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《§1. 1周期变化习题课》
（导学案 教师版）
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聚焦知识目标
1.理解周期函数、周期和最小正周期的概念
2.能够判断一个函数是否为周期函数.
3.能够利用函数的周期性求值.
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思维导图
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回顾概念
(1)以相同间隔重复出现的变化叫作周期现象.
(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔相同间隔，重复出现，若重复出现，则为周期现象；否则不是周期现象.
题组一 周期现象
1.(多选)下列变化中是周期现象的是()
A.太阳东升西落
B.李明每天上午上学的时间
C.某高速公路每天通过的车辆数
D.天干地支表示年份的次序
答:1.AD对于A，太阳东升西落是周期现象.对于B，李明每天上午上学的时间会有差别不是周期现象.对于C，高速公路每天通过的车辆数一般不相同且随机变化，不是周期现象.对于D，天干地支表示年份的次序，周而复始，是周期现象.故选AD.
2.(2020广东汕头高一上期末)钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2处，则100分钟后分针指在()
A.8处 B. 10处
C. 11处 D. 12处
解： 一个周期是60分钟，则100分钟是1个周期，故100分钟后分针指在10处
3.8的18次方的末位数字是()
A.2 B.4 C.6 D.8
解：B因为8'，8 ，8 ，84，8 ，86， 的末位数字分别为8，4，2，6，8，4，…，显然其末位数字随着指数的不断增大以4个数为一个周期进行变化，所以8818的末位数字等于82的末位数字为4.故选B.
4.造父变星是一类高光度周期性脉动变星，其亮度随时间呈周期性变化.下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，由图可知此造父变星亮度变化的周期是
()
A.5.5天 B.7天 C. 14天 D. 20天
解：B由题图可以看出该造父变星的亮度每经过7天等级相同，所以此变星亮度变化的周期是7天.
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1.周期函数
一般地，对于函数y=f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D、都有x+T∈D且满足f(x+T)=f(x)、那么函数y=f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期
2.最小正周期
如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期.
周期函数定义解读
1.周期函数定义的实质：存在一个非零常数T，对定义域内的任意x，均有f(x+T)=f(x)，其中k∈Z、即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次.
2.周期函数定义中的“f(x+T)=f(x)”是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x+T)=f(x)，不能说T是y=f(x)的周期.
函数周期性的常用结论
对y=f(x)定义域内任一自变量x
(1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a(a>0)；
(2)若 ( + )=1/ ( ) 则T=2a(a>0)；
(3)若 ( + )= 1/ ( ) ,则T=2a(a>0).
函数的对称性与周期性的关系
(1)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x=a，x=b(a(2)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a(3)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B(b.0)(a题组二 周期求值
1.(求值.周期未知)已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+5)=f(x)，且当x∈(0，2)时， 2，则f(2021)=_.
解析由f(x+5)=f(x)知函数f(x)的一个周期为5、则f(2021)=f(5×404+1)=f(1)=2021.
2.(求值.周期未知)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+1)+f(x)=3，当x∈[0，1]时，f(x)=2-x，则f(-2021.5)=_.
解析由f(x+1)+f(x)=3.得f(x)+f(x-1)=3，
两式相减得f(x+1)=f(x-1)，所以f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数，所以f(-2021.5)=f(-2022+0.5)=f(0.5)=2-0.5=1.5.
3.(求值.周期未知)函数f(x)对于任意实数x满足条件 若f(1)=-5，则f(f(5))的值为＿＿＿.
解析由已知得 f(x)是周期为4的周期函数.
f(5)=f(1+4)=f(1)=-5. f(f(5))=f(-5)=f(-1)
4.(求值.周期未知)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+5)，当x∈[-2，0)时，f(x) ，当x∈[0，3)时，f(x)=x，求f(1)+f(2)+…+f(2021)的值.

