资源简介

《1.4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》
（导学案 教师版）
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聚焦知识目标
能借助单位圆了解正弦函数、余弦函数的有关性质(定义域、值域、最值、周期性、单调性、符号)．
数学素养
1.通过性质的建立过程，培养逻辑推理素养．
2.通过性质的应用，提升数学运算素养.
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新课引入
前面我们学习了周期现象，角的一边可以绕角的顶点旋转，得到了终边相同的角，如图所示
上一节利用单位圆得到了正余弦函数的定义，今天我们利用单位圆学习正弦函数、余弦函数的周期性及性质.
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定义域
根据正弦函数v=sin α和余弦函数u=cos α的定义,我们不难从单位圆看出它们定义域是R;
例1.求下列函数定义域
=2sin2x 2.y=cosx+1
分析：这两个函数的主体是正余弦函数，整个函数的定义域由正弦函数决定。
解：以上两个函数的定义域都是R
例2.求下列函数定义域
= 4.y=
分析：这两个函数的虽然含有正余弦函数，但受分式和根式的影响，正余弦函数的函数值有限制，从而导致定义域不再是R，这要结合单位圆来解。
解：3.sin2x≠0，2x≠k (k∈z)，x≠ (k∈z)，
4. cosx≥，
取个特殊角，比如0试试，余弦值是1，满足不等式，单位圆上找到余弦值为二分之一的位置，
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观察单位圆，回答问题
当_____ ______________时，正弦函数y＝sinx取得最大值_1___；当___________________时，正弦函数y＝sinx取得最小值___-1___.
当______________时，余弦函数y＝cosx取得最大值_1___；当___________________时，余弦函数y＝cosx取得最小值____-1__.
【例3】求函数y=cosα在区间[ ]上的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时自变量α 的值
解：
画出图，可知：
当 时，函数y=cosα取得最大值，最大值为
当 时，函数y=cosα取得最小值，最小值为-
例4.求下列函数的最小正周期及值域.
(1)y=-cos x+2;(2)y=asin x+b(a<0).
解析： (1)当y=cos x取得最大值时,y=-cos x+2取得最小值,而当y=cos x取得最小值时,y=-cos x+2取得最大值,所以y=-cos x+2的值域是[1,3]
(2)因为-1≤sin x≤1,且a<0,所以当sin x=-1时,ymax=-a+b;当sin x=1时,ymin=a+b,所以y=asin x+b的值域是[a+b,-a+b]
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.
周期性
根据正弦函数、余弦函数的定义(如图)，有
终边相同的角的正弦函数值相等,即对任意k∈Z,sin(a+2kx)=sin ， ∈R:终边相同的角的余弦函数值相等，即对任意k∈Z. cos(a+2k )=cos a，a∈R.上述两个等式说明：对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变，所以正弦函数v=sinα和余弦函数u=cos a均是周期函数.对任何k∈z，k≠0,2k 均是它们的周期，最小正周期为2π.
. 例6.函数y=2-sin x的最小正周期为______.
【解析】因为2-sin(2π+x)=2-sin x,所以y=2-sin x的最小正周期为2π.
答案:2π
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单调性
观察单位圆
根据正弦函数的定义，在单位圆中，如图，当角α由-增加到时，sina的值由一1增加到1；如图，当角α由增加到时，sina的值由1减小到-1，因此正弦函数在区间 (k∈Z)上是增加的,在区间 (k∈Z)上是减少的.
同理，可探知余弦函数的单调性
余弦函数u=cos α在区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增加的,在区间
[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减少的.
例7.余弦函数u=cos α,α∈的单调增区间
为______,单调减区间为________.
【解析】在单位圆中,当x由-π到 时,u=cos α由-1增大到1,再由1减小到，
.所以它的单调增区间为[-π,0],单调减区间为
例8.函数y=sin x,x∈的增区间为______,减区间为______.
解：【解析】借助单位圆可知,y=sin x,x∈,在区间上是减少的,
在 上是增加的.
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1.(1)函数y= 的定义域为______.
(2)函数y=ln sin x的定义域为______.
【解析】(1)由2+cos x≠0知cos x≠-2,
又由cos x∈[-1,1],故定义域为R.答案:R
(2)由题意知sin x>0.又y=sin x在[0,2π]内sin x>0满足02.求下列函数的值域,并说明取得最大值和最小值时的自变量x的值.
(1)y=-sin x,x∈ ;(2)y=cos x,x∈[-π,π].
【解析】(1)y=-sin x,x∈
当x= 时ymin=-1;当x=π时,ymax=0,故函数y=-sin x,x∈的值域为[-1,0].
(2)y=cos x,x∈[-π,π] 当x=0时,ymax=1;当x=-π或π时,ymin=-1,故函数y=cos x,x∈[-π,π]的值域为[-1,1].
3.函数y=sin x,x∈ 的增区间为______,减区间为______.
