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艺考生高效复习9空间点、直线、平面之间的位置关系
一.四个公理
公理1:如果一条直线上的_____在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
作用:可用来证明点、直线在平面内.
公理2:过_______________的三点,有且只有一个平面.
作用:①可用来确定一个平面;②证明点线共面.
公理2推论 推论一:一条直线和此直线外一点可以确定一个平面。
推论二：两条相交直线可以确定一个平面。
推论三：两条平行直线可以确定一个平面。
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们_____________过该点的公共直线.
作用:①可用来确定两个平面的交线;②判断或证明多点共线;③判断或证明多线共点.
公理4:平行于同一条直线的两条直线_________.
作用:可用来判断空间两条直线平行.
二.空间两条直线的位置关系
(1)位置关系分类:
(2)异面直线所成的角:
①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的_____________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
②范围:_____.
三.空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系
例题1．（2021·浙江·模拟预测）设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，
①若； ②若
③若，则 ④若；
则上述命题中正确的是
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】B【详解】
若,则不一定垂直，①不正确；若，则，又，所
以，②正确；若，则，又，所以③正确；若，
，则，又，那么平行，相交，异面都有可能，④不正确. 故选B
例题2．（2021·浙江·模拟预测），，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，两两相交，且交于同一点，则，，共面
D．若，，，则
【答案】D【详解】
对于选项A，若成立还需要添加条件，故A不正确；
对于选项B，由，，还可能得到，是异面直线，故B不正确；
对于选项C，可举反例，如三棱锥同一顶点出发的三条棱，故C不正确；
对于选项D，，，，又，，故D正确．
例题 3．（2021·浙江·模拟预测）已知，为空间中两条不同直线，，为空间中两个不同的平面，则下列条件中使一定成立的是（ ）
A．，， B．，，
C．， D．，，
【答案】B【详解】对于选项A，易知与，异面都有可能成立；对于选项B，一定成立；对于选项C，，平行或相交；对于选项D，，垂直．
例题4．（2022·安徽六安·一模（理））设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D【解析】A：，，则无法判断n与的位置关系，A为假命题；
B：，，则无法判断n与的位置关系，B为假命题；
C：，，则m∥n或m与n是异面直线，C为假命题；
D：，，则n⊥β，D为真命题.
例题5（2021·浙江·无模拟预测）已知直线,其中在平面内.则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】若，则，无法得到，充分性不成立；
若，则垂直于内所有直线，可得到，，必要性成立；
“，”是“”的必要而不充分条件.
练习
1．（2021·浙江省杭州第二中学模拟预测）教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（ ）.
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．异面
【答案】B【详解】
由题意，棍子所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与棍子所在直线垂直
若棍子所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直
综上，教室内有一棍子，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与棍子所在直线垂直
2．（2021·浙江省宁海中学模拟预测）已知，是空间中两条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）．A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
【答案】C【详解】对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，则或，故B错误；
对于C，若，，则，又因为，所以，故C正确；
对于D，若，，，，则可能相交，故D错误；
3．（2021·浙江·模拟预测）若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【详解】若，，.又，由面面垂直判定定理知，.
“”是“”的充分条件；
若，如图，在正方体中，记平面为，记平面为，为直线，为直线，满足条件，，，但不平行.
“”是“”的充分不必要条件.
4．（2021·浙江柯桥·三模）已知空间中两平面，两直线，且，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】若不垂直时，无法得到，充分性不成立；
当时，，，由线面垂直性质知，必要性成立；
则“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5．（2021·浙江丽水·二模）已知直线，和平面（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C【解析】【详解】
对A，若，，则或，故A错误；
对B，若，，则或异面，故B错误；
对C，若，，则由线面垂直的性质可得，故C正确；
对D，若，，则或，故D错误.
6．（2021·浙江·模拟预测）设，表示不同的直线，，表示不同的平面，且，．则“”是“且”的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A【解析】【详解】
依题意，因，，，由平面与平面平行的性质可得且，即命题：“若，则且”是真命题，
当，，且时，若直线，相交，必有，若，平面与可能相交，即命题“若且，则”是假命题，
综上得“”是“且”的充分但不必要条件.
7．（2021·山东·邹平市第一中学模拟预测）设表示不同直线，表示不同平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．，则
B．是两条异面直线，若则
C．若，则
D．若则
【答案】B【解析】对于A：若，则或，故选项A不正确；
对于B：设直线，且，则直线和确定平面，因为，，
所以，因为，，所以平面，同理可证，所以，
故选项B正确；对于C：当与相交时，和都平行于与的交线时，也满足
，但与不平行，故选项C不正确；
对于D：若则或，故选项D不正确；
8．（2017·浙江·模拟预测）已知两条直线和平面，若，则是的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】D【解析】
当时，若时，与的关系可能是，也可能是，即不一定成立，
故为假命题，故不充分；
若时，与的关系可能是，也可能是与异面，即不一定成立，
故也为假命题，故不必要；
故是的既不充分又不必要条件
9．（2020·安徽省颍上第二中学模拟预测（理））已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线（ ）
A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内
C．有无数条，一定在平面α内D．有无数条，不一定在平面α内
【答案】B【解析】假设过点P且平行于的直线有两条与，∴且，
由平行公理得，这与两条直线与相交与点相矛盾.