解析由f(x)=f(x+5)，可知f(x)的一个周期为5，因为当x∈[-2，0)时、f(x)=-(x+2)2，当x∈[0，3)时，f(x)=x，
所以f(1)=1.f(2)=2，f(3)=f(-2)=0，f(4)=f(-1)=-1、f(5)=f(0)=0.
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=2、
所以f(1)+f(2)+…+f(2021)=f(2021)+404×[f(1)+f(2)+…+f(5)]=f(1)+2×404=809.
5.（求值.周期未知）已知定义在N上的函数f(n)满足f(n+2)=f(n+1)-f(n).
(1)求证f(n)是周期函数，并求出其周期；

(2)若f(2)=3，求f(2012)的值
解析(1)因为f(n+2)=f(n+1)-f(n),
所以f(n+3)=f(n+2)-f(n+1)=[f(n+1)-f(n)]-f(n+1)=-f(n),所以f(n+6)=-f(n+3)=f(n)、所以f(n)是周期函数、周期为6.
(2)因为f(n)是周期为6的函数、f(2)=3、
所以f(2012)=f(335×6+2)=f(2)=3.
题组三 周期性+奇偶性求值
1.(配合奇偶性求值)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2，则f(3)-f(4)等于()
A.-1 B.1
C.-2 D.2
解：A.函数f(x)的周期为5， f(x+5)=(x), f(3)=f(-2+5)=f(-2).又：f(x)为奇函数，f(2)=2，.f(3)=f(-2)=-f(2)=-2,同理f(4)=f(-1)=-f(1)=-1，:.f(3)-f(4)=-2-(-1)=-1.
2.已知f(x)在R上为奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为()

A.0 B.-1 C.1 D.2
解析：f(x+2)=-f(x)，.f(x)为周期函数，且T=4，又f(x)为奇函数，..f(0)=0..f(6)=f(2)=-f(0)=0.
3.定义域为R的偶函数f(x)为周期函数，其周期为8，当x∈[-4，0]时f(x)=x+1，则f(25)=_.
【解析】由于函数f(x)是R上周期为8的偶函数，且当x∈[-4，0]时，f(x)=x+1，
因此，f(25)=f(1)=f(-1)=-1+1=0.
题组四 周期性求式
1.(周期性求式)函数f(x)是周期为4函数，当x∈[0，2]时，f(x)=x-1，则在[-4，-2]上的解析式
解析：若x∈[-4，-2]，则x+4∈[0，2]，
:f(4+x)=x+3,f(x)是周期为4， f(4+x)= f(x)=x+3，
所以，在[-4，-2]上的解析式f(x)=x+3
题组五 周期性+奇偶性求解析式
1.(配合奇偶性求式)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=x-1，则不等式f(x）在[2，6]上的解析式为.
解析：若x∈[-2，0]，则-x∈[0，2]，
:f(-x)=-x-1,f(x)是偶函数，:f(-x)=-x-1=f(x),即当x∈[-2，0]时，f(x)=-x-1，
若x∈[2.4]，则x-4∈[-2，0]
f(x-4)=-x+3，根据周期性， f(x)=-x+3.
若x∈（4.6]， x-4∈（0，2],f(x-4)=x-5，根据周期性， f(x)=x-5.
题组六 周期性+奇偶性解不等式
1.(配合奇偶性解不等式)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=x-1，则不等式xf(x)>0在[-1，3]上的解集为()

