资源简介

倾斜角与斜率
课标解读 课标要求 素养要求
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 3.掌握倾斜角和斜率之间的关系. 4.掌握过两点的直线斜率的计算公式. 1.数学抽象——能抽象出直线的倾斜角与斜率的概念. 2.逻辑推理——能够推导倾斜角与斜率的关系. 3.数学运算——会计算直线的斜率.
自主学习·必备知识
教材研习
教材原句
要点一 直线的倾斜角
1.定义：
当直线 与 轴相交时，我们以 轴为基准， 轴正向与直线 向上的方向 之间所成的角 叫做直线 的① 倾斜角 .
2.倾斜角的范围：
当直线 与 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为② . 因此，直线的倾斜角 的取值范围为 .
要点二 直线的斜率与方向向量
1.斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角 的正切值 叫做这条直线的③ 斜率 . 斜率常用小写字母 表示，即④ .
2.斜率与两点坐标的关系：
如果直线经过两点 ，那么直线的斜率公式为 ⑤ .
3.直线的方向向量：
直线 上的向量 以及与它平行的非零向量都是直线有⑥ 方向向量 . 直线 的方向向量 的坐标为 .
4.直线的斜率与方向向量的坐标之前的关系：
若基线 的斜率为 ，它的一个方向向量的坐标为 ，则 .
自主思考
1.下图中标的倾斜角 对不对？
提示 都不对.
2.直线倾斜角的取值范围是 ，那么每一条直线都对应一个确定的倾斜角吗？
提示 都对应，无论直线怎样旋转，其倾斜角的取值范围都是 ，因此每一条直线都对应一个确实的倾斜角.
3.当直线的倾斜角 的正切值不存在时，直线有斜率吗？直线有倾斜角吗？
提示 没有斜率. 有倾斜角，其值为 .
4.若直线 的斜率为 ，则直线 的一上方向向量可以是 吗？
提示 可以.
名师点睛
1.倾斜角定义的关键
（1） 轴正向.
（2）直线向上的方向.
（3）小于 的非负角.
2.运用斜率公式的前提是 ，即直线不与 轴垂直.
3.斜率公式与 在直线上的位置无关，在直线上任取两点，得到的斜率是相同的.
4.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序，也可以写成 ，即上、下标的顺序要一致.
互动探究·关键能力
探究点一 直线的倾斜角
精讲精练
例（1）设直线 过坐标原点，它的倾斜角为 ，如果将 绕坐标原点按顺时针方向旋转 ，得到直线 ，那么 的倾斜角为( )
A. B.
C. D. 或
（2）设直线 过原点 ，其倾斜角 ，直线 与 的交点为 ，且 与 向上的方向之间所成的角为 ，则直线 的倾斜角为 .
答案：（1） （2）
解析：（1）根据题意画出图形，如图所示：
如图1，当 时， 的倾斜角为 ；
如图2，当 时， 的倾斜角为 . 故选D.
（2）设直线 的倾斜角为 ，则 ，所以直线 的倾斜角为 .
解题感悟
直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据题意分类讨论.
迁移应用
如图，已知直线 的倾斜角是 ， ，垂足为 ， 与 轴分别相交于点 ， 平分 ，则 的倾斜角为 .
答案：
解析：因为直线 的倾斜角为 ，所以 ，所以 的倾斜角为 .
探究点二 直线的斜率
精讲精练
类型1 求斜率
例1 已知 .
（1）求直线 和 的斜率；
（2）若点 在线段 上移动，求直线 的斜率的取值范围.
答案：（1）由斜率公式得 ，即直线 和直线 的斜率分别为0和 .
（2）设直线 的斜率为 ，当斜率 变化时，直线 绕 点旋转，当直线 由 逆时针旋转到 时，直线 与 恒有交点，即 在线段 上，此时 由 增大到 ，又 ，所以 的取值范围为 .
类型2 直线的方向向量
例2已知直线 的倾斜角的取值范围为 ，直线 的方向向量为 ，求 的取值范围.
解析：思路分析 先根据直线 的倾斜角的取值范围求斜率的取值范围，再由直线的方向向量与斜率的关系得 的取值范围.
答案：易知 ，画出正切函数的图象，如图所示.
当 时， ，由题意知 ，
所以 或 ，
解得 或 ，
所以 的取值范围为 .
解题感悟
（1）直线的方向向量与直线上任意两点对应的向量平行，利用直线的方向向量与斜率的关系可以解决求值的问题.（2）已知倾斜角的取值范围，求该角正切值的取值范围，可以结合正切函数的图象求解.
迁移应用
1.经过 两点的直线的斜率为 ，则实数 的值为( )
A.1B.3C.0或1D.1或3
答案：
解析：直线 的斜率 ，整理得 ，解得 或 .
2.过 ， 两点的直线的方向向量为(1,2)，则 .
答案： 2
解析： 由已知条件可知，直线的方向向量为 ，即 . 又(1,2)是直线的一个方向向量，则 ，解得 .
探究点三 直线的倾斜角和斜率的综合应用
精讲精练
例 （2021山东潍坊寿光现代中学高二期中）已知点 ， ，若 ，则直线 的倾斜角的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：设直线 的倾斜角为 ，则直线 的斜率 ，
又 ，则 的取值范围为 ，
即 的取值范围为 ，
又 ，则 .
解题感悟
（1）直线的倾斜角α与斜率 的关系是 . 由直线的倾斜角能求斜率，反过来，由直线的斜率也能求倾斜角，需注意倾斜角的取值范围为 . （2）在 范围内， ，且 随着 的增大而增大；在 范围内， ，且 随着 的增大而增大，但在 范围内， 并不是随着 的增大而增大的.
