，结合图象，下列结论正确的有（　　）
①l1是表示甲离A地的距离与时间关系的图象；
②乙的速度是30km/h；
③两人相遇时间在t＝1.2h；
④当甲到达终点时乙距离终点还有45km．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点：一次函数的应用．
专题：一次函数及其应用；应用意识．
分析：选项A、B根据题意和图象可以判断；选项C根据图象可以分别求得甲乙对应的函数解析式，联立即可得出甲出发后经过多少小时两人相遇．根据“路程、时间与速度的关系”列式计算即可．
解答：∵甲先出发，
∴表示甲离A地的距离与时间关系的图象是l1，故①结论正确；
乙的速度是：90÷（3.5﹣0.5）＝90÷3＝30（km/h），故②结论正确；
设甲对应的函数解析式为y＝ax+b，
，
解得，
∴甲对应的函数解析式为y＝﹣45x+90，
设乙对应的函数解析式为y＝cx+d，
，
解得，
即乙对应的函数解析式为y＝30x﹣15，
解方程组，得，
即甲出发1.4小时后两人相遇．故③结论错误．
90﹣30×（2﹣0.5）＝45（km），
即当甲到达终点时乙距离终点还有45km，故④结论正确，
∴结论正确的有3个．
故选：B．
点评：本题考查一次函数的应用，解答：本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答：．
10．（2021 北碚区校级四模）一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系．则点C的纵坐标是（　　）
A．260 B．280 C．300 D．320
考点：一次函数的应用．
专题：一次函数及其应用；应用意识．
分析：根据题意和函数图象中的数据，可以求出点C的纵坐标．
解答：由图可得，
甲乙两地的距离为150×3＝450（千米），
∵两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，两车相遇时正好是3小时，
∴轿车每小时比货车多行驶30千米，
∴轿车的速度为：[450÷3﹣30]÷2+30＝90（千米/小时），
货车的速度为：[450÷3﹣30]÷2＝60（千米/小时），
轿车到达乙地用的时间为：450÷90＝5（小时），此时两车间的距离为：60×5＝300（千米），
∴点C的纵坐标是300．
故选：C．
点评：本题考查一次函数的应用，解答：本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答：．
2022年中考数学复习（填空题）：一次函数（10题）
参考答案与试题解析
二．填空题（共10小题）
1．（2021秋 青羊区校级期中）如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点An、Bn，△AnBnO的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2021＝　　．
考点：规律型：图形的变化类；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
专题：规律型；一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
分析：把x＝0，y＝0代入一次函数解析式求出Bn坐标与An坐标，然后根据三角形面积公式求解．
解答：把x＝0代入y＝﹣x+得y＝，
∴Bn坐标为（0，），
把y＝0代入y＝﹣x+得0＝﹣x+，
解得x＝，
∴An坐标为（，0），
∴Sn＝××＝（﹣），
∴S1+S2+S3+…+S2019＝（1﹣+﹣+...+﹣）＝．
故答案为：．
点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解答：此题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点，可用取特殊值的方法求定点坐标寻找规律解答：．
2．（2021 梧州）如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 　　．
考点：一次函数与二元一次方程（组）．
专题：一次函数及其应用；几何直观．
分析：两条直线的交点坐标就是两条直线的解析式构成的方程组的解．
解答：∵直线l1：y＝x+与直线l2：y＝kx+3相交于点A（2，1），
∴关于x、y的方程组的解为，
故答案为：．
点评：本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系．
3．（2021 集贤县模拟）如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3…按此规律作下去，则B2021的坐标为 　（22020，22021）　．
考点：规律型：点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称．
专题：规律型；一次函数及其应用；运算能力．
分析：先根据题意求出A2点的坐标，再根据A2点的坐标求出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点Bn的坐标．