A.(1,3) B.(-1,1)
C.(-1,0)U(1,3) D.(-1,0)U(0,1)
解析：若x∈[-2，0]，则-x∈[0，2]，
:f(-x)=-x-1,f(x)是偶函数，:f(-x)=-x-1=f(x),即当x∈[-2，0]时，f(x)=-x-1，
若x∈[2.4]，则x-4∈[-2，0]
f(x)的周期为4， f(x)=f(x-4)=-(x-4)-1=-x+3，作出函数f(x)在[-2，4]上的图象如图所示，
则当x∈[-1.3]时，不等式xf(x)>0等价于 或
即1故x∈(-1.0)U(1.3)，故选C.
题组七 周期性+奇偶性+单调性比大小
1.(配合奇偶性、单调性比大小)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)是偶函数，f(x-1)是奇函数，f(x)在[-1.1)上单调递增，则（）
A.f(0)>f(2020)>f(2019)
B.f(0)>f(2019)>f(2020)
C.f(2020)>f(2019)>f(0)
D.f(2020)>f(0)>f(2019)
解析：由f(x+1)是偶函数，得f(x+1)=f(-x+1)，即f(x)=f(-x+2).由f(x-1)是奇函数，得f(x-1)=-f(-x-1)，即f(x)=-f(-x-2)，
所以-f(-x-2)=f(-x+2)，则f(x)的周期T=8由f(x-1)是奇函数，得f(0-1)=f(-1)=0，因为f(x)在[-1.1]上单调递增，所以f(0)>0，所以f(2019)=f(3)=f(-1)=0.f(2020)=f(4)=-f(0)<0，即f(0)>f(2019)>f(2020).
题组八 配合其他性质研究函数图象和性质
1.(综合性质）已知偶函数y=f(x)(x∈R)在区间[-1，0]上单调递增，且满足f(1-x)+f(1+x)=0，下列判断：
①f(5)=0;
②f(x)在[1，2]上单调递减：
③函数f（x)没有最小值；
④函数f(x)在x=0处取得最大值；
⑤f(x)的图象关于直线x=1对称.
其中正确的序号是＿＿＿＿.
答案：①②④
解析：因为f(1-x)+J(4+x)=0，所以f(1+x)=-f(1-x)=-f(x-1)，所以f(2+x)=-f(x),所以f(x+4)=f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数.由题意知，函数y=f(x)(x 2.（综合性质）对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如[3，6]=3，[-3.4]=-4，关于函数f(x)= 有下列命题：①f(x)是周期函数；②f(x)是偶函数；③函数f(x)的值域为{0，1}，其中正确的命题为()
A. ①③B.②C. ①②③D. ①②)
【解析】选A.因为f(x+3)= f(x)，所以f(x)是周期函数，3是它的一个周期，故①正确.结合函数的周期性可得函数的值域为{0，1}，则函数不是偶函数，故②因为函数y=f(x-1)为奇函数，所以f(-1)=0，又函数f(x)为R上的偶函数，f(1)=0，所以函数不单调，D不正确
3.（综合性质）已知函数f(x)的定义域为R，且对任意，∈R都有 则下列结论一定正确的是＿
(1)f(x)是偶函数；(2)f(x)是周期函数；
(3)存在常数k，对任意x∈R，都有f(x+1)=kf(x)；
(4)对任意m∈R，存在xo∈R，使得f(xo)=m.
解：取f(x)=10x- ，说明(1)，(2)，(4)不正确：在，令分析可得存在常数k=100f(1)满足题意，所以(3)正确.
※※※※※※※※※※※※※※※※谢谢欣赏※※※※※※※※※※※※※※※《§1. 1周期变化习题课》
（导学案 教师版）
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聚焦知识目标
1.理解周期函数、周期和最小正周期的概念
2.能够判断一个函数是否为周期函数.
3.能够利用函数的周期性求值.
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思维导图
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回顾概念
(1)以相同 重复出现的变化叫作
(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔 ， ，若重复出现，则为周期现象；否则不是周期现象.
题组一 周期现象
1.(多选)下列变化中是周期现象的是()
A.太阳东升西落
B.李明每天上午上学的时间
C.某高速公路每天通过的车辆数
D.天干地支表示年份的次序
解：
2.(2020广东汕头高一上期末)钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2处，则100分钟后分针指在()
A.8处 B. 10处
C. 11处 D. 12处
解：
3.8的18次方的末位数字是()
A.2 B.4 C.6 D.8
解：
4.造父变星是一类高光度周期性脉动变星，其亮度随时间呈周期性变化.下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，由图可知此造父变星亮度变化的周期是
()
A.5.5天 B.7天 C. 14天 D. 20天
解：
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1.周期函数
一般地，对于函数y=f(x)，x∈D，如果存在一个 常数T，使得对任意的x∈D、都有x+T∈ 且满足f(x+T)= 、那么函数y=f(x)称作 ，非零常数T称作这个函数的
2.最小正周期
如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的 .
周期函数定义解读
1.周期函数定义的实质：存在一个非零常数T，对定义域内的任意x，均有f(x+T)=f(x)，其中k∈Z、即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次.
2.周期函数定义中的“f(x+T)=f(x)”是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x+T)=f(x)，不能说T是y=f(x)的周期.
函数周期性的常用结论
对y=f(x)定义域内任一自变量x
(1)若f(x+a)=-f(x)，则T= （a>0)；
(2)若 ( + )=1/ ( ) 则T= （a>0)；
(3)若 ( + )= 1/ ( ) ,则T= (a>0).
函数的对称性与周期性的关系
(1)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x=a，x=b(a(2)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a(3)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B(b.0)(a题组二 周期求值
1.(求值.周期未知)已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+5)=f(x)，且当x∈(0，2)时， 2，则f(2021)=_.
解：
2.(求值.周期未知)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+1)+f(x)=3，当x∈[0，1]时，f(x)=2-x，则f(-2021.5)=_.
解：
3.(求值.周期未知)函数f(x)对于任意实数x满足条件 若f(1)=-5，则f(f(5))的值为＿＿＿.
解：
4.(求值.周期未知)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+5)，当x∈[-2，0)时，f(x) ，当x∈[0，3)时，f(x)=x，求f(1)+f(2)+…+f(2021)的值.