迁移应用
如图，直线 的倾斜角 ， ，求 的斜率.
答案： 直线 的倾斜角 ，
直线 的倾斜角 ，
.
的斜率分别为 .
评价检测·素养提升
1.若图中直线 的斜率分别为 ，则( )
A.
B.
C.
D.
答案：
2.若直线 的一个方向向量为 ，则此直线的倾斜角为 .
答案：
3.直线 过点 ，且不过第四象限，则直线 的斜率 的取值范围是 .
答案：
解析：如图，
当直线 在 的位置时， ；当直线 在 的位置时， . 故直线l的斜率 的取值范围是 .
6两条直线平行和垂直的判定
课标解读 课标要求 素养要求
1.理解两条直线平行与垂直的条件. 2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 3.能利用两条直线平行或垂直的条件解决问题. 1.逻辑推理——能根据斜率推导两条直线平行或垂直. 2.直观想象——能够掌握直线斜率的几何意义.
自主学习·必备知识
教材研习
教材原句
1.两条直线平行：
对于斜率分别为 的两条直线 ，有 ① .
2.两条直线垂直：
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于 -1 ，那么它们互相垂直. 即 ② .
自主思考
1.两条直线平行，斜率一定相等吗？
提示 不一定，也可能两条直线的斜率都不存在.
2.若两条直线垂直，则它们的斜率之积一定等于-1吗？
提示 不一定，若两条直线的斜率都存在，则它们垂直时斜率之积是-1；当两条直线垂直时，还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在.
名师点睛
1.当两条直线的斜率都不存在时， 与 的倾斜角都是 ， .
2.若没有指明 不重合，则 或 与 重合，用斜率证明三点共线时，常用到这一结论.
3.在利用以上结论判定两条直线的位置关系时，一定要注意前提条件，即斜率存在，因此在讨论问题的过程中一定要注意对斜率是否存在作分类讨论.
互动探究·关键能力
探究点一 两条直线平行的判定
精讲精练
例 根据下列给定的条件，判断直线 与直线 是否平行.
（1） 经过点 ， 经过点 ；
（2） 经过点 ， 经过点 ；
（3） 平行于 轴， 经过点 .
思路分析 根据所给的条件求出两直线的斜率，根据斜率是否相等进行判断，要注意斜率不存在及两直线重合的情况.
答案：（1） ， 与 不平行.
（2） 与 都与 轴垂直，且 与 不重合，
（3）由题意知 的斜率不存在，且不是 轴， 的斜率也不存在，恰好是 轴，
变式若将本例（3）改为 平行于 轴， 经过点 ，且 ，求 的值.
答案：由已知得 ，因为 ，所以 ，解得 .
解题感悟
是针对斜率都存在且不生命的两直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用数形结合求解.
迁移应用
1.经过两点 的直线 ，与经过点 且斜率为 的直线 的位置关系为( )
A.平行B.垂直C.重合D.无法确定
答案：
解析： ，
，
又 ，
与 不重合， 与 平行.
2.已知过点 和点 的直线与过点 和点 的直线平行，则 的值是 .
答案： -1
解析： 因为 ，且直线 与直线 平行，所以 ，
解得 .
探究点二 两条直线垂直的判定
精讲精练
类型1 两条直线垂直的判定
例1根据下列给定的条件，分别判断直线 与 是否垂直.
（1） 经过点 ， 经过点 ；
（2） 经过点 ， 经过点 ；
（3） 经过点 ， 的方向向量为(5,1).
思路分析 根据已知条件求出两条直线的斜率，然后根据垂直关系判断.
答案：（1）由题意知 ，因为 ，所以 .
（2）由题意知 的斜率不存在， 的斜率为0，所以 .
（3）由题意知 ，因为 ，所以 与 不垂直.
解题感悟
判断两条直线是否垂直的依据是在这两条直线都有斜率的前提下，只需要看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与 轴垂直，另一条直线与 轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
类型2 根据两条直线垂直求参数
例2 已知直线 经过点 ，直线 经过点 ，如果 ，求 的值.
思路分析 根据两条直线垂直，列方程求解.
答案：因为直线 经过点 ，所以 的斜率存在，设为 .
当 时，则 ，即 ，则 ，显然直线 的斜率不存在，满足 ；
当 时， ，即 ，显然 的斜率存在，设为 .
若要满足题意，则 ，所以 ，解得 .
综上可知， 的值为5或2.
解题感悟
若已知点的坐标中含有参数，利用两条直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况.
迁移应用
1.已知直线 经过 两点，直线 的倾斜角为 ，那么 与 ( )
A.垂直B.平行
C.重合D.相交但不垂直
答案：
解析： 直线 经过 ， 两点，
直线 的斜率 .
直线 的倾斜角为 ，
直线 的斜率 ，
，
.
2.（2021四川宜宾叙州二中高二开学考）在平面直角坐标系内有两个点 ， ，-2)，若在 轴上存在点 ，使 ，则点 的坐标是( )
A.(3,0)B.(0,0)
C.(5,0)D.(0,0)或(5,0)
答案：
解析：设 ，则 .
，
，
，
则 ，
解得 或 ，
点 的坐标为(0,0)或(5,0).
探究点三 两条直线平行与垂直的综合应用
精讲精练
例 已知点 ，点 在 轴上，分别求满足下列条件的点 的坐标.
（1） （ 是坐标原点）；
（2） 是直角.
思路分析 （1）根据两角相等，判断 与 的关系，然后转化为斜率的关系求解. （2）根据 是直角，得出 ，然后转化为斜率之积为-1求解.
