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《§1.5.1专题：利用正弦函数的图象研究交点个数》
（导学案 教师版）
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聚焦知识目标
1.能用“五点法”画正弦函数的图象．
2.了解图象的拓展画法
3.能用图象研究交点个数问题
数学素养
1.通过画正弦函数的图象，培养直观想象素养．
2．通过正弦函数性质的应用，培养数学运算素养.
五点法简化正弦曲线作图
描出这五个点后，函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图．我们称这种作正弦曲线的方法为“五点法”．
画法要领
1．令x分别取0，，π，，2π，然后求出相应的y值，便得到决定图象特征的五个关键点．
2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向
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例1.　用五点法作函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的图象.
[解]　(1)列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1－sin x 1 0 1 2 1
(2)描点、连线，图象如图．
2．函数y＝的图象是(　　)
A　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
化简 -----------------画绝对值内图-------------------------------下翻上
解：C　由y＝＝|sin x|，知该函数为偶函数，
当sin x≥0时，y＝sin x，当sin x＜0时，y＝－sin x，
作x≥0时y＝sin x的图象，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，
再关于y 轴对称即作出y＝|sin x|的图象．
3.与图中曲线(部分)对应的函数解析式是 (　　)
A.y=|sin x| B.y=sin|x|
C.y=-sin|x| D.y=-|sin x|
外绝对值下翻上--------------内绝对值右翻左----------y=f(x)与y=-f(x)图象关于x轴对称
【解析】选C.注意图象所对应的函数值的正负,可排除选项A,D.当x∈(0,π)时,sin|x|>0,而图中显然小于零,因此排除选项B.
4.已知函数f(x)= ·cos x 图象
先化简---------------------------------化成分段函数
解：因为函数f(x)= ·cos x=
画出函数f(x)的图象,如图所示
5.函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象
先化简-----------------------------------化成分段函数
6.已知函数f(x)=(x-1) sin(πx)则函数在[-1，3]上的大致图象为()
看对称性-------------------------------看正负性
解析：由f(x)=(x-1) sin πx可得y=f(x)的图象关于直线x=1对称，排除BC，

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题组一---不含参
例1.判断方程sin x=-,x∈[0,2π]根的个数.
提示 画y=sinx和y=-图象
由图象，有两个交点
例2.函数f(x)= -sin x在区间[0,2π]上的零点个数为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
提示 令f(x)=0----分解为g(x)=h(x)----- 画y=g(x)和y=h(x)图象
令f(x)= -sin x=0,即 =sin x,
例3.函数f(x)=sin x- 的零点个数是(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
提示 令f(x)=0 --- 分解为g(x)=h(x) --- 画y=g(x)和y=h(x)图象 ----- y=sinx没范围限制，要扩展
令f(x)=sin x-=0,即sin x=, 令y1=sinx,y2= ,在同一坐标系内分别作出y1,y2的图象如图.
由图象可知图象有7个交点,即函数有7个零点.
例4.求方程sin x=lg x的解的个数.
提示 令f(x)=0 --- 分解为g(x)=h(x) --- 画y=g(x)和y=h(x)图象 ----- y=sinx没范围限制，要扩展
建立平面直角坐标系xOy,先用五点法画出函数y=sin x,x∈[0,2π]
的图象,再向右连续平移2π个单位,得到y=sin x的图象. 描出点(1,0),(10,1),并用光滑曲线连接得到y=lgx的图象,如图所示.