【解析】借助单位圆可知,y=sin x,x∈ ,在区间 上是减少的,
在 上是增加的 　
※※※※※※※※※※※※※※※※※谢谢欣赏※※※※※※※※※※※※※※※《1.4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》
（导学案 教师版）
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聚焦知识目标
能借助单位圆了解正弦函数、余弦函数的有关性质(定义域、值域、最值、周期性、单调性、符号)．
数学素养
1.通过性质的建立过程，培养逻辑推理素养．
2.通过性质的应用，提升数学运算素养.
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新课引入
前面我们学习了周期现象，角的一边可以绕角的顶点旋转，得到了终边相同的角，如图所示
上一节利用单位圆得到了正余弦函数的定义，今天我们利用单位圆学习正弦函数、余弦函数的周期性及性质.
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定义域
根据正弦函数v=sin α和余弦函数u=cos α的定义,我们不难从单位圆看出它们定义域是 ;
例1.求下列函数定义域
=2sin2x 2.y=cosx+1
提示：这两个函数的主体是正余弦函数，整个函数的定义域由正弦函数决定。
解：以上两个函数的定义域都是R
例2.求下列函数定义域
= 4.y=
提示：这两个函数的虽然含有正余弦函数，但受分式和根式的影响，正余弦函数的函数值有限制，从而导致定义域不再是R，这要结合单位圆来解。
解：3.sin2x≠0，2x≠k (k∈z)，x≠ (k∈z)，
4. cosx≥，
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观察单位圆，回答问题
当_____ ______________时，正弦函数y＝sinx取得最大值____；当___________________时，正弦函数y＝sinx取得最小值______.
当______________时，余弦函数y＝cosx取得最大值____；当___________________时，余弦函数y＝cosx取得最小值_____.
例3求函数y=cosα在区间[ ]上的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时自变量α 的值
解：
画出图，可知：
当 时，函数y=cosα取得最大值，最大值为
当 时，函数y=cosα取得最小值，最小值为-
例4.求下列函数的最小正周期及值域.
(1)y=-cos x+2;(2)y=asin x+b(a<0).
解析： (1)当y=cos x取得最大值时,y=-cos x+2取得最小值,而当y=cos x取得最小值时,y=-cos x+2取得最大值,所以y=-cos x+2的值域是[1,3]
(2)因为-1≤sin x≤1,且a<0,所以当sin x=-1时,ymax=-a+b;当sin x=1时,ymin=a+b,所以y=asin x+b的值域是[a+b,-a+b]
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周期性
根据正弦函数、余弦函数的定义(如图)，有
终边相同的角的正弦函数值相等,即对任意k∈Z,sin(a+2kx)=sin ， ∈R:终边相同的角的余弦函数值相等，即对任意k∈Z. cos(a+2k )=cos a，a∈R.上述两个等式说明：对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均 ，所以正弦函数v=sinα和余弦函数u=cos a均是 函数.对任何k∈z，k≠0,2k 均是它们的 ，最小正周期为
.
解析：
.例6.函数y=2-sin x的最小正周期为______.
解析：因为2-sin(2π+x)=2-sin x,所以y=2-sin x的最小正周期为2π.
答案:2π
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单调性
观察单位圆
根据正弦函数的定义，在单位圆中，如图，当角α由-增加到时，sina的值由一1增加到1；如图，当角α由增加到时，sina的值由1减小到-1，因此正弦函数在区间 (k∈Z)上是增加的,在区间 (k∈Z)上是减少的.
同理，可探知余弦函数的单调性
余弦函数u=cos α在区间 (k∈Z)上是增加的,在区间
(k∈Z)上是减少的.
例7.余弦函数u=cos α,α∈的单调增区间
为______,单调减区间为________.
解析：在单位圆中,当x由-π到 时,u=cos α由-1增大到1,再由1减小到，
.所以它的单调增区间为[-π,0],单调减区间为
例8.函数y=sin x,x∈的增区间为______,减区间为______.
解：【解析】借助单位圆可知,y=sin x,
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1.(1)函数y= 的定义域为______.
(2)函数y=ln sin x的定义域为______.
解析 (1)由2+cos x≠0知cos x≠-2,
又由cos x∈[-1,1],故定义域为R.答案:R
(2)由题意知sin x>0.又y=sin x在[0,2π]内sin x>0满足02.求下列函数的值域,并说明取得最大值和最小值时的自变量x的值.
(1)y=-sin x,x∈ ;(2)y=cos x,x∈[-π,π].
解析 (1)y=-sin x,x∈
当x= 时ymin=-1;当x=π时,ymax=0,故函数y=-sin x,x∈的值域为[-1,0].
(2)y=cos x,x∈[-π,π] 当x=0时,ymax=1;当x=-π或π时,ymin=-1,故函数y=cos x,x∈[-π,π]的值域为[-1,1].
3.函数y=sin x,x∈ 的增区间为______,减区间为______.
解析：借助单位圆可知,y=sin x,x∈ ,在区间 上是减少的,
在 上是增加的 　
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