解答：∵点A1坐标为（1，0），
∴OA1＝1，
过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，可知B1点的坐标为（1，2），
∵点A2与点O关于直线A1B1对称，
∴OA1＝A1A2＝1，
∴OA2＝1+1＝2，
∴点A2的坐标为（2，0），B2的坐标为（2，4），
∵点A3与点O关于直线A2B2对称．故点A3的坐标为（4，0），B3的坐标为（4，8），
依此类推便可求出点An的坐标为（2n﹣1，0），点Bn的坐标为（2n﹣1，2n），
∴B2021的坐标为（22020，22021），
故答案为：（22020，22021）．
点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质．
4．（2021 镇江一模）在平面直角坐标系中，已知点A（1，﹣2），点B（2，1），点P在一次函数y＝x+b的图象上，若满足PAB＝45°的点P只有1个，则b的取值范围是 　b＞﹣　．
考点：一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
专题：数形结合；一次函数及其应用；数据分析：观念．
分析：连接AB，过点A作AC∥OB，证明△AOB是等腰直角三角形，然后结合一次函数图象的平移，利用y＝x+b由y＝x 平移得到b的取值范围．
解答：如图：连接AB，过点A作AC∥OB，
∵A（1，﹣2），点B（2，1），
∴AB＝，
AO＝，
BO＝，
∴AO2+BO2＝AB2，AO＝BO，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
又∵OB∥AC，
∴∠OBA＝∠BAC＝45°，
∴满足PAB＝45°的点P在射线AC或射线AO上，
设直线OB的解析式为y＝kx，
把B（2，1）代入，得：2k＝1，
解得：k＝，
∴直线OB的解析式为y＝x，
所以直线AC的解析式为y＝x+m，
把A（1，﹣2）代入y＝x+m中，
+m＝﹣2，
解得：m＝﹣，
又∵满足PAB＝45°的点P只有1个，且点P在一次函数y＝x+b上，
∴点P在射线AO上，且不与点A重合，
∴b＞﹣，
故答案为：b＞﹣．
点评：本题考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的平移以及利用勾股定理逆定理判定直角三角形是解题关键．
5．（2021 盐城二模）点（m，y1），（m+1，y2）都在函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，若y1﹣y2＝2，则k＝　﹣2　．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
专题：待定系数法；一次函数及其应用；运算能力．
分析：利用待定系数法将点（m，y1），（m+1，y2）的坐标代入解析式y＝kx+b（k≠0）中，得到若y1、y2的值，利用y1﹣y2＝2可求得结论．
解答：∵点（m，y1），（m+1，y2）都在函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，
∴y1＝km+b，y2＝k（m+1）+b，
∵y1﹣y2＝2，
∴km+b﹣[k（m+1）+b]＝2，
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
点评：本题主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法将已知点的坐标代入函数的解析式是解题的关键．
6．（2021 兴安盟）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，以A1B1为边向右作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交直线l于点B2；以A2B2为边向右作正方形A2B2C2A3，延长A3C2交直线l于点B3；…；按照这个规律进行下去，点B2021的坐标为 　（，）　．
考点：规律型：点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征．
专题：规律型；一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
分析：由题意分别求出A2（，0），B2（，），A3（，0），B3（，），A4（，0），B4（，），……An（，0），Bn（，），即可求解．
解答：∵点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，
∴A1（1，0），B1（1，），
∵四边形A1B1C1A2是正方形，
∴A2（，0），B2（，），
A3（，0），B3（，），
A4（，0），B4（，），
……
An（，0），Bn（，），
∴点B2021的坐标为（，），
故答案为：（，）．
点评：本题考查一次函数的图象及性质，点的坐标规律；理解题意，结合一次函数的图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解题的关键．
