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圆锥曲线的概念与性质，与弦有关的计算问题 讲义
（一）考点解读
高考考点 考点解读
圆锥曲线的定义、标准方程与性质 1.求圆锥曲线的标准方程、离心率、双曲线的渐近线方程2.考查圆锥曲线的定义、性质
圆锥曲线中的最值（范围）及与弦有关的问题 1.考查弦长问题2.求直线的方程或圆锥曲线的方程
直线与圆锥曲线位置关系的判断与证明问题 1.位置关系的判定2.几何或代数关系式的证明3.涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题：4.求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.
圆锥曲线中的定点，定值问题 定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横（纵）坐标等的定值问题.
（二）核心知识整合
考点1：圆锥曲线的定义、标准方程与性质
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a (2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a　(2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M(l为抛物线的准线)．
2．圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝．
②在双曲线中c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝．
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1 (－c,0)，F2 (c,0)．
②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1 (0，－c)，F2 (0，c)．
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y2＝±2px(p>0)的焦点坐标为(±，0)，准线方程为x＝ ．
②抛物线x2＝±2py(p>0)的焦点坐标为(0，±)，准线方程为y＝ ．
[典型例题]
1.已知分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，且，则（ ）
A.18 B.36 C. D.与的取值有关
[答案]：B
[解析]　 由椭圆定义可知：，
，
，
即
∴
故选：B
2.若点到双曲线C的渐近线的距离为，则双曲线C的方程可能是( )
A. B.
C. D.
[答案]：C
[解析] 不妨设双曲线C的渐近线方程为，
则，得，故双曲线C的近线方程为.
四个选项中只有C选项满足题意，故选C.
『规律总结』
1．涉及椭圆(或双曲线)两焦点距离的问题或焦点弦问题，及到抛物线焦点(或准线)距离的问题，可优先考虑圆锥曲线的定义．
2．圆锥曲线的定义、标准方程是高考常考内容，主要以选择、填空的形式考查，解题时分两步走：第一步，依定义定“型”，第二步，待定系数法求“值”．
3．求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”
(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．
(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)．
[跟踪训练]
1.已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于A，B两点，，则抛物线C的方程为( )
A. B. C. D.
[答案]：A
[解析]　 本题考查抛物线的定义、标准方程.抛物线的准线方程为.因为，所以由抛物线的定义得，解得，所以抛物线C的方程为.故选A.
2. 若点和点分别为双曲线的中心和左焦点,点为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
[答案]：B
[解析] 由可得.设点，则有,,在上单调递增，所以当时, 取得最小值,故的取值范围是.故选B.
考点2：圆锥曲线中的最值（范围）及与弦有关的问题
1.弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长
斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，
|AB|＝　
(2)抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则①x1x2＝，y1y2＝；
②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦AB的倾斜角)；③＋＝；④以弦AB为直径的圆与准线相切．
[典型例题]
1.已知椭圆的长半轴为2，且过点.若过点M引两条互相垂直的直线，，P为椭圆上任意一点，记点P到，的距离分别为，，则的最大值为( )
A.2 B. C.5 D.
[答案]：B
[解析]　由题意可得，，所以椭圆的方程为.设，①若直线，中的一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，不妨设直线的方程为，则的方程为.
则，因为P在椭圆上，所以，
所以，，
所以当时，有最大值，所以的最大值为.②当直线，的斜率都存在，且不为0时，设直线的方程为，即，
则的方程为，即.
则，，
所以
，
由①可得的最大值为.故选B.
2.若F为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案]：D
[解析] 设双曲线的右焦点为G，连接BG，则，因此，于是
.令，则，而
，，所以，因此，故.
故D正确.
『规律总结』
1. 与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法
(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解．
(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．
(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．
2. 弦中点问题的解法
点差法在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在．
3．与弦端点相关问题的解法
解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解．
『提醒』
1．搞清楚双曲线渐近线的斜率：在求双曲线的渐近线方程时，一定要注意双曲线渐近线的斜率是±还是±．
2．不能忽略一元二次方程的判别式：对于以直线与圆锥曲线相交为前提的问题，应用直线与曲线的方程求参数值或探究问题时，应注意判别式大于等于零这一条件．
[跟踪训练]
1. .已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，延长交准线于点，若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
[答案]：B
[解析] 由题意可知，，则，准线为直线，
过分别作垂直准线于，则有，
因为，所以，所以，所以，
所以，，所以,因为，所以,
解得，所以，所以.故选B.
2. 已知，分别为双曲线左、右焦点，直线l过交双曲线的左支于M，N两点，若线段中点恰好在y轴上，且，则双曲线C的离心率是( )
A. B. C. D.
[答案]：B
[解析] 由题意可知，线段中点A恰好在y轴上，如图，
而O是的中点，则是的中位线，
故，即直线轴，故点M横坐标为，
代入解得，∵，
∴，，
∴在中，，∴，
∴，两边同除以得，
而，故解得.故选：B.
