资源简介

《§1.5.1专题：利用正弦函数的有界性求有关函数值域》
（导学案 教师版）
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聚焦知识目标
1.能用正弦函数有界性求有关函数值域．
2.体会换元法和图象法对求值域辅助作用
数学素养
1.通过求相关函数的值域，培养建模素养．
2．通过求相关函数的值域，培养数学运算素养.
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题组一 求最值
例1.求使函数y=2sin x-1取得最大值和最小值时的x值,并求出函数的最大值和最小值
提示 由-1≤sin x≤1知，结合不等式的运算性质，得到值域
【解析】(1)由-1≤sin x≤1知,当x= +2kπ,k∈Z时函数y=2sin x-1取得最大值,
ymax=1;当x= +2kπ,k∈Z时函数y=2sin x-1取得最小值,ymin=-3.
例2.函数y=sin x,x∈ ,则y的范围是 (　　)
A.[-1,1]　 B.
C. 　 D.
最简形式----有定义域----用单位圆或图象
选C
题组二 最值求参
例1.设f(x)=asin x+b的最大值是1,最小值是-3,试确定g(x)=b2sin x+a2的最大值.
根据正弦函数的值域,分情况表示出最大值和最小值,通过解方程组求a,b.
代入g(x)最值
例2.已知函数f(x)=2asin x+a+b的定义域是[0,] ,值域为[-5,-1],则a,b的值为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　
A.a=2,b=-7 B.a=-2,b=2 C.a=-2,b=1 D.a=1,b=-2
根据正弦函数的值域,分情况表示出最大值和最小值,通过解方程组求a,b.
【解析】1.选AC.因为f(x)=2asin x+a+b的定义域是[0,],所以0≤sin x≤1,
当a<0时,由题意 所以 当a>0时,由题意
解得
练习 若函数y=a-bsin x的最大值为 ,最小值为- ,求函数f(x)=-4absin x的最值.
例3.设函数y=sin x的定义域为[m,n],值域为 ,令t=n-m,则t的最大值与最小值的和为 (　　)
A.2π B. C.π D.
适合用图象从值域倒推
【解析】选A.因为函数y-sin x的定义域为[m，n]，值域为[-1，结合正弦函数y=sinx的图象与性质，不妨取 此时n-m取得最大值为，取 nm取得最小值为，则t的最大值与最小值的和为2π。
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题组一 求最值
例1.求使函数y=-sin2x+ sin x+取得最大值和最小值时的x值,并求出函数的
最大值和最小值:
换元 ----- 配方法或图像法解二次函数值域
解：令t=sinx∈[-1,1]，
例2.求函数y=(sin x-1)2+2的最大值和最小值,并说出取得最大值和最小值时相应的x的值.
【解析】设t=sin x,则有y=(t-1)2+2,且t∈[-1,1],在闭区间[-1,1]上,当t=-1时,函数y=(t-1)2+2取得最大值(-1-1)2+2=6.由t=sin x=-1,得x=2kπ- (k∈Z),即当x=2kπ- (k∈Z)时,函数y=(sin x-1)2+2取得最大值6.
当t=1时,
函数y=(t-1)2+2取得最小值,最小值为2.
由t=sin x=1,得x=2kπ+ (k∈Z),
即当x=2kπ+ (k∈Z)时,函数y=(sin x-1)2+2取得最小值2.
例3.已知函数f(x)=-sin2x+sin x+a,若1≤f(x)≤ 对一切x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
分离（也可不分离）------------------------------求二次函数值域
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题组一 求最值
例1. 的值域
换元----------------- 分离常数 ---------------图象
设t=sinx，则 其定义域为(-1，1].
所以函数 的值域是
例2.函数 的最大值为＿＿＿.
t=sinx∈[-1,1]，y=-1+，所以
.. sinx=1时， 故答案为：6.《§1.5.1专题：利用正弦函数的有界性求有关函数值域》
（导学案 学生版）
胡琪
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聚焦知识目标
1.能用正弦函数有界性求有关函数值域．
2.体会换元法和图象法对求值域辅助作用
数学素养
1.通过求相关函数的值域，培养建模素养．
2．通过求相关函数的值域，培养数学运算素养.
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题组一 求最值
例1.求使函数y=2sin x-1取得最大值和最小值时的x值,并求出函数的最大值和最小值
提示 由-1≤sin x≤1知，结合不等式的运算性质，得到值域
解：
例2.函数y=sin x,x∈ ,则y的范围是 (　　)
A.[-1,1]　 B.
C. 　 D.
最简形式----有定义域----用单位圆或图象
解：
题组二 最值求参
例1.设f(x)=asin x+b的最大值是1,最小值是-3,试确定g(x)=b2sin x+a2的最大值.
根据正弦函数的值域,分情况表示出最大值和最小值,通过解方程组求a,b.
代入g(x)最值
解：
例2.已知函数f(x)=2asin x+a+b的定义域是[0,] ,值域为[-5,-1],则a,b的值为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　
A.a=2,b=-7 B.a=-2,b=2 C.a=-2,b=1 D.a=1,b=-2
根据正弦函数的值域,分情况表示出最大值和最小值,通过解方程组求a,b.
解：
练习 若函数y=a-bsin x的最大值为 ,最小值为- ,求函数f(x)=-4absin x的最值.
解：
例3.设函数y=sin x的定义域为[m,n],值域为 ,令t=n-m,则t的最大值与最小值的和为 (　　)
A.2π B. C.π D.
适合用图象从值域倒推
解：
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题组一 求最值
例1.求使函数y=-sin2x+ sin x+取得最大值和最小值时的x值,并求出函数的
最大值和最小值:
换元 ----- 配方法或图像法解二次函数值域
解：
例2.求函数y=(sin x-1)2+2的最大值和最小值,并说出取得最大值和最小值时相应的x的值.
解：
例3.已知函数f(x)=-sin2x+sin x+a,若1≤f(x)≤ 对一切x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
分离（也可不分离）------------------------------求二次函数值域
解：
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题组一 求最值
例1. 的值域
换元----------------- 分离常数 ---------------图象
解：
例2.函数 的最大值为＿＿＿.
解：

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