10．（2019·辽宁大连·一模）对于直线，，，以及平面，下列说法中正确的是（ ）
A．如果∥， ∥，则∥
B．如果⊥， ⊥，则∥
C．如果∥， ⊥，则⊥
D．如果⊥，⊥，则∥
【答案】D【解析】对A，可能在平面，故A错误；
对B，可能相交，故B错误；
对C，可能在平面，故C错误；
11．（2021·四川省南充市白塔中学模拟预测（理））设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题：
①若，，则；②若，，则；
③若，，，则；④若，，则．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①③ B．①② C．③④ D．②③
【答案】D【解析】对于①，若，，则可能平行于，可能与相交，①错误；
对于②，由面面平行性质可知：若，，则，②正确；
对于③，若，，则，若，则，③正确；
对于④，若，，则可能相交或平行，④错误.
12．（2021·浙江·模拟预测）已知是两个不重合的平面，直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C解：一条直线垂直于两平行平面的一个平面，则一定会垂直于另一个平面，故是充分条件；反之，同时垂直于一条直线的两个平面平行，故是必要条件，故“”是“”的充要条件；
13．（2021·浙江·模拟预测）设为不重合的平面，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（ ）
①，则；②，则；③，，则；④，则
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】D【解析】对于①，，，则与相交或平行，故①错误；
对于②，，，，则与相交、平行或，故②错误；
对于③，，，，则由线面垂直的性质和面面垂直的判定定理得，故③正确；
对于④，，，，则由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理得，故④正确．
14．（2021·黑龙江·模拟预测（文））设是空间中两条不同的直线，是平面，已知，则是的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】B【解析】因为，且，则或，
若，则平面内一定存在一条直线满足，
又，所以，因此；
因此是的必要非充分条件.
15．（2020·全国·模拟预测（理））设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（ ）
A．若，，，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】B解析】由是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，知：
对A：若，，，，
则与相交、平行或，故A错误；
对B：若，，，则由线面垂直的判定定理得，故B正确；
对C：若，，，则，故C错误；
对D：若，，，则与相交、平行或异面，故D错误．
16．（2020·陕西省洛南中学模拟预测（文））已知三条不同的直线和两个不同的平面，，则下列四个命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D【解析】对A，若，，则和可能平行、相交或异面，故A错误；
对B，若，，则或，故B错误；
对C，若，，则和可能平行，也可能相交，故C错误；
17．（2021·全国全国·模拟预测）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，，则D．若，，，则
【答案】B【解析】选项A，若，，，则或，故A错误；
选项B，若，，得，又，所以，故B正确；
选项C，若，，，，
当时，平面，可能相交，故C错误；
选项D，若，，，不能得出，
故不能得到，故D错误.
18．（2021·河北石家庄·模拟预测）已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D【解析】若，，也可以有，A错；
若，，也可以有，B错；
若，，则或，C错；
若，，则，这是线面垂直的判定定理之一，D正确
故选：D．
19．（2021·上海嘉定·一模）下列命题中，正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．垂直于同一直线的两条直线平行
C．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则
D．若a、b、c是三条直线，且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上
【答案】D【详解】A.不共线的三点确定一个平面，故A错误；
B.由墙角模型，显然B错误；
C.根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，若直线与平面内的无数条平行直线垂直，则直线与平面不一定垂直，故C错误；
D.因为，所以确定唯一一个平面，又与都相交，故直线共面，故D正确；
20．（2021·浙江·镇海中学模拟预测）设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】B【解析】A中，也可能相交；B中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C中，也可能相交；D中，也可能在平面内.
21．（2021·浙江·模拟预测）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且直线，直线，下列命题为真命题的是
A．“”是“”的充分条件B．“”是“”的既不充分又不必要条件
C．“”是“”的充要条件D．“”是“”的必要条件
【答案】B【详解】
线面垂直性质：有，但，不能得出，A错误
时，根据线面平行性质的条件知m若在平面β内，不能得出，反之，β内的直线也不一定与m平行，即不能得出，既不充分也不必要，B正确
时，m、n可能是异面直线，不一定平行，时，α、β也可能相交，不一定平行，C错误
两个平面垂直，分别在这两个平面的两条直线可能相交，可以平行，不一定垂直，D错误
22．（2021·浙江·模拟预测）已知直线、与平面、，，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则必有 B．若，则必有
C．若，则必有 D．若，则必有
【答案】C【解析】A.如图所示，设，，满足条件，但是与不平行，故A不正确；B.假设，，，，则满足条件，但是与不垂直，故B不正确；
C.若，，根据面面垂直的判定定理可得，故C正确；
D.设，若，，虽然，但是可有，故D不正确，
23．（2021·浙江嵊州·二模）已知直线，平面，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B【解析】
在长方体ABCD-EFGH中，如图示：
对于A：若，则, 取平面ABCD为，即直线AB为l，CD为m，则，但是，所以不成立，故A不正确；
对于B：因为， 作平面，使得，且，由线面平行的性质可得：.