7．（2021 沂水县一模）定义：若两个函数的图象关于直线y＝x对称，则称这两个函数互为反函数．请写出函数y＝﹣2x+1的反函数的解析式 　y＝　．
考点：待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求正比例函数解析式；轴对称的性质．
专题：一次函数及其应用；平移、旋转与对称；符号意识．
分析：求出函数和x轴、y轴的交点坐标，求出对称的点的坐标，再代入函数解析式求出即可．
解答：在y＝﹣2x+1中，
当x＝0时，y＝1，
当y＝0时，x＝，
即函数和x轴的交点为（，0），和y轴的交点坐标为（0，1），
所以两点关于直线y＝x对称的点的坐标分别为（0，）和（1，0），
设函数y＝﹣2x+1的反函数的解析式为y＝kx+b，
把（0，）和（1，0）代入，可得：
，
解得：，
∴函数y＝﹣2x+1的反函数的解析式为y＝﹣x+，
故答案为：y＝﹣x+．
点评：本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，能求出对称的点的坐标是解此题的关键．
8．（2021 德州）小亮从学校步行回家，图中的折线反映了小亮离家的距离S（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，给出以下结论：①他在前12分钟的平均速度是70米/分钟；②他在第19分钟到家；③他在第15分钟离家的距离和第24分钟离家的距离相等；④他在第33分钟离家的距离是720米．其中正确的序号为 　①④　．
考点：一次函数的应用．
专题：一次函数及其应用；应用意识．
分析：由图象可以直接得出前12分钟小亮的平均速度，从而得出①正确；由图象可知从12分到19分小亮又返回学校，可以判断②错误；分别求出小亮第15分和第24分离家距离可以判断③错误；求出小亮33分离家距离，可以判断④正确．
解答：由图象知，前12分中的平均速度为：（1800﹣960）÷12＝70（米/分），
故①正确；
由图象知，小亮第19分中又返回学校，
故②错误；
小亮在返回学校时的速度为：（1800﹣960）÷（19﹣12）＝840÷7＝120（米/分），
∴第15分离家距离：960+（15﹣12）×120＝1320，
从21分到41分小亮的速度为：1800÷（41﹣21）＝1800÷20＝90（米/分），
∴第24分离家距离：1800﹣（24﹣21）×90＝1800﹣270＝1530（米），
∵1320≠1530，
故③错误；
小亮在33分离家距离：1800﹣（33﹣21）×90＝1800﹣1080＝720（米），
故④正确，
故答案为：①④．
点评：本题考查一次函数的应用，关键是利用已知信息和图象所给的数据分析：题意，依次解答：．
9．（2021 重庆模拟）春节期间，月月和妈妈从家出发到电影院观看热映电影《你好，李焕英》．妈妈先出发，2分钟后月月沿同一路线出发去追妈妈，当月月追上妈妈时发现手机落在途中了，妈妈立即返回找手机，月月继续前往电影院，当月月到达电影院时，妈妈刚好找到了手机并立即前往电影院（妈妈找手机的时间忽略不计），月月在电影院等了一会儿，没有等到妈妈，就沿同一路线返回接妈妈，最终与妈妈会合，月月和妈妈的速度始终不变，如图是月月和妈妈两人之间的距离y（米）与妈妈出发的时间x（分）的图象，则月月开始返回时，妈妈离家的距离为 　575　米．
考点：一次函数的应用．
专题：一次函数及其应用；应用意识．
分析：本题从函数图象着手，根据题意，可计算出月月和妈妈行走的速度，再设未知数建立方程求解可得．
解答：妈妈的速度为：100÷2＝50（米/分），
月月的速度为：[100+50（12﹣2）]÷（12﹣2）＝60（米/分），
相遇时行走的路程为：12×50＝600（米），
观察图象在x＝18时，月月和妈妈的相距最大，可知是月月到达电影院所经历的时间，
所以家到电影院的距离为：60×（18﹣2）＝960（米），
由（18﹣12＝6分钟）可知妈妈返回找到手机行走路程为：6×50＝300（米），
此时设月月在电影院等妈妈的时间为t分钟，由图象知月月与妈妈会合所用时间为27﹣18＝9分钟，
可建立方程如下：
60×（9﹣t）+50×9＝960﹣（600﹣300），
解得t＝5.5（分钟），
∴月月开始返回时，妈妈离家的距离为：50×（18+5.5﹣6×2）＝575（米）．
故答案为：575．
点评：本题主要考查一个相对的距离和时间的一次函数图象中所包含的意义，并从中找到有用数字来解决题意中要求的能力，属路程中常见题型．
10．（2021 阜新）育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了h第一次返回到自己班级，则七（2）班需要 　2　h才能追上七（1）班．
考点：一次函数的应用．
专题：一次函数及其应用；运算能力．
分析：设七（2）班的速度为xkm/h，根据图象求出七（1）班、七（2）班和联络员的速度，设七（2）班需要ah才能追上七（1）班，列出方程6a＝4（a+1）求解即可．
解答：由图可知：
七（1）班的速度为4÷1＝4（km/h），
联络员的速度为：4×（1+）÷＝12（km/h），
设七（2）班的速度为xkm/h，
则12×+x＝2×[4×﹣4×（﹣）]，
