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6.2矩形的性质和判定
第2课时矩形的判定基础练
一．选择题
1．下列说法不正确的是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．一个角是直角的四边形是矩形
2．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量四边形其中的三个角是否都为直角
3．已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
4．能判定一个平行四边形是矩形的条件是（　　）
A．两条对角线互相平分 B．一组邻边相等
C．两条对角线相等 D．两条对角线互相垂直
5．如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（　　）
A．△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
6． ABCD中，添加一个条件就成为矩形，则添加的条件是（　　）
A．AB＝CD B．∠B+∠D＝180°
C．AC＝AD D．对角线互相垂直
二．填空题
7．如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件　 　，使平行四边形ABCD是矩形．
8．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件　 　，使四边形DBCE是矩形．
9．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面　 　（填“合格”或“不合格”）．
10．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加　 　条件，才能保证四边形EFGH是矩形．
三．解答题
11．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，交AN于点E．求证：四边形ADCE是矩形．
12．如图，已知 ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，连接AE，CF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠FOC＝2∠OCE，求证：四边形AECF是矩形．
13．如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是矩形．
14．如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．
16．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
17．如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边交于点E，∠AEB＝45°，证明：四边形ABCD是矩形．
18．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA相邻的外角平分线CF于点F，点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
参考答案
1．D．
2． D．
3． B．
4． C．
5．C．
【解析】A．连接EF，
∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴EF∥BC，BD＝CD，
设EF和BC间的距离为h，
∴S△BDEBD h，S△DCFCD h，
∴S△BDE＝S△DCF，
故本选项不符合题意；
B．∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形，
故本选项不符合题意；
C．∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴EFBC，DFAB，
若AB＝BC，则FE＝DF，
∴四边形AEDF不一定是菱形，
故本选项符合题意；
D．∵四边形AEDF是平行四边形，
∴若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，
故本选项不符合题意；
故选：C．
6．B．
【解析】A、当AB＝CD，不能判定 ABCD为矩形，故该选项不符合题意；
B、∵ ABCD中∠B＝∠D，∠B+∠D＝180°，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴ ABCD是矩形；故该选项正确，符合题意；
C、∵AC＝AD，不能得出 ABCD是矩形，故该选项不符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项不符合题意．
故选：B．
7．∠ABC＝90°或AD⊥AB（答案不唯一）．
【解析】理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义）．
8．EB＝DC．
【解析】添加EB＝DC．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC，
∴DE∥BC，
又∵DE＝AD，
∴DE＝BC，
∴四边形DBCE为平行四边形．
又∵EB＝DC，
∴四边形DBCE是矩形．
9．合格．
10．AC⊥BD
【解析】∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，
∴HG∥BD，EH∥AC，
∴∠EHG＝∠1，∠1＝∠2，
∴∠2＝∠EHG，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EHG＝90°，
∴∠2＝90°，
∴AC⊥BD．
故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．
11．证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN，
∴∠DAE＝90°，
∵CE∥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
12．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝CE，AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF．
（2）∵∠FOC＝∠OEC+∠OCE＝2∠OCE，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴OE＝OC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴OA＝OC，OE＝OF，
∴AC＝EF，
∴四边形AECF是矩形．
13．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵BH，CH分别平分∠ABC与∠BCD，
∴∠HBC∠ABC，∠HCB∠BCD，
∴∠HBC+∠HCB（∠ABC+∠BCD）180°＝90°，
∴∠H＝90°，
同理∠HEF＝∠F＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
14．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC＝CE，
∴AD＝CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵AB＝AE，
∴DC＝AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
15．证明：∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴平行四边形OBEC是矩形．
16．（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝8，CF＝6，
∴EF10，
∴OCEF＝5；
（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
17．证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC
∴∠AEB＝∠EBC
∵BE平分∠ABC，∠AEB＝45°
∴∠ABE＝∠EBC＝45°
∴∠ABC＝90°
∴四边形ABCD是矩形
18．证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1＝∠3，
∴∠3＝∠2，
∴EO＝CO，
同理，FO＝CO，
∴EO＝FO．
当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是“平行四边形”，当∠ECF＝90度时，平行四边形AECF是矩形，
∵EO＝FO，点O是AC的中点．
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4＝∠5，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠4180°＝90°．
即∠ECF＝90度，
∴平行四边形AECF是矩形．
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