答案：（1）因为 ，所以 ，所以 .设 ，又 ，
所以 ，所以 ，即点 的坐标为(7,0).
（2）因为 为直角，所以 ，
根据题意知 的斜率均存在，
所以 .
设 ，则 ，
所以 ，
解得 或 ，即点 的坐标为(1,0)或(6,0).
解题感悟
（1）利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，再利用直线的斜率关系进行判定. （2）由图形的形状求参数（一般是点的坐标）时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑图形可能出现的各种情况.
迁移应用
1.已知 三点，若 ，且 ，求点 的坐标.
答案： 设 ，
则 .
因为 ，
所以 ，
所以
解得
所以点 的坐标为(0,1).
评价检测·素养提升
课堂检测
1.若直线 的倾斜角为 ，直线 经过点 ，则直线 与 的位置关系是( )
A.垂直B.平行
C.重合D.平行或重合
答案：
2.若直线 经过点 和 ，且与斜率为 的直线垂直，则实数 的值为( )
A. B. C. D.
答案：
3.（2021浙江宁波慈溪高二期末）已知两条不重合的直线 ，则“ ”是“ 的斜率相等”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案：
4.已知点 ，点 在 轴上，且 ，求点 的坐标.
答案：设 ，由 知，
，
解得 ，所以点 的坐标是(0,-11).
素养演练
直观想象、逻辑推理——判断平面图形的形状
已知 四点，若顺次连接 ， ， ， 四点，试判断图形 的形状.
答案： ， ， ， 四点在平面直角坐标系中的位置如图：
由斜率公式可得 ，
，由图可知 与 不重合， .
， 与 不平行. 又 .
故四边形ABCD为直角梯形.
素养探究：根据点画出图形，渗透了直观想象的素养；根据斜率判断图形的形状，渗透了逻辑推理的素养.
迁移应用
已知 四点，试判断由此四点构成的图形 的形状.
答案：由题意得 ，
因为 ，且 与 ， 与 不重合，所以 ，所以四边形 为平行四边形.
又因为 ，所以 ，
所以四边形 为矩形.
7直线的点斜式方程
课标解读 课标要求 素养要求
1.掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会用它们求直线方程. 2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系. 3.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题. 1.数学抽象——会从直线的斜截式方程中发现直线的斜截 式方程与一次函数的关系. 2.逻辑推理——会推导直线的点斜式和斜截式方程. 3.直观想象——会利用直线的点斜式和斜截式方程求直线 方程.
自主学习·必备知识
教材研习
教材原句
要点一 点斜式
1.定义：方程 由直线上一个定点 及该直线的斜率 确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称① 点斜式 .
2.特殊的直线方程：
直线 过定点 ，
（1）当直线 的倾斜角为 时， ，即 ，这时直线 与 轴平行或重合，直线 的方程是 ，即② .
（2）当直线 的倾斜角为 时，由于 无意义，直线没有斜率，这时直线 与 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.又因为这时直线 上每一点的横坐标都等于 ，所以它的方程是 ，即③ .
要点二 斜截式
1.定义：我们把直线 与 轴的交点 的纵坐标 叫做直线 在 轴上的截距.这样，方程 由直线的斜率 与它在 轴上的截距 确定，我们把方程 叫做直线的斜截式方程，简称④ 斜截式 .
2. 的几何意义： 是直线的⑤ 斜率 ， 是直线在 轴上的⑥ 截距 .
3.根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直：
对于直线 ： ， ： .
（1） ，且 ；（2） .
自主思考
1.直线 过的定点是什么
提示 把方程 转化为 ，根据点斜式方程可知定点是(1,-2).
2.当直线 与 轴重合时，直线 的斜率是多少 直线 的方程是什么
提示 当直线 与 轴重合时， 的斜率为0. 的方程是 .
3.截距一定是正数吗
提示 不一定，因为纵坐标 可正、可负、可为0，所以截距可正、可负、可为0.
4.直线 ： ，直线 ： ，若 ，则 的值是多少
提示 若 ，则 解得 .
名师点睛
1.经过点 的直线可以分为两类
（1）斜率存在的直线的方程为 ；
（2）斜率不存在的直线的方程为 ，即 .
2.斜截式方程的诠释
（1） 为直线 在 轴上的截距，不是距离，截距可以取任意实数，即可以为正数、零、负数；
（2）斜截式方程可由过点 的点斜式方程得到；
（3）当 时，斜截式方程就是一次函数的表示形式；
（4）斜截式是点斜式的特殊情况，斜截式的前提是直线的斜率存在，斜截式不能表示平行于 轴的直线，即斜率不存在的直线.
互动探究·关键能力
探究点一 利用点斜式求直线的方程
精讲精练
类型1 求点斜式方程
例1求满足下列条件的直线的点斜式方程.
（1）过点 ，斜率 ；
（2）过点 ，且与 轴垂直；
（3）过点 ，倾斜角是 .
答案：（1） 直线过点 ，斜率 ， 直线的点斜式方程为 .
（2） 与 轴垂直的直线，其斜率不存在， 直线的方程为 .
（3） 直线的倾斜角是 ， ，
又直线过点 ， 直线的点斜式方程为 .
解题感悟
（1）求直线的点斜式方程，关键是求出直线的斜率，所以已知直线上一点的坐标及直线的斜率或已知直线上两点的坐标，均可直接利用点斜式求直线的方程.（2）斜率不存在时，可直接写出过点 的直线的方程为 .
类型2 直线过定点问题
例2已知直线 ： .求证：直线 恒过一个定点.