因为，所以，又，所以.故B正确；
对于C：若，则，取平面ABCD为，平面ADHE为，直线EH为l，此时满足“”，但是，所以不满足，故C不正确；
对于D：若，则，取平面ABCD为，平面ADHE为，直线BC为l，直线EH为m，此时满足“，”但是相交，不满足.故D错误.
24．（2021·浙江浙江·模拟预测）设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若，，， B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
【答案】B【详解】对于选项A中，因为，，所以，
又因为，所以由垂直于同一平面的两条直线平行可知，选项A正确；
对于选项B中，当，时，直线与平面的位置关系不定，选项B错误；
对于选项C中，当，，时，易得，选项C正确；
对于选项D中，当，时，，因为，所以，选项D正确.
25．（2021·浙江·模拟预测）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ）
A．若α⊥β，mα，nβ，则直线m与n一定平行
B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交 平行或异面
C．若m⊥α，nα，则直线m与n一定垂直
D．若mα，nβ，αβ，则直线m与n一定平行
【答案】C【详解】
如图示，在正方体中
对于A：若α⊥β，mα，nβ，不妨取面ABCD为平面α，面ABA1B1为平面β，若取m为BC，n为A1B1，则直线m与n异面，故A错误；
对于B：若m⊥α，n⊥β，α⊥β，不妨取面ABCD为平面α，面ABA1B1为平面β，则直线m与n垂直，不可能平行，故B错误；
对于C：若m⊥α，nα，因为nα，过n作平面，则ln.因为m⊥α，所以m⊥l，又ln，所以m⊥n.故C正确；
对于D：若mα，nβ，αβ，不妨取面ABCD为平面α，面A1B1C1D1为平面β，则两个平面内的直线m与n可能平行，也可能异面.故D错误.
26．（2020·陕西富平·二模（文））已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A．若，，，则B．若，，且，则
C．若，，则D．若，，且，则
【答案】B【解析】选项A中，考查面面垂直的性质定理，面面垂直时，其中一个面内垂直于交线的线，垂直于另外一个面，选项中垂直于交线的线，没有说明在面内，所以不正确
选项B中，考查线面垂直的性质定理，，，则，所以垂直于面内所有的线，，所以，B选项正确
选项C中，没有说明不在面内，所以不一定平行，可能是在面内的
选项D中，已知面面平行，两个平面内的线，或者与面平行的线，线线的位置关系是任意的，不能推出线线平行，推出线线平行需要借助第三个面
27．（2021·四川射洪·模拟预测（文））设是两个不同平面，是两条不同直线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C【详解】以正方体为例，
A．，平面，平面与平面都可以是平面，与可能平行也可能相交，A错；
B．平面，平面，，，此时与相交，B错；
C．，由线面平行的性质定理，内有直线，，则，，则，则，C正确；
D．平面，平面，，，但与相交，不平行，D错．
故选：C．
28．（2020·西藏日喀则·模拟预测（文））设m，n是两条不同的直线，α、 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α∥ ，mα，n ，则m∥n
C．若α =m，nα，n⊥m，则n⊥ D．若m⊥α，m∥n，n ，则α⊥
【答案】D【详解】若m∥α，n∥α，可以相交、平行或异面，A错；
若α∥ ，mα，n ，则可能平行也可能异面，B错；
若α =m，nα，n⊥m，如果有，则有，如果没有，则与不一定垂直，C错；
若m⊥α，m∥n，则，又n ，则α⊥ ，D正确．
29．（2021·陕西临渭·一模（理））已知是两条异面直线，直线与都垂直，则下列说法正确的是（ ）
A．若平面，则 B．若平面，则
C．存在平面，使得 D．存在平面，使得
【答案】C【解析】由a，b是两条异面直线，直线c与a，b都垂直，知：
在A中，若c 平面α，则a与α相交、平行或a α，故A错误；
在B中，若c⊥平面α，则a，b与平面α平行或a，b在平面α内，故B错误；
在C中，由线面垂直的性质得：存在平面α，使得c⊥α，a α，b∥α，故C正确；
在D中，若存在平面α，使得c∥α，a⊥α，b⊥α，则a∥b，与已知a，b是两条异面直线矛盾，故D
30．（2022·重庆·一模）已知是三个不同的平面，且，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】如图所示，在正方体中，
若为，为，为，则，，满足，但不垂直于，故充分性不成立；
若为，为， 为，则，，满足，但不垂直于，故必要性不成立；
31．（2022·陕西宝鸡·一模（文）），是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中真命题的个数为（ ）
①若，，则与所成的角等于与所成的角；
②若 ，，，则与是异面直线；
③若 ，，，则；
④若，，，则．A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B【解析】对①，结合异面直线所成角的定义，因为，所以与所成的角等于与所成的角，而，于是与所成的角等于与所成的角，故①正确；
对②，根据题意m,n既不平行也不相交，故m,n异面，所以②正确；
如图，在正方体中，若为平面ABCD，为平面，取m为AB，n为，显然异面，所以③错误；
若为平面ABCD，为平面，则m为AB，取n为BC，则，所以④错误.
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