资源简介

《§1.4.3 诱导公式与对称》
（导学案.教师版）
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聚焦知识目标
1.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用．
2．理解诱导公式的推导过程
3．能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题．
数学素养
1.通过诱导公式的推导过程，培养逻辑推理素养．
2.通过诱导公式的应用，提升数学运算素养.
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同学们，sin
很多同学会回答：。那么，sin 那么，c
后两个角都不是我们熟悉的锐角，其三角函数值我们不能直接得出，这需要一组公式来帮助我们把负角化为正角，把大角化为小角，然后，我们就能口算出结果了。这组公式叫三角诱导公式。
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角α与-α的正弦函数、余弦函数关系
在平面直角坐标系中，设任意角α和-a的终边与单位圆的交点分别为点P和P'，如图
不难看出，这两个角的终边OP，OP'关于 x 轴对称. 因此，点P和P'的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反根据正余弦函数定义知, sin(一a)=-sin a，所以正弦函数v=sina是奇函数；cos(一α)=cosα，所以余弦函数u=cos a是偶函数.
那么，sin 答： -
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角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系
在平面直角坐标系中，设任意角α的终边与单位圆的交点为P，当点P沿逆(顺)时针方向旋转 弧度至点P'时，点P'就是 ± 的终边与单位圆的交点
不难看出.点P'与点P关于原点对称.因此，它们的横坐标的绝对值相等且符号相反，纵坐标的绝对值也相等且符号相反，根据正余弦函数定义知，sin(a+ )=-sinα. sin(a-π)=-sinα ，cos(a+π)=-cosα. cos(a-π)=-cos a
那么，c 答： c-
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角α与π－α的正弦函数、余弦函数关系
在平面直角坐标系中，如图，任意角α与π-α的终边关于y轴对称. 因此，点P和点P'的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反，sin(π—α)=sinα,cos(π=α)=-cos a.
【思考】能否利用前两组公式推导这两个公式？
答：sin(π-α)=-sin(a- )=-(-sin a)=sina, cos(π-α)=cos(α-π)=-cosα.
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题组一 体会角的终边轴对称与中心对称
答案(1)y轴　(2)原点　(3)原点
例2.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称 .若sin α＝，则sin β＝________.
例3.画出下列各组中的两个角的终边与单位圆的交点，说出它们的对称关系. 与； 与 与答， 与.
答：如图
题组二 对诱导公式的理解
对任意角α,下列关系式均成立(其中k∈Z):
sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α.
sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α.
sin(α+π)=sin(π+α)=-sin α,cos(α+π)=cos(π+α)=-cos α.
sin(α-π)=-sin α,cos(α-π)=-cos α.
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α.
【提炼】
诱导后，三角函数名称不变，符号看象限。将α看作锐角时,确定原角所在象限,再根据“一全正,二正弦,三全负,四余弦”的符号规律确定原函数值符号.
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题组一给角求值
例4.（教材例题6）求下列三角函数值：
解 ， ，
题组二 给值求值
【解题心得】
(
(1)
对于负角的正弦函数、余弦函数求值
,
可先利用诱导公式化为正角的正弦函数、余弦函数
.
若转化之后的正角大于
360°,
再利用诱导公式化为
(0°,360°)
之间的角的正弦函数、余弦函数
.
(2)
当化成的角是
(90°,180°)
之间的角时
,
再利用
180°-α
的诱导公式化为
(0°,90°)
之间的角的
正弦函数、余弦函数
.
)
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1.求下列三角函数值：

(1) cos135°;