答案：证明 由 得 .
由直线 的点斜式方程可知，直线 恒过定点(-2,1).
解题感悟
判断或求直线过定点问题，常将直线方程转化为点斜式的形式求定点.
迁移应用
1.直线 必过定点，则该定点的坐标是 .
答案：(2,3)
解析：将直线的方程转化为点斜式得 ，所以该直线过定点(2,3).
2.（1）求过点 ，倾斜角为 的直线的点斜式方程；
（2）求过点 ，平行于 轴的直线的点斜式方程.
答案：（1）因为直线的倾斜角为 ，
所以直线的斜率 ，
所以所求直线的点斜式方程为 .
（2）因为直线平行于 轴，所以直线的斜率 ，所以所求直线的方程为 .
探究点二 求直线的斜截式方程
精讲精练
例求下列直线的斜截式方程.
（1）斜率为-4，在 轴上的截距为7；
（2）在 轴上的截距为2，且与 轴平行；
（3）倾斜角为 ，与 轴的交点到原点的距离为3.
思路分析 找出斜率和截距，直接代入斜截式方程，即可求解.
答案：（1）由题意及直线的斜截式方程知，所求直线的斜截式方程为 .
（2）由题意及直线的斜截式方程知，所求直线的方程为 .
（3）因为直线的倾斜角为 ，所以斜率为 ，因为直线与 轴的交点到原点的距离为3，
所以在 轴上的截距 或 ，故所求直线的斜截式方程为 或 .
解题感悟
（1）直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在.（2）直线的斜截式方程 中只有两个参数，因此要确定直线的斜截式方程，只需知道参数 ， 的值即可.
迁移应用
倾斜角为 ，在 轴上的截距为-1的直线的方程是( )
A. B.
C. D.
答案：
解析： 倾斜角为 ， ， 直线的斜截式方程为 .
探究点三 斜截式的平行、垂直问题
精讲精练
例（1）当 为何值时，直线 ： 与直线 ： 平行？
（2）当 为何值时，直线 ： 与直线 ： 垂直？
答案：（1）由题意可知， ，
解得 .
故当 时，直线 ： 与直线 ： 平行.
（2）由题意可知， ， ， ，解得 .
故当 时，直线 ： 与直线 ： 垂直.
解题感悟
已知含参数的两条直线平行或垂直求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系也要注意考虑 .
迁移应用
1.若直线 过点(3,4)，且平行于过点 和 的直线，则直线 的斜截式方程为 .
答案：
解析：由于直线 ，且直线 的斜率为 ，所以直线 的斜率为 .又直线 过点(3,4)，所以直线 的方程为 ，即 .
2.（2020江西南昌高二月考）已知直线 ： ，若 与 ： 垂直，则 .
答案：
解析： 的方程为 ， 它的斜率为 ， 与 ： 垂直， ，解得 .
评价检测·素养提升
课堂检测
1.方程 表示( )
A.过点(-2,0)的所有直线
B.过点(2,0)的所有直线
C.过点(2,0)且不垂直于 轴的所有直线
D.过点(2,0)且除去 轴的所有直线
答案：
2.过点(-3,2)，倾斜角为 的直线的点斜式方程为( )
A. B.
C. D.
答案：
3.已知直线 过点 且与直线 ： 垂直，则 的点斜式方程为 .
答案：
4.（2021北京昌平新学道临川学校高二期中）求倾斜角为直线 的倾斜角的 ，且分别满足下列条件的直线的方程.
（1）经过点(-4,1)；
（2）在 轴上的截距为-10.
答案：由于直线 的斜率为-1，且倾斜角 ，
所以其倾斜角为 .由题意知所求直线的倾斜角为 ，
故所求直线的斜率 .
（1）由于直线经过点(-4,1)，所以由直线的点斜式方程得 .
（2）因为直线在 轴上的截距为-10，所以由直线的斜截式方程得 .
素养演练
直观想象、逻辑推理、数学运算——平面图形中的有关直线方程的问题
（2021四川眉山彭山一中高二月考）如图，在平行四边形 中，点 ，点 .
（1）求 所在直线的方程；
（2）过点 作 ，交 于点 ，求 所在直线的方程.
答案：（1） 四边形 是平行四边形， ，
所在直线的斜率 ，
所在直线的方程为 .
（2）由（1）知 ， ，
所在直线的斜率 ，
所在直线的方程为 .
素养探究：（1）由已知及题图得 ，求出 ，渗透了直观想象的素养；利用点斜式即可求出 所在直线的方程，渗透了数学运算的素养.（2）根据当两直线垂直时，斜率之间的关系，求出 ，渗透了逻辑推理的素养；利用点斜式即可求出 所在直线的方程，渗透了数学运算的素养.
迁移应用
（2020四川雅安中学高二月考）如图，在 中，点 的坐标为(-1,1)，点 的坐标为(4,6)，点 在 轴上，线段 与 轴相交于点 ，且 .
（1）求直线 的方程（写成斜截式）；
（2）求点 的坐标.
答案：（1） 在 中，点 的坐标为(-1,1)，点 的坐标为(4,6)，
直线 的斜率 ，
直线 的方程为 ，即 .
（2）由（1）知 ， ， ， ，
直线 的方程为 ，令 ，得 ，
点 的坐标为(2,0).
7直线的两点式方程
课标解读 课标要求 素养要求
1.掌握直线的两点式方程和截距式方程. 2.会选择适当的方程形式求直线的方程. 3.能用直线的两点式方程与截距式方程解决有关问题. 1.数学运算——会用直线的两点式方程与截距式方程求直线方程. 2.直观想象——会利用图形理解截距的几何意义.