解得x＝6，即七（2）班的速度为6km/h，
设七（2）班需要ah才能追上七（1）班，
则6a＝4（a+1），
解得a＝2，
故答案为：2．
点评：本题考查一次函数的应用，解题的关键是求出七（2）班的速度．
2022年中考数学复习（解答题）：一次函数（10题）
参考答案与试题解析
三．解答题（共10小题）
1．（2021 萧山区二模）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．
（1）直接写出不等式x+1＞mx+n的解集；
（2）直接写出方程组的解；
（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．
考点：一次函数与一元一次不等式；一次函数与二元一次方程（组）．
专题：一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
分析：（1）根据点P（1，b）即可得到结论；
（2）直接把（1，b）代入y＝x+1可得b的值方程组的解就是两函数图象的交点；
（3）根据l2：y＝mx+n过点P（1，2）可得2＝m+n，如果y＝nx+m经过点P则点P的坐标满足函数解析式，代入可得m+n＝2，进而可得答案．
解答：（1）∵直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），
∴x+1＞mx+n的解集为x＞1；
（2）把（1，b）代入y＝x+1可得：b＝1+1＝2，
∵直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，2），
∴方程组的解为；
（3）直线l3：y＝nx+m经过点P，
理由：∵l2：y＝mx+n过点P（1，2），
∴2＝m+n，
将P（1，2）代入l3：y＝nx+m，可得，m+n＝2，
因此直线l3：y＝nx+m经过点P．
点评：此题主要考查了二元一次方程组和一次函数的关系，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点．
2．（2021 滨江区校级三模）已知一次函数y＝（m﹣1）x﹣2m+1，其中m≠1．
（1）无论m取何值，判断点A（2，﹣1）是否一定在一次函数的图象上，并说明理由．
（2）若点B（1，t），C（3，t+2）都在该一次函数的图象上，求m的值．
（3）当﹣2≤x≤3时，函数有最大值为2，求函数表达式．
考点：待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
专题：一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
分析：（1）把x＝2代入y＝（m﹣1）x﹣2m+1，计算得y＝﹣1，即可得答案；
（2）把B（1，t），C（3，t+2）代入，即可解得m的值；
（3）分两种情况：当m﹣1＞0时，把（3，2）代入y＝（m﹣1）x﹣2m+1即可解得m＝4，得到解析式，当m﹣1＜0时，同理可得一次函数解析式为y＝﹣x+．
解答：（1）A（2，﹣1）一定在一次函数y＝（m﹣1）x﹣2m+1的图象上，理由如下：
把x＝2代入y＝（m﹣1）x﹣2m+1得：y＝2（m﹣1）﹣2m+1＝﹣1，
∴x＝2时，y＝﹣1，即（2，﹣1）在y＝（m﹣1）x﹣2m+1的图象上；
（2）∵点B（1，t），C（3，t+2）都在一次函数y＝（m﹣1）x﹣2m+1的图象上，
∴，解得，
∴m的值是2；
（3）当m﹣1＞0，即m＞1时，一次函数y＝（m﹣1）x﹣2m+1中，y随x的增大而增大，
∴x＝3时，y有最大值2，
把（3，2）代入y＝（m﹣1）x﹣2m+1得：3（m﹣1）﹣2m+1＝2，解得m＝4，
∴此时一次函数解析式为y＝3x﹣7；
当m﹣1＜0，即m＜1时，y＝（m﹣1）x﹣2m+1中，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，y有最大值2，
把（﹣2，2）代入y＝（m﹣1）x﹣2m+1得：﹣2（m﹣1）﹣2m+1＝2，解得m＝，
∴此时一次函数解析式为y＝﹣x+，
综上所述，一次函数解析式为y＝3x﹣7或y＝﹣x+．
点评：本题考查一次函数综合应用，解题的关键是掌握一次函数图象上点坐标的特征及一次函数的性质．
3．（2021 滨州）甲、乙两车沿同一条笔直的道路匀速同向行驶，车速分别为20米/秒和25米/秒．现甲车在乙车前500米处，设x秒后两车相距y米，根据要求解答：以下问题：
（1）当x＝50（秒）时，两车相距多少米？当x＝150（秒）时呢？
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在给出的平面直角坐标系中，请直接画出（2）中所求函数的图象．
考点：一次函数的应用．
专题：一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
分析：（1）根据题意，可以先计算出两车相遇需要的时间，然后即可计算出当x＝50和x＝150时，两车的距离；
（2）先计算出两车相遇需要的时间，然后根据x的取值范围不同，写出相应的函数解析式即可；
（3）根据（2）中的函数解析式和两点确定一次函数的图象的方法，可以画出相应的函数图象．