(5) sin870°;
2.计算：
3.角α的终边与单位圆交于点 分别写出点P关于x轴、y轴和原点对称的点的坐标，并求角 a，2π-a的正弦函数值、余弦函数值.
（教材课后练习，答案请老师们参考教参）
※※※※※※※※※※※※※※※谢谢欣赏※※※※※※※※※※※※※※※※※
《§1.4.3 诱导公式与对称》
（导学案.学生版）
胡琪
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聚焦知识目标
1.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用．
2．理解诱导公式的推导过程
3．能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题．
数学素养
1.通过诱导公式的推导过程，培养逻辑推理素养．
2.通过诱导公式的应用，提升数学运算素养.
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同学们，sin
很多同学会回答：。那么，sin 那么，c
后两个角都不是我们熟悉的锐角，其三角函数值我们不能直接得出，这需要一组公式来帮助我们把负角化为正角，把大角化为小角，然后，我们就能口算出结果了。这组公式叫三角诱导公式。
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角α与-α的正弦函数、余弦函数关系
在平面直角坐标系中，设任意角α和-a的终边与单位圆的交点分别为点P和P'，如图
不难看出，这两个角的终边OP，OP'关于 轴对称. 因此，点P和P'的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号 根据正余弦函数定义知, sin(一a)= ，所以正弦函数v=sina是奇函数；cos(一α)= ，所以余弦函数u=cos a是偶函数.
那么，sin 答：
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角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系
在平面直角坐标系中，设任意角α的终边与单位圆的交点为P，当点P沿逆(顺)时针方向旋转 弧度至点P'时，点P'就是 ± 的终边与单位圆的交点
不难看出.点P'与点P关于 对称.因此，它们的横坐标的绝对值相等且符号相反，纵坐标的绝对值也相等且符号相反，根据正余弦函数定义知，sin(a+ )= . sin(a-π)= ，cos(a+π)= cos(a-π)=
那么，c 答： 原式=c
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角α与π－α的正弦函数、余弦函数关系
在平面直角坐标系中，如图，任意角α与π-α的终边关于 轴对称. 因此，点P和点P'的纵坐标 ，横坐标的绝对值 且符号 ，sin(π—α)= ,cos(π=α)= .
【思考】能否利用前两组公式推导这两个公式？
答：sin(π-α)= = =sina, cos(π-α)= =-cosα.
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题组一 体会角的终边轴对称与中心对称
解：
例2.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称 .若sin α＝，则sin β＝________.
解：
例3.画出下列各组中的两个角的终边与单位圆的交点，说出它们的对称关系. 与； 与 与答， 与.
解：
题组二 对诱导公式的理解
对任意角α,下列关系式均成立(其中k∈Z):
sin(α+2kπ)= ,cos(α+2kπ)=
sin(-α)= ,cos(-α)=
sin(α+π)=sin(π+α)= ,cos(α+π)=cos(π+α)= ,
sin(α-π)= ,cos(α-π)= ,
sin(π-α)= ,cos(π-α)= ,
【提炼】
诱导后，三角函数名称 ,符号看象限。将α看作锐角时,确定 ,所在象限,再根据“一全正,二正弦,三全负,四余弦”的符号规律确定原函数值符号.
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题组一给角求值
例4.（教材例题6）求下列三角函数值：
解：
题组二 给值求值
解：
【解题心得】
(
(1)
对于负角的正弦函数、余弦函数求值
,
可先利用诱导公式化为正角的正弦函数、余弦函数
.
若转化之后的正角大于
360°,
再利用诱导公式化为
(0°,360°)
之间的角的正弦函数、余弦函数
.
(2)
当化成的角是
(90°,180°)
之间的角时
,
再利用
180°-α
的诱导公式化为
(0°,90°)
之间的角的
正弦函数、余弦函数
.
)
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1.求下列三角函数值：

(1) cos135°;

(5) sin870°;
2.计算：
3.角α的终边与单位圆交于点 分别写出点P关于x轴、y轴和原点对称的点的坐标，并求角 a，2π-a的正弦函数值、余弦函数值.
（教材课后练习，答案请老师们参考教参）
※※※※※※※※※※※※※※※谢谢欣赏※※※※※※※※※※※※※※※※※

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