自主学习·必备知识
教材研习
教材原句
1.两点式的定义：
经过两点 的直线的方程为 ，我们把它叫做直线的两点式方程，简称① 两点式 .
2.截距式的定义：
直线 ： ，我们把直线 与 轴的交点 的横坐标 叫做直线在 轴上的截距，此时直线在 轴上的截距是 .方程 由直线 在两条坐标轴上的截距 与 确定，我们把方程 叫做直线的截距式方程，简称② 截距式 .
自主思考
1.两点式方程与 ， 的顺序有关吗？
提示 无关.
2.若截距相等，则 还成立吗？
提示 不一定成立，截距相等有两种情况.若 ，则直线的方程为 ，故 不成立；若 ，则直线的方程为 ，故 成立.
名师点睛
1.在用两点式求直线的方程时，往往把分式形式 通过交叉相乘转化为整式形式 ，在得到的方程中，包含了 或 的情况，故此转化过程不是一个等价的转化过程，不能忽略由 和 是否相等引起的讨论.若要避免讨论，则可以直接设成两点式的整式形式.
2.直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况，由直线的截距式方程可以直接知道直线在 轴和 轴上的截距，所以在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时，使用截距式非常方便.
互动探究·关键能力
探究点一 利用两点式求直线的方程
精讲精练
例已知 的三个顶点分别为 .
（1）求 所在直线的方程；
（2）求 边上的中线 所在直线的方程；
（3）求经过 和 的中点的直线的方程.
答案：（1）由 ， 可得 所在直线的两点式方程为 ，即 .
（2）设 边上的中点为 ，由中点坐标公式可得 ，所以 所在直线的两点式方程为 ，即 .
（3）易知 的中点的坐标为 的中点的坐标为(-4,2)，
所以所求直线的方程为 ，
即 .
解题感悟
当已知两点的坐标求过这两点的直线的方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件.若满足，则考虑用两点式求方程.
迁移应用
求过 两点的直线 的方程.
答案：①当 时，直线 的方程为 ；
②当 时，直线 的方程为 ，即 .
当 时， 满足上式，
直线 的方程为 .
探究点二 求直线的截距式方程
精讲精练
例（2021四川西昌高二期中）已知直线 过点(1,2)，且在 轴上的截距为在 轴上的截距的两倍，则直线 的方程是( )
A.
B.
C. 或
D. 或
思路分析 设直线 在 轴上的截距为 ，则直线 在 轴上的截距为 ，分情况讨论，利用直线的截距式方程可得结果.
答案：
解析：设直线 在 轴上的截距为 ，则直线 在 轴上的截距为 .
当 时，直线 经过原点，其方程为 ，即 ；
当 时，设直线 的方程为 ，
因为直线 过点(1,2)，
所以代入(1,2)得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
综上，直线 的方程为 或 ，故选C.
变式将本例条件变为在两坐标轴上的截距相等，其他条件不变，如何求解？
答案：当直线 在两坐标轴上的截距都为0时，设直线 的方程为 ，代入(1,2)得 ，
此时直线 的方程为 ；
当直线 在两坐标轴上的截距不为0时，
设直线 的方程为 ，把(1,2)代入得 ，
即 .
综上，所求直线的方程为 或 .
解题感悟
用截距式方程时需要注意以下三点：（1）若问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可.（2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直.（3）要注意截距式方程的逆向应用.
迁移应用
求过点(4,-3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线 的方程.
答案：设直线 在 轴， 轴上的截距分别为 .
①当 时，
设 的方程为 .
点(4,-3)在直线 上，
，
若 ，则 ，
直线 的方程为 .
若 ，则 ，
此时直线 的方程为 .
②当 时，直线过原点，设直线 的方程为 ，
直线过点(4,-3)，
代入(4,-3)得 ，
即直线 的方程为 .
综上，所求直线的方程为 或 或 .
探究点三 截距式方程的应用
精讲精练
例（改编题）宜昌大剧院和宜昌奥体中心将是人们健康生活的最佳场所，若两处在同一平面直角坐标系中对应的点分别为 ， .假设至喜长江大桥所在的直线为 ： .
（1）若 ，现为方便大家出行，计划在至喜长江大桥上的点 处新增一出口通往两地，要使从 处到两地的总路程最短，求点 的坐标；
（2）若 的延长线交直线 于点 ，求直线 与两坐标轴围成的面积的最小值.
思路分析 （1）根据题意，画出平面直角坐标系，求出点 关于 轴的对称点，根据两点之间线段最短，结合直线的方程，即可求解.
（2）写出 所在直线的方程，利用基本不等式求解.
答案：（1）如图，
点 关于 轴的对称点为 ，连接 交 轴于 ，此时从 处到两地的总路程最短，为 ，此时 所在直线的方程为 ，即 .取 ，得 ，所以点 的坐标为 .
（2）由题意知 所在直线的方程为 ，
因为点 在 上，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以 .
解题感悟
求解与直线的方程有关的最值问题，一般先设出直线的方程，建立目标函数，再利用函数的性质、基本不等式求最值.
迁移应用
直线 过点(4,1)，且与 轴、 轴的正半轴分别交于 两点， 为坐标原点，求 面积的最小值.
答案：设直线 的方程为 ，
因为直线 过点(4,1)，所以 .又 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以 .
评价检测·素养提升
1.经过 两点的直线的方程是( )
A. B.
C. D.
答案：
2.若点 在过点 ， 的直线上，则 ( )
A.2B.1C.-1D.-2
答案：
3.过点(-1,1)和(3,9)的直线在 轴上的截距为 .
