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6.3 实 数
【学习目标】
1. 了解无理数和实数的意义；
2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .
【知识总结】
一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
【注】：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.21世纪教育网版权所有
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以 ( http: / / www.21cnjy.com )进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.21cnjy.com
【典型例题】
【类型】一、实数概念
例1．将下列各数填入相应的集合内：
， 1.010010001， ， 0， ，
…(相邻的两个2之间的3一次增加1个)， ．
有理数集合{ …}
无理数集合{ …}
【解析】有理数为整数与分数的统称，无理数为无限不循环的小数，掌握三类开方开不尽的，无限不循环的小数，与π有关的数进行排查即可．2·1·c·n·j·y
解：有理数集合{ ， 1.010010001， ， 0， ，… }
无理数集合{ ，…(相邻的两个2之间的3一次增加1个)，…}
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，. 21·世纪*教育网
【训练】在下列语句中：
①无理数的相反数是无理数；
②一个数的绝对值一定是非负数；
③有理数比无理数小；
④无限小数不一定是无理数．
其中正确的是（　　）
A．②③ B．②③④ C．①②④ D．②④
【答案】C；
解：①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数 不可能式有理数，故本选项正确；
②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确；
③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的；
④无限循环小数是有理数，故本选项正确．
【类型】二、实数大小的比较
例2．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即
例如：比较与2的大小；
，
，则，
，
．
请根据上述方法解答以下问题：
（1）比较大小：_______3；
（2）比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）＞；（2）＜．
【分析】
（1）由＜＜，可得：＜＜，从而可得答案；
（2）由＜＜，可得＜＜，从而可得：＜，即＜，从而可得答案．
【详解】
解：（1）＜＜，
＜＜，
故答案为：＞．
（2）＜＜，
＜＜，
＜，
＜，
＜，
＜．
【点拨】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．
【训练】（1）用“<”、“>”或“=”填空：_____，_______；
（2）由以上可知：①________________；②_____________；
（3）计算：.（结果保留根号）
【答案】(1)＜,＜；（2）①；②；（3）
【分析】
（1）当被开方数越大时算数平方根越大 ( http: / / www.21cnjy.com )，依此判断即可；（2）依据（1）知次数为负数，而负数的绝对值等于它的相反数即可化简；（3）依据（2）将化简的结果相加即可.21教育网
解：(1)＜,＜
（2）①；②
（3）原式=
=
【点拨】此题是考察算数平方根的大小比较，准确解得（1）是关键，为后两问做基础.
例3、把下列各数在数轴上表示出来，并把它们按从小到大的顺序用“＜”连接起来：
3， ﹣2.5， |﹣2|， 0， ， （﹣1）2．
【分析】根据实数与数轴上的点一一对应，可把实数表示在数轴上，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案．21·cn·jy·com
解：
【点拨】此题考查实数比较大小，数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键．
【类型】三、实数的运算
例4、计算：
（1） （2）
【答案与解析】
解：（1） （2）
= =
= =
【点拨】本题考查了无理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【训练】计算
解：
=
=．
【训练】计算：
解：原式．
【点拨】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例5、阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为。www.21-cn-jy.com
请解答
（1）的整数部分是______，小数部分是_______。
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值。
（3）已知x是的整数部分，y是其小数部分，直接写出的值.
【答案】（1）3；﹣3； （2）4；（3）x﹣y=7﹣．
【解析】
【分析】
（1）由3＜＜4可得答案；
（2）由2＜＜3知a=﹣2，由6＜＜7知b=6，据此求解可得；
（3）由2＜＜3知5＜3+＜6，据此得出x、y的值代入计算可得．
解：（1）∵3＜＜4，
∴的整数部分是3，小数部分是﹣3；
故答案为3；﹣3．
（2）∵2＜＜3，
∴a=﹣2，
∵6＜＜7，
∴b=6，
∴a+b﹣=﹣2+6﹣=4．
（3）∵2＜＜3，
∴5＜3+＜6，
∴3+的整数部分为x=5，小数部分为y=3+﹣5=﹣2．
则x﹣y=5﹣（﹣2）=5﹣+2=7﹣．
【点拨】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是熟记估算无理数的大小．
【训练】阅读理解
∵在，即，∴.∴的整数部分为1，小数
部分为.
解决问题
已知是的整数部分，是的小数部分，求的平方根.
【答案】平方根为
【分析】根据阅读材料的方法先确定出的范围，继而得到a、b的具体数值，然后再代入式子(-a)3+(b+4)2求值，最后再根据平方根的定义进行求解即可.【来源：21·世纪·教育·网】
解：∵，即4<<5，∴1<-3<2，
∴-3的整数部分为1，小数部分为-4，
即a=1，b=-4，
∴(-a)3+(b+4)2=-1+17=16，
16的平方根是±4，
即(-a)3+(b+4)2的平方根是±4.
【点拨】本题考查了无理数的估算，阅读题，通过阅读材料找到解决此类问题的方法是关键.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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