解答：（1）∵500÷（25﹣20）＝500÷5＝100（秒），
∴当x＝50时，两车相距：20×50+500﹣25×50＝1000+500﹣1250＝250（米），
当x＝150时，两车相距：25×150﹣（20×150+500）＝3750﹣（3000+500）＝3750﹣3500＝250（米），
答：当x＝50（秒）时，两车相距250米，当x＝150（秒）时，两车相距250米；
（2）由题意可得，乙车追上甲车用的时间为：500÷（25﹣20）＝500÷5＝100（秒），
∴当0≤x≤100时，y＝20x+500﹣25x＝﹣5x+500，
当x＞100时，y＝25x﹣（20x+500）＝25x﹣20x﹣500＝5x﹣500，
由上可得，y与x的函数关系式是y＝；
（3）在函数y＝﹣5x+500中，当x＝0时，y＝﹣5×0+500＝500，当x＝100时，y＝﹣5×100+500＝0，
即函数y＝﹣5x+500的图象过点（0，500），（100，0）；
在函数y＝5x﹣500中，当x＝150时，y＝250，当x＝200时，y＝500，
即函数y＝5x﹣500的图象过点（150，250），（200，500），
画出（2）中所求函数的图象如右图所示．
点评：本题考查一次函数的应用，解答：本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答：．
4．（2021 兰州）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：
（1）观光车出发 　6　分钟追上小军；
（2）求l2所在直线对应的函数表达式；
（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．
考点：一次函数的应用．
专题：一次函数及其应用；应用意识．
分析：（1）观察两直线的交点的横坐标判断即可；
（2）利用待定系数法求l2所在直线对应的函数表达式；
（3）由（2）可得观光车到达景区的时间，进而得出观光车比小军早到达观景点的时间．
解答：（1）由图象可知，观光车出发：21﹣15＝6（分钟），追上小军；
故答案为：6；
（2）设l2所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b，
则，
解得，
15+3000÷300＝25（min），
∴l2所在直线对应的函数表达式为y＝300x﹣4500（15≤x≤25）；
（3）33﹣25＝8（min），
故观光车比小军早8分钟到达观景点．
点评：此题主要考查了一次函数的应用，读函数的图象时，首先要理解横纵坐标表示的含义，数形结合思想的应用是解题关键．
5．（2021 兴安盟）移动公司推出A，B，C三种套餐，收费方式如表：
套餐 月保底费（元） 包通话时间（分钟） 超时费（元/分钟）
A 38 120 0.1
B 　58　 　360　 　0.1　
C 118 不限时
设月通话时间为x分钟，A套餐，B套餐的收费金额分别为y1元，y2元．其中B套餐的收费金额y2元与通话时间x分钟的函数关系如图所示．
（1）结合表格信息，求y1与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）结合图象信息补全表格中B套餐的数据；
（3）选择哪种套餐所需费用最少？说明理由．
考点：一次函数的应用．
专题：一次函数及其应用；应用意识．
分析：（1）根据：每月话费＝基本服务费+超出每分钟收费×超出时间，可分别求得y1，y2关于x的函数关系式；
（2）根据图象解答：即可；
（3）根据题意求出y2与x的函数关系式，再结合（1）的结论列方程或不等式解答：即可．
解答：（1）当0≤x≤120 时，y1＝38；
当x＞120时，y1＝38+0.1（x﹣120）＝0.1x+26，
∴；
（2）由图象可知，当月保底费为58元；包通话时间360分钟；超时费：（70﹣58）÷（480﹣360）＝0.1（元），
故答案为：58，360，0.1；
（3）当x＞360时，设：y2＝kx+b，
又∵图象过点（360，58），（480，70）两点，
∴，
解得，
∴y2＝0.1x+22；
∴；
当y1＝58，0.1x+26＝58，
解得x＝320，
∴当x＝320 时，A、B套餐所需费用一样多，都比C套餐花费少；
当0≤x＜320 时，A套餐所需费用最少．
当y2＝118时，0.1x+22＝118，
解得x＝960，
当x＝960 时，B、C套餐所需费用一样多，都比A套餐花费少；
当320＜x＜960时，B套餐所需费用最少．
当x＞960 时，C套餐所需费用最少，
综上所述：当0≤x≤320 时，A套餐所需费用最少；
当320＜x≤960时，B套餐所需费用最少；
当x＞960 时，C套餐所需费用最少．
点评：本题主要考查一次函数的实际应用能力，理解题意抽象出相等关系并列出函数解析式及方程是解题的关键．
6．（2021 齐齐哈尔二模）甲乘船从A码头出发顺流到B码头，再逆流返回A码头，往返两次的顺流速度相同，逆流速度相同．乙乘漂流筏从A、B两码头间的C码头出发，以9km/h的速度到达B码头后马上乘快艇返回A码头（换乘时间忽略不计）两人同时出发，最后乙比甲先到达A码头（两人行驶途中所受其它阻力忽略不计）．两人离B码头的路程y（km）与甲行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．结合图象解答：下列问题：