答案：
4.（2021四川成都为明学校高二月考）已知在 中， ， ， .
（1）求 边所在直线的方程；
（2）求 边上的中线所在直线的方程.
答案：（1）由两点式得 ，即 ，故BC边所在直线的方程是 .
（2）设 的中点为 ，
则 ，所以 ，又 边上的中线过点 ，
所以 ，即 ，
所以 边上的中线所在直线的方程为 .
6直线的一般式方程
课标解读 课标要求 素养要求
1.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系. 2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化. 3.能用直线的一般式方程解决有关问题. 1.数学抽象——根据一般式方程与二元一次方程抽象出两者的关系. 2.逻辑推理——能够通过推理，进行直线的一般式方程与特殊形式的转化.
自主学习·必备知识
教材研习
教材原句
定义：关于 的二元一次方程都表示一条直线，我们把关于 的二元一次方程 （其中 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称 一般式 .
自主思考
当 或 或 时，方程 分别表示什么样的直线？
提示 若 ，则 ，表示与 轴垂直的一条直线；若 ，则 ，表示与 轴垂直的一条直线；若 ，则 ，表示过原点的一条直线.
名师点睛
1.直线的一般式方程的结构特征
（1）方程是关于 的二元一次方程.
（2）方程中等号的左侧自左向右一般按 ，常数的顺序排列.
（3） 的系数一般不为分数和负数.
（4）虽然直线的一般式方程有三个参数，但是只需两个独立的条件即可求得直线的方程.
2.直线的一般式方程与特殊形式的互化
3.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线 ： （ 不同时为0），直线 ： （ 不同时为0）.
（1）若 且 （或 ）.
（2）若 .
4.与已知直线平行和垂直的直线方程的求法
（1）与直线 （ ， 不同时为0）平行的直线的方程可设为 .
（2）与直线 （ ， 不同时为0）垂直的直线的方程可设为 .
互动探究·关键能力
探究点一 求简单的一般式方程
精讲精练
例根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式.
（1）斜率是 ，且经过点 ；
（2）斜率为4，在 轴上的截距为-2；
（3）在 轴上的截距为3，且平行于 轴；
（4）经过 两点；
（5）在 轴上的截距分别是-3、-1.
思路分析 根据已知条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程.
答案：（1）由点斜式方程得 ，即 .
（2）由斜截式方程得 ，即 .
（3）由题意得 ，即 .
（4）由两点式方程得 ，
即 .
（5）由截距式方程得 ，即 .
解题感悟
在求直线方程时，直接求一般式方程有时并不简单，常用的还是先根据给定条件选用特殊形式求方程，然后转化为一般式.
提醒：在利用直线方程的特殊形式时，一定要注意其适用的前提条件.
迁移应用
分别写出符合下列条件的直线方程，并且化成一般式.
（1）经过点(2,-4)，且与直线 平行；
（2）经过点(3,2)，且与直线 垂直.
答案：（1）设与直线 平行的直线的方程为 ，将点(2,-4)代入得 ，所以 .故所求直线的一般式为 .
（2）设与直线 垂直的直线的方程为 ，将点(3,2)代入得 ，解得 .故所求直线的一般式为 .
探究点二 含参数的一般式方程
精讲精练
例设直线 的方程为 .
（1）若 在两坐标轴上的截距相等，求 的方程；
（2）若 不经过第二象限，求实数 的取值范围.
答案：（1）当直线 过原点时，该直线在 轴和 轴上的截距都为零，显然相等，
则 ，
，即 的方程为 ；
当直线 不过原点，即 时，其方程可化为 ，由 在两坐标轴上的截距相等得 ，即 ，
，即 的方程为 .
综上， 的方程为 或 .
（2）将 的方程化为 ，
欲使 不经过第二象限，当且仅当 或
.
综上可知， 的取值范围是 .
变式本例条件不变，试问：直线 恒过哪个定点？
答案：由 整理得 ，
因为 恒成立，所以 解得
所以直线 恒过定点(1,-3).
解题感悟
（1）在已知条件中出现“截距相等”“截距互为相反数”或“一截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考虑，不要漏掉过原点的情况.（2）由直线的一般式方程 （ 不同时为0）求直线在两坐标轴上的截距时，令 ，得纵截距；令 ，得横截距.由两截距的位置可知直线的位置.
迁移应用
设直线 的方程为 ，根据下列条件分别确定 的值.
（1）直线 的斜率为-1；
（2）直线 在 轴， 轴上的截距之和等于0.
答案：（1） 直线 的斜率存在， 直线 的方程可化为 .
由题意得 ，解得 .
（2）直线 的方程可化为 ，由题意得 ，解得 .
探究点三 用一般式方程解决两直线平行或垂直问题
精讲精练
例已知直线 ： 与 ： .
（1）若这两条直线垂直，求 的值；
（2）若这两条直线平行，求 的值.
答案：（1）根据题意得 ，解得 ，
若这两条直线垂直，则 .
（2）根据题意得 ，解得 或 .经检验，均符合题意，
若这两条直线平行，则 或 .
迁移应用
1.（2021山东济宁高二期末）已知直线 与直线 平行，则实数 的值为( )
A. B. C.6 D.-6
答案：
解析：因为直线 与直线 平行，
所以 ，解得 .
2.当直线 ： 与直线 ： 互相垂直时， .
答案：
解析：由题意知直线 ，解得 ，
将 代入方程，均满足题意.故当 或 时， .