解：
5.（求值.周期未知）已知定义在N上的函数f(n)满足f(n+2)=f(n+1)-f(n).
(1)求证f(n)是周期函数，并求出其周期；

(2)若f(2)=3，求f(2012)的值
解：
题组三 周期性+奇偶性求值
1.(配合奇偶性求值)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2，则f(3)-f(4)等于()
A.-1 B.1
C.-2 D.2
解：
2.已知f(x)在R上为奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为()

A.0 B.-1 C.1 D.2
解：
3.定义域为R的偶函数f(x)为周期函数，其周期为8，当x∈[-4，0]时f(x)=x+1，则f(25)=_.
解：
题组四 周期性求式
1.(周期性求式)函数f(x)是周期为4函数，当x∈[0，2]时，f(x)=x-1，则在[-4，-2]上的解析式
解：
题组五 周期性+奇偶性求解析式
1.(配合奇偶性求式)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=x-1，则不等式f(x）在[2，6]上的解析式为.
解：
题组六 周期性+奇偶性解不等式
1.(配合奇偶性解不等式)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=x-1，则不等式xf(x)>0在[-1，3]上的解集为()

A.(1,3) B.(-1,1)
C.(-1,0)U(1,3) D.(-1,0)U(0,1)
解：
题组七 周期性+奇偶性+单调性比大小
1.(配合奇偶性、单调性比大小)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)是偶函数，f(x-1)是奇函数，f(x)在[-1.1)上单调递增，则（）
A.f(0)>f(2020)>f(2019)
B.f(0)>f(2019)>f(2020)
C.f(2020)>f(2019)>f(0)
D.f(2020)>f(0)>f(2019)
解：
题组八 配合其他性质研究函数图象和性质
1.(综合性质）已知偶函数y=f(x)(x∈R)在区间[-1，0]上单调递增，且满足f(1-x)+f(1+x)=0，下列判断：
①f(5)=0;
②f(x)在[1，2]上单调递减：
③函数f（x)没有最小值；
④函数f(x)在x=0处取得最大值；
⑤f(x)的图象关于直线x=1对称.
其中正确的序号是＿＿＿＿.
解：
2.（综合性质）对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如[3，6]=3，[-3.4]=-4，关于函数f(x)= 有下列命题：①f(x)是周期函数；②f(x)是偶函数；③函数f(x)的值域为{0，1}，其中正确的命题为()
A. ①③B.②C. ①②③D. ①②)
解：
3.（综合性质）已知函数f(x)的定义域为R，且对任意，∈R都有 则下列结论一定正确的是＿
(1)f(x)是偶函数；(2)f(x)是周期函数；
(3)存在常数k，对任意x∈R，都有f(x+1)=kf(x)；
(4)对任意m∈R，存在xo∈R，使得f(xo)=m.
解：
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