（1）m＝　　，n＝　4　，甲在静水中的速度为 　27　km/h，乙从B码头到A码头的速度为 　54　km/h；
（2）求图中线段DE的函数解析式；
（3）两人第二次相遇时离C码头 　16　km．
考点：一次函数的应用．
专题：一次函数及其应用；应用意识．
分析：（1）根据乙出速度和路程可得m的值，根据甲顺流航行的速度可得n的值，进而可得其它两个值；
（2）利用待定系数法可得解析式；
（3）求出线段DF和MN的解析式，联立方程组可得答案．
解答：（1）由图象可得，乙以9km/h的速度航行了30km，
∴m＝＝．
由乙的航行可得水的速度是9km/h，
甲顺流航行36km用1小时，
∴甲顺流航行的速度是36km/h，
∴n＝3+1＝4，甲在静水中的速度是36﹣9＝27（km/h），
乙从B码头到A码头的速度为36÷（4﹣）＝54（km/h），
故答案为：，4，27，54；
（2）由题意可得D（，0），E（4，36），
设线段DE的解析式为y＝kx+b，
则，
解得k＝54，b＝﹣180，
∴线段DE的解析式为y＝54x﹣180（≤x≤4）；
（3）如图，
由题意得，M（1，0），N（3，36），F（0，30），
设线段DF的解析式为：y＝kx+b，
，解得k＝﹣9，b＝30，
∴y＝﹣9x+30；
设线段MN的解析式为：y＝kx+b，
，解得k＝18，b＝﹣18，
∴y＝18x﹣18；
联立方程组，
解得x＝，y＝14，
∴30﹣14＝16（km），
故答案为：16．
点评：本题考查一次函数的实际应用，利用待定系数法得到函数解析式是解题关键．
7．（2021 雁塔区校级一模）2020年初新型冠状肺炎的爆发及蔓延牵动了全国人民的心，也增强了大家的防护意识，因此，日常生活中开展科学、规范的防护工作显得十分重要．某社区为防控疫情传播，保障社区人员的生命安全，计划购买大量消毒液用于日常消毒．经了解，甲、乙两个销售公司推出的购买优惠方案如下：甲公司规定：每瓶消毒液一律按标价的八五折出售；乙公司规定：每瓶消毒液按标价出售，若购买数量超过20瓶则超出的部分打七折．已知每瓶消毒液的标价为8元，若该社区计划购买消毒液共x瓶，购买甲公司消毒液所需费用为y1元，购买乙公司消毒液所需费用为y2元．
（1）分别求y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）若该社区计划购买消毒液共60瓶，则选择哪一家销售公司比较合算？
考点：一次函数的应用．
专题：一次函数及其应用；应用意识．
分析：（1）由已知条件直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）把x60代入两个解析式即可判断．
解答：（1）由题意知，y1＝8×0.85x＝6.8x，
y2＝；
（2）当x＝60时，y1＝6.8x×60＝408，
y2＝160+0.75×8×40＝400，
∵408＞400，
∴选择乙销售公司比较合算．
点评：本题主要考查一次函数的应用，关键是根据已知条件写出从甲、乙两种医疗机构购买的函数解析式．
8．（2021 沈阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x，y轴于B、A两点，将△AOB沿直线折叠，使点B落在点C处．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求OC的长；
（3）若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△CDO面积相等时，请直接写出直线OD的函数表达式．
考点：一次函数综合题．
专题：方程思想；待定系数法；一次函数及其应用；平移、旋转与对称；几何直观；应用意识．
分析：（1）在y＝﹣x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝6，即可得A（0，4），B（6，0）；
（2）设直线l2与y轴交于点H，连接BH，在y＝2x﹣中，令x＝0得y＝﹣，得H（0，﹣），即得BH＝＝，故CH＝BH＝，可得OC＝CH﹣OH＝3；
（3）分两种情况：①当D在第一象限时，由△CDB与△CDO面积相等，得CD∥OB，即可得点D的坐标为（，3），直线OD的解析式为：y＝2x；②当D在第二象限时，设点D到y轴的距离为a，可得a+3＝×3 a，可求得点D的坐标为（﹣3，6），直线OD的解析式为：y＝﹣2x．
解答：（1）在y＝﹣x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝6，
∴A（0，4），B（6，0）；
（2）设直线l2与y轴交于点H，连接BH，如图：
在y＝2x﹣中，令x＝0得y＝﹣，
∴H（0，﹣），
∴BH＝＝＝，
∵△AOB沿直线折叠，使点B落在点C处，
∴CH＝BH＝，
∴OC＝CH﹣OH＝﹣＝3；
（3）①当D在第一象限时，如图：
∵△CDB与△CDO面积相等，
∴CD∥OB，
∴点D的纵坐标为3，
当y＝3时，﹣x+4＝3，
解得：x＝，
∴点D的坐标为（，3），