评价检测·素养提升
课堂检测
1.如果 表示的直线是 轴，那么系数 ， ， 应满足的条件是( )
A. B. C. 且 D. 且
答案：
解析：易知 轴用方程表示为 ，所以 应满足的条件为 .
2.（2021湖北武汉华科附联考体高二期中）直线 的倾斜角为( )
A. B. C. D.
答案：
解析： 化为斜截式方程为 ，可知该直线的斜率 ，
因为 ，所以 .
3.直线 与直线 互相垂直，则实数 的值为 .
答案：12
解析： 两条直线互相垂直， ，解得 .
4.（2021山西太原高二期中）已知直线 经过点 ，在两坐标轴上的截距相等且不为0.
（1）求直线 的方程（写成一般式）；
（2）若直线 ，且 过点 ，求直线 的方程（写成一般式）.
答案：（1）设直线 的方程为 ，代入点 得 ，
解得 ，所以直线 的方程为 ，即 .
（2）由（1）知直线 的斜率为-1，
由 得直线 的斜率 .又直线 过点 ，
则直线 的方程 ，即 .
素养演练
直观想象、数学运算——在直线方程中的应用
（2021辽宁抚顺高二期末）已知直线 的方向向量为 .
（1）求过点 且倾斜角是直线 的倾斜角的2倍的直线 的斜截式方程；
（2）求过点 且与直线 垂直的直线 的一般式方程.
答案：（1）因为直线 的方向向量为 ，所以直线 的斜率为2.设直线 的倾斜角为 ，则 ，
设直线 的斜率为 ，则 .
因为直线 过点 ，所以直线 的斜截式方程为 .
（2）因为直线 ，所以直线 的斜率为 ，
因为直线 过点 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
所以直线 的一般式方程为 .
素养探究：（1）由直线 的方向向量为 可得直线 的斜率为2，渗透了直观想象的素养；设直线 的倾斜角为 ，则 ，然后利用二倍角的正切公式可求出直线 的斜率，从而可求出直线 的斜截式方程，渗透了数学运算的素养.（2）由题意可得直线 的斜率为 ，从而可求出直线 的方程，渗透了数学运算的素养.
迁移应用
已知 中，点 的坐标为(1,2).
（1）若过点 的中线所在直线的方程为 ，平行于 边的中位线所在直线的方程为 ，求点 的坐标及过点 且与 边平行的直线的方程；
（2）若平行于 边的中位线所在直线的方向向量为 ，求过点 且与该中位线垂直的直线 的方程.
答案：（1）因为过点 的中线所在直线的方程为 ，所以可设 ，
因为 ，所以 的中点的坐标为 ，又该中点在直线 上，
所以 ，解得 ，即 的坐标为(4,6)，
所以过点 且与 边平行的直线的方程为 ，即 .
（2）由已知得中位线所在直线的斜率为-2，所以直线 的斜率为 ，
又该直线过点 ，
所以直线 的方程为 ，
即 .
6两条直线的交点坐标
课标解读 课标要求 素养要求
1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 2.通过两直线的交点和二元一次方程组的联系，认识事物之间的内在的联系. 1.数学抽象——能抽象出两直线交点和二元一次方程组的联系. 2.逻辑推理——能根据方程组的个数判定两条直线的位置关系》
自主学习·必备知识
教材研习
教材原句
已知两条直线 ， ，设这两条直线的交点为 ，则点 既在直线 上，也在直线 上，所以点 的坐标既满足直线 的方程 ，也满足直线 的方程 ，即点 的坐标是方程组 的 解 .解这个方程组就可以得到这两条直线的 交点坐标 .
自主思考
1.若方程组有解，则两直线一定相交吗？
提示 不一定，当方程组有无数组解时，两直线重合；当方程组有一组解时，两直线相交.
2. 若直线 和直线 的交点是 ，则点 在 ， 上吗？由此能求出过 ， 两点的直线的方程吗？
提示 点 在 ， 上，由已知得 且 ，所以 ， 都在直线 上，所以过点 ， 两点的直线的方程是
名师点睛
1.两直线的位置关系
方程组 的解 一组 无数组 无解
直线 与 的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线 与 的位置关系 相交 重合 平行
2.两直线的位置关系与系数的关系
方程组
互动探究·关键能力
探究点一 两直线相交的判定、求交点坐标
精讲精练
例 讨论直线 ， 的位置关系，若相交，则求出交点的坐标.
解析：思路分析 联立方程，分情况讨论即可.
答案： 联立得 .
①当 ，即 时，方程组有无穷多解， 与 重合；
②当 ，即 时，方程组无解， ；
③当 ，即 时，
方程组只有一组解，为 ，此时 与 相交.
综上， 时， 与 重合； 时， ； 且 时， 与 相交，交点的坐标为 .
解题感悟
两直线相交的判定方法：
（1）联立方程，若该方程组有唯一解，则两直线相交；
（2）两直线的斜率都存在且不相等；
（3）两直线的斜率一个存在，另一个不存在.
迁移应用
（2021北京四中高二期中）若直线 与 的交点在第四象限，则 的取值范围为( )
A.(-6,-2)
B.
C.
D.
答案：
解析： 直线 与 的交点在第四象限，
，联立方程得 ，解得 ，
，解得 .
探究点二 两直线相交的应用
精讲精练
类型1 求过交点的直线的方程
例1 求过直线 和 的交点，且斜率为3的直线的方程.
解析：思路分析 先求交点的坐标，再利用点斜式求解.
答案： 联立得 ，解得 ，所以两直线的交点的坐标为(-1,0)，又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为 ，即 .
解题感悟
求过两直线的交点的直线的方程，一般是先解方程组求出交点的坐标，再结合其他条件写出直线的方程.