考点3：直线与圆锥曲线位置关系的判断与证明问题
1．有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
(2)面积问题常采用S△＝×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解．
(3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．
2．弦中点问题的解决方法
(1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤
(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
3．与相交有关的向量问题的解决方法
在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解．
4.圆锥曲线中最值问题：主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等．
5.圆锥曲线中的范围问题：关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系．该问题主要有以下三种情况：
(1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解．
(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系．
(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解．
[典型例题]
1.已知，为椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若，，则椭圆C的方程为( )
A. B. C. D.
[答案]：A
[解析]　 因为点A在椭圆上，所以，把该等式两边同时平方，得.又，所以，则，即，所以.因为是直角三角形，，且O为的中点，所以.不妨设点A在第一象限，则，所以，所以，即，故，所以椭圆C的方程为，故选A.
2.已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线C的右支上一点,且,则的面积为( )
A. B. C.2 D.4
[答案]：A
[解析] 在双曲线中， ，
.
，
.
在中，，
，
的面积为.故选A.
『规律总结』
1．与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法
(1)数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．
(2)构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)．
[跟踪训练]
1. 已知椭圆右顶点为，上顶点为B，该椭圆上一点P与A的连线的斜率，AP的中点为E，记OE的斜率为，且满足，若C，D分别是x轴、y轴负半轴上的动点，且四边形ABCD的面积为2，则面积的最大值是( )
A. B. C. D.
[答案]：A
[解析] 由题意知：，直线PA的方程为，
联立方程可得，
因为是其中一个解，则另一个解满足，即，
所以，则可得AP的中点，则，
因为，所以，解得，则即，
设，则由四边形ABCD的面积为2，有，
即，由基本不等式得，，
从而三角形COD的面积，等号当，时取到.
所以三角形COD面积的最大值为.
故选：A.
2.抛物线的准线l与双曲线交于A、B两点，，分别为双曲线C的左、右焦点，在l左边，为等边三角形，与双曲线的一条渐近线交于点E,，则的面积为( )
A. B. C. D.
[答案]：D
[解析] 不妨令点A在第二象限，示意图如图，由，可得E为的中点，又O为的中点，.为等边三角形，，由对称性知，，，①，②.抛物线的准线l的方程为，的边长为，，在中，由余弦定理可得，即③，由①②③得，，，.则的面积.故选D.
考点4：圆锥曲线中的定点，定值问题
1．定值、定点问题在变化中所表现出来的不变的量，用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点，解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
[典型例题]
1.已知双曲线经过点（2，3），两条渐近线的夹角为，直线l交双曲线于A,B两点.
（1）求双曲线C的方程.
（2）若直线l过原点，P为双曲线上异于A,B的一点，且直线PA,PB的斜率分别为，试证明为定值.
（3）若直线l过双曲线的右焦点，在x轴上是否存在点，使得直线l绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由.
[解析] （1）双曲线的渐近线方程为.
因为两条渐近线的夹角为,
所以渐近线的倾斜角为或，
所以或.
又点（2,3）在双曲线C上，所以，
故或，
解得，
所以双曲线C的方程为.
（2）设，
故，
所以，
因为，
所以，
即，
所以为定值3.
（3）双曲线的右焦点为.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
设，
因为，所以，
整理得 ①，
由，可得.
因为直线l与双曲线有两个不同的交点，
所以，且，
所以.
由题设知①对任意的均成立，
又，
所以①可转化为，
整理得对任意的均成立，
故，所以.
当直线l的斜率不存在时，，
此时或，
则，解得.
综上，存在点，使恒成立.
『规律总结』
1．过定点问题的两大类型及解法
(1)动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
(2)动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
2．求解定值问题的三个步骤
(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；
(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；
(3)得出结论．
[跟踪训练]
1.已知Q是圆上的一个动点(点M为圆心)，点N的坐标为，线段QN的垂直平分线交线段QM于点C，动点C的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的轨迹方程；
(2)求直线与曲线E的相交弦长；
(3)曲线E的右顶点为B，直线与椭圆E相交于点S，T，则直线BS，BT的斜率分别为，且，，D为垂足，问：是否存在某个定点A，使得以AB为直径的圆经过点D 若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由.
[解析]
(1)因为点C在线段QN的垂直平分线上，
所以.
又QM是圆M的半径，
所以，
所以点E的轨迹是椭圆，
所以，，所以，
所以动点C的轨迹方程为.
(2)设直线与曲线E相交于点和点，联立
消去y并整理，得，
则，，，
所以弦长.
(3)设，，联立
消去y并整理，得，
则，
，，
，
化简，得，
即，
即，
解得或.
当时，直线过点B，不合题意；
所以，此时直线，且过定点.
又因为点D在以AB为直径的圆上，
所以点A在直线上，
所以存在定点满足条件.

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