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《§1.3弧度制》导学案学生版
胡琪
聚焦知识目标
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系
3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
数学素养
1.通过弧度制的建立过程，培养逻辑推理素养．
2．通过弧度制与角度制的换算以及弧长公式和扇形的面积公式的应用，提升数学运算素养.
任意角概念
一条射线绕着它的端点从一个位置 到另一个位置所形成的图形
角的终边的旋转方向
正角------ 的角度数 ，比如: 30°, 600°
负角------ 的角度数，比如:-30°,-600°
零角------- 0°
思考1
1°是如何定义的？
思考2
我们能否寻找一种更为便利的度量角的大小的量呢？
弧度制的概念
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角,称为 的角，记作 ，读作 .
思考1
约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数
为0.如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心顺时针旋转到OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB的大小为多少弧度？
思考2
如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？
弧度制与角度制的互化
请填写下面的表格并思考：如图，半径为r的圆，圆心与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B，填写下表：
思考1
一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？
答：
思考2
根据上述关系，1°等于多少弧度？1rad等于多少度？
答：
思考3
根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应的弧度数分别是多少？
角度
弧度
典型例题
例1 把下列各角化为角度与弧度
答：
练习1 把下列各角化为角度与弧度
练习2 写出下列各组角度所对应的弧度
答：
弧长公式和扇形面积公式
思考
已知一个扇形所在圆的半径为R，弧长为l，圆心角为α那么扇形的弧长公式和面积如何计算？
例2　已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
答：
所以
【解后心得】
灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.
练习3（1）已知扇形的圆心角为60°，半径为3，求圆心角所对弧长及扇形面积。
答：
练习3：（2）已知扇形的弧长为10，半径为5，求圆心角及扇形面积.《§1.3弧度制》导学案教师版
聚焦知识目标
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系
3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
数学素养
1.通过弧度制的建立过程，培养逻辑推理素养．
2．通过弧度制与角度制的换算以及弧长公式和扇形的面积公式的应用，提升数学运算素养.
任意角概念
一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形
角的终边的旋转方向
正角------ 正的角度数 ，比如: 30°, 600°
负角------负的角度数，比如:-30°,-600°
零角------- 0°
思考1
1°是如何定义的？
答：1°=60’,1’=60” 如图
思考2
我们能否寻找一种更为便利的度量角的大小的量呢？
答：长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量，物体的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.不同的单位制能给解决问题带来方便，以度为单位度量角的大小是一种常用方法，为了进一步研究的需要，我们还需建立一个度量角的单位制.
弧度制的概念
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角,称为1弧度的角，记作 1 rad，读作 1 弧度.
思考1
约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数
为0.如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心顺时针旋转到OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB的大小为多少弧度？
思考2
如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？
答：
弧度制与角度制的互化
请填写下面的表格并思考：如图，半径为r的圆，圆心与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B，填写下表：
思考1
一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？
答：
思考2
根据上述关系，1°等于多少弧度？1rad等于多少度？
答：
思考3
根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应的弧度数分别是多少？
角度
弧度
答：
典型例题
例1 把下列各角化为角度与弧度
答：
练习1 把下列各角化为角度与弧度
练习2 写出下列各组角度所对应的弧度
答：
弧长公式和扇形面积公式
思考
已知一个扇形所在圆的半径为R，弧长为l，圆心角为α那么扇形的弧长公式和面积如何计算？
例2　已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
答：
解　设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，
所以
当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大为100 cm2.
【解后心得】
灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.
练习3（1）已知扇形的圆心角为60°，半径为3，求圆心角所对弧长及扇形面积。
练习3：（2）已知扇形的弧长为10，半径为5，求圆心角及扇形面积.
思考：弦AB的长度为多少？

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