∴直线OD的解析式为：y＝2x；
②当D在第二象限时，如图：
AC＝OA﹣OC＝4﹣3＝1，
设点D到y轴的距离为a，
则S△CDB＝S△CDA+S△CAB
＝×1 a+×1×6
＝a+3，
∵△CDB与△CDO面积相等，
∴a+3＝×3 a，
解得a＝3，
∴点D的横坐标为﹣3，
当x＝﹣3时，y＝﹣×（﹣3）+4＝6，
∴点D的坐标为（﹣3，6），
∴直线OD的解析式为：y＝﹣2x；
综上所述，点D沿射线BA运动，△CDB与△CDO面积相等，直线OD的函数表达式为：y＝2x或y＝﹣2x．
点评：本题考查的是一次函数综合运用，涉及到待定系数法、三角形面积的计算等，解题的关键是掌握折叠的性质及根据已知列方程，求出D到y轴的距离．
9．（2021 沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线y＝x于点D，连接OC，AD．
（1）填空：k＝　﹣3　，点A的坐标是（ 　5　，　0　）；
（2）求证：四边形OADC是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当t＝1时，△CPQ的面积是 　12　．
②当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时t的值．
考点：一次函数综合题．
专题：函数思想；应用意识．
分析：（1）代入C点坐标即可得出k值确定直线的解析式，进而求出A点坐标即可；
（2）求出AD点坐标，根据CD＝OA，CD∥OA，即可证四边形OADC是平行四边形；
（3）①作CH⊥OD于H，设出H点的坐标，根据勾股定理计算出CH的长度，根据运动时间求出PQ的长度即可确定△CPQ的面积；
②根据对角线相等确定PQ的长度，再根据P、Q的位置分情况计算出t值即可．
解答：（1）∵直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），
∴3k+15＝6，
解得k＝﹣3，
即直线的解析式为y＝﹣3x+15，
当y＝0时，x＝5，
∴A（5.0），
故答案为：﹣3，5，0；
（2）∵线段CD平行于x轴，
∴D点的纵坐标与C点一样，
又∵D点在直线y＝x上，
当y＝6时，x＝8，
即D（8，6），
∴CD＝8﹣3＝5，
∵OA＝5，
∴OA＝CD，
又∵OA∥CD，
∴四边形OADC是平行四边形；
（3）①作CH⊥OD于H，
∵H点在直线y＝x上，
∴设H点的坐标为（m，m），
∴CH2＝（m﹣3）2+（m﹣6）2，DH2＝（m﹣8）2+（m﹣6）2，
由勾股定理，得CH2+DH2＝CD2，
即（m﹣3）2+（m﹣6）2+（m﹣8）2+（m﹣6）2＝52，
整理得m＝或8（舍去），
∴CH＝3，
∵OD＝＝10，
∴当t＝1时，PQ＝OD﹣t﹣t＝10﹣1﹣1＝8，
∴S△CPQ＝PQ CH＝×8×3＝12，
故答案为：12；
②∵OD＝10，
当0≤t≤5时，PQ＝10﹣2t，
当5≤t≤10时，PQ＝2t﹣10，
当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，PQ＝AC，
∵AC＝＝2，
当0≤t≤5时，10﹣2t＝2，
解得t＝5﹣，
当5≤t≤10时，2t﹣10＝2，
解得t＝5+，
综上，当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时t的值为5﹣或5+．
点评：本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键．
10．（2021 金华）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若BA＝BO，求证：CD＝CO．
②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．
（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题．
专题：一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力；应用意识．
分析：（1）①由BC⊥AB，CO⊥BO，可得∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，而根据已知有∠BAD＝∠DOB，故∠ADB＝∠COD，从而可得∠COD＝∠CDO，CD＝CO；
②过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，设M（m，m），可得tan∠OMN＝tan∠AOM＝，即＝，设AM＝3n，则OM＝8n，Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，可求出AM＝3，OM＝8，由∠CBO＝45°可知△BOC是等腰直角三角形，△ABM是等腰直角三角形，从而有AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，AB＝AM＝3，BC＝BO＝5，即可求出S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；