由图象可知方程sin x=lg x的解有3个
例5.方程xsinx=1在区间[0，2π]上根的个数为()
A.0 B.1 C.2 D.3
提示 方程分解为f(x)=g(x)----- 两个函数都能画图
在平面直角坐标系内作出函数 与函数y=sin求在(0.2π)上的图象，如下图所示。
由图看有2个交点
题组二----含参
例6.函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k的交点个数可能是 (　　) A.0　　 B.1　　 C.2　　 D.3
令f(x)的画法参考课件前面的【画法技法】
当k>3或k<0时,两图象无交点;当k=3时,两图象有1个交点;当1※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
例1.用五点法作出函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图, 若直线y=a与y=1-2sin x有两个交点,求a的取值范围;
按五个关键点列表
所以a的取值范围是{a|1解后心得
反思感悟 与正弦函数相关方程根的个数问题探究
1.关于方程根的个数问题,往往运用数形结合的方法,将函数根的个数问题转化为函数图象的交点的个数问题.
2.正弦曲线上最高点的纵坐标都是1,最低点的纵坐标都是-1,在作图时要注意这种有界性.
3.在利用图象研究方程根的个数时,作图要精确,特别注意图象所经过的某些关键点是否包含.
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（导学案 学生版）
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聚焦知识目标
1.能用“五点法”画正弦函数的图象．
2.了解图象的拓展画法
3.能用图象研究交点个数问题
数学素养
1.通过画正弦函数的图象，培养直观想象素养．
2．通过正弦函数性质的应用，培养数学运算素养.
五点法简化正弦曲线作图
描出这五个点后，函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图．我们称这种作正弦曲线的方法为“ ”．
画法要领
1．令x分别取 ， ， ， ， ，然后求出相应的y值，便得到决定图象特征的五个关键点．
2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向
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例1.　用五点法作函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的图象.
解：
2．函数y＝的图象是(　　)
A　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
化简 -----------------画绝对值内图-------------------------------下翻上
解：
3.与图中曲线(部分)对应的函数解析式是 (　　)
A.y=|sin x| B.y=sin|x|
C.y=-sin|x| D.y=-|sin x|
外绝对值下翻上--------------内绝对值右翻左----------y=f(x)与y=-f(x)图象关于x轴对称
解：
4.已知函数f(x)= ·cos x 图象
先化简---------------------------------化成分段函数
解：
5.函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象
先化简-----------------------------------化成分段函数
解：
6.已知函数f(x)=(x-1) sin(πx)则函数在[-1，3]上的大致图象为()
看对称性-------------------------------看正负性
解：
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题组一---不含参
例1.判断方程sin x=-,x∈[0,2π]根的个数.
提示 画y=sinx和y=-图象，由图象，知交点个数
解：
例2.函数f(x)= -sin x在区间[0,2π]上的零点个数为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
提示 令f(x)=0----分解为g(x)=h(x)----- 画y=g(x)和y=h(x)图象
解：
例3.函数f(x)=sin x- 的零点个数是(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
提示 令f(x)=0 --- 分解为g(x)=h(x) --- 画y=g(x)和y=h(x)图象 ----- y=sinx没范围限制，要扩展
解：
例4.求方程sin x=lg x的解的个数.
提示 令f(x)=0 --- 分解为g(x)=h(x) --- 画y=g(x)和y=h(x)图象 ----- y=sinx没范围限制，要扩展
解：
例5.方程xsinx=1在区间[0，2π]上根的个数为()
A.0 B.1 C.2 D.3
提示 方程分解为f(x)=g(x)----- 两个函数都能画图
解：
题组二----含参
例6.函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k的交点个数可能是 (　　) A.0　　 B.1　　 C.2　　 D.3
f(x)的画法参考课件前面的【画法技法】
解：
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例1.用五点法作出函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图, 若直线y=a与y=1-2sin x有两个交点,求a的取值范围;
解：
解后心得
反思感悟 与正弦函数相关方程根的个数问题探究
1.关于方程根的个数问题,往往运用数形结合的方法,将函数根的个数问题转化为函数图象的交点的个数问题.
2.正弦曲线上最高点的纵坐标都是1,最低点的纵坐标都是-1,在作图时要注意这种有界性.
3.在利用图象研究方程根的个数时,作图要精确,特别注意图象所经过的某些关键点是否包含.
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