（2）（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB＝，
由△AMB∽△BOC，＝，即＝，得OC＝，BC＝＝，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①若＝，OB＝4；②若＝，OB＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；
（二）当B在线段MO延长线上时，设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，由△AMB∽△BOC，＝，即＝，得OC＝ （8+x），以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，可得OB＝1．
解答：（1）①证明：∵BC⊥AB，CO⊥BO，
∴∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，
∵BA＝BO，
∴∠BAD＝∠DOB，
∴∠ADB＝∠COD，
∵∠ADB＝∠CDO，
∴∠COD＝∠CDO，
∴CD＝CO；
②过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，如图：
∵M在直线l：y＝x上，设M（m，m），
∴MN＝|m|＝﹣m，ON＝|m|＝﹣m，
Rt△MON中，tan∠OMN＝＝，
而OA∥MN，
∴∠AOM＝∠OMN，
∴tan∠AOM＝，即＝，
设AM＝3n，则OM＝8n，
Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，
又A的坐标为（﹣，0），
∴OA＝，
∴（3n）2+（8n）2＝（）2，
解得n＝1（n＝﹣1舍去），
∴AM＝3，OM＝8，
∵∠CBO＝45°，CO⊥BO，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC⊥AB，∠CBO＝45°，
∴∠ABM＝45°，
∵AM⊥OB，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，
∴等腰直角三角形△ABM中，AB＝AM＝3，
等腰直角三角形△BOC中，BC＝BO＝5，
∴S△ABC＝AB BC＝15，S△BOC＝BO CO＝，
∴S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；
（2）存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，理由如下：
（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，如图：
由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，
设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB＝，
∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，
∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，
∴△AMB∽△BOC，
∴＝，即＝，
∴OC＝，
Rt△BOC中，BC＝＝，
∵∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：
①若＝，则＝，
解得x＝4，
∴此时OB＝4；
②若＝，则＝，
解得x1＝4+，x2＝4﹣，x3＝9，x4＝﹣1（舍去），
∴OB＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；
（二）当B在线段MO延长线上时，如图：
由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，
设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，
∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，
∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，
∴△AMB∽△BOC，
∴＝，即＝，
∴OC＝ （8+x），
Rt△BOC中，BC＝＝ ，
∵∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，
解得x1＝﹣9（舍去），x2＝1，
∴OB＝1，
综上所述，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，则OB 的长度为：4或4+或4﹣或9或1；
点评：本题考查一次函数图象及应用，涉及等腰三角形性质与判定，相似三角形性质与判定，勾股定理等知识，解题的关键是根据已知用含未知数的代数式表达相关线段的长度．

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