类型2 根据交点求参数的值或取值范围
例2 （1）若三条直线 ， ， 相交于一点，则 .
（2）直线 与直线 有且只有一个交点，则 的取值范围是 .
答案：（1）-2
（2）
解析：（1）联立得 ，解得 ，即两直线的交点的坐标为(2,-2).
又点(2,-2)也在直线 上，将其代入得 ，解得 .
（2）当两直线 与 平行时， ，
此时方程组 无解，又两直线不重合，所以当方程组有且只有一组解时， .
解题感悟
利用交点求参数的值或取值范围的关键是求交点的坐标，然后根据交点的坐标建立方程求解.
迁移应用
1.若直线 经过原点，且经过两直线 ， 的交点，则直线 的方程为 .
答案：
解析：设所求直线的方程为 ，即 ，
因为 过原点，所以把 ， 代入，解得 ，故所求直线l的方程为 .
2.若两直线 和 的交点在 轴上，则 .
答案：
解析： 在 中，令 ，得 ，将 代入 ，解得 .
3.已知直线 与直线 的交点位于第四象限，则 的取值范围是 .
答案：
解析： 联立得 ，解得 ，
，
.
探究点三 点关于线、线关于线的对称问题
精讲精练
例 过点 的光线在直线 上反射后的反射光线经过点 ，试求入射光线和反射光线所在直线的方程.
思路分析 先求点关于直线 的对称点，再由点斜式求直线的方程.
答案： 设点 关于直线 的对称点为 ，则 ，
解得 ，所以 .
因为反射光线经过点 和 ，
所以反射光线所在直线的方程为 ，即 .
联立得 ，解得 ，
所以反射点的坐标为 ，
所以入射光线所在直线的方程为 .
综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为 ， .
解题感悟
（1）点关于直线的对称问题，一般是利用垂直关系与中点在直线上，建立方程组求解.
（2）求直线 关于直线 对称的直线 的方程的方法是转化为点关于直线对称，在 上任取两点 和 ，求出 ， 关于直线 的对称点，再用两点式或点斜式求出 的方程.
迁移应用
1.已知直线 与直线 关于直线 对称，则直线 的方程为( )
A. B.
C. D.
答案：
评价检测·素养提升
1.下列各直线中，与直线 相交的是( )
A. B.
C. D.
答案：
解析：直线 的斜率为2，D选项中的直线的斜率为-2，两直线相交，故D正确.
2.（2021 北京新学道临川学校高二期中）直线 和直线 的交点的坐标是( )
A.(-2,-1)，B.(-1,-2)
C.(1,2)D.(2,1)
答案：
解析：联立得 ，解得 ，
所以直线 和直线 的交点的坐标是(-1,-2).
3.已知直线 与直线 垂直，且相交于点 ，则 .
答案： -9
解析：由两直线垂直得 ，解得 .又点 在两直线上，所以 ， ，所以 ， ，所以 .
4.已知直线 ， 相交于点 .
（1）求点 的坐标；
（2）求过点 且与直线 垂直的直线 的方程.
答案：（1）联立得 ，解得 ， 两直线的交点 的坐标为(-2,2).
（2）直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为-2，故所求的直线的方程为 ，即 .
5两点间的距离公式
课外解读 课标要求 素养要求
1.探索并掌握平面上两点间的距离公式. 2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题. 1.数学抽象——从具体实例中抽象出平面上两点间的公式. 2.逻辑推理——会推导平面上两点间的距离公式. 3.数学运算——会求出两点间的距离.
自主学习·必备知识
教材研习
教材原句
1.两点间的距离公式：
两点间的距离公式为 .
2. 利用“ 坐标法 ”解决平面几何问题的基本步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量.
第二步：进行有关代数运算.
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
自主思考
1.已知点 ，点 ， ，则 、 两点间的距离是多少？
提示 .
2.在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点 ，以方便居住在两个小区的住户的出行，如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？这个最小值如何求？
提示 采用坐标法，以公路为 轴，建立平面直角坐标系，如图，
， 是两个小区，作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则公交站点 设置在 时， 到两个小区的距离之和最小，写出 ， 的坐标，求出 的坐标，利用两点间的距离公式求解.
名师点睛
1.用两点间的距离公式时需要注意以下几点
（1）此公式与两点的先后顺序无关，也就是说，公式也可写成 .
（2）当直线 平行于 轴时， .
（3）当直线 平行于 轴时， .
2.用坐标法解决平面几何问题时，关键是结合图形的特征，建立适当的平面直角坐标系.
互动探究·关键能力
探究点一 求两点间的距离
精讲精练
例（1）求直线 与两坐标轴的交点之间的距离；
（2）求直线 被两条平行直线 和 截得的线段的长.
答案： （1）易知直线 与 轴的交点为(-1,0)，与 轴的交点为 ，
两交点之间的距离 .
（2）联立得 ，得交点坐标为(1,1)，联立得 ，得交点坐标为(2,2)，
所求线段的长为 .
解题感悟
两点间的距离公式适用于任意两点 ，但对于特殊情况结合图形求解会更便捷.
迁移应用
已知两点 和 ，则 .
答案：
解析：
探究点二 两点间距离公式的应用
精讲精练
类型1 求参数
例1 已知点 ， ， ，且 ，则 的值是( )
A.-2B.2
C. D.
解析：思路分析 根据平面直角坐标系上任意两点间的距离公式计算即可.
答案：
解析：因为点 ， ， ，且 ，
所以 ，解得 ，故选C.
解题感悟
已知距离求参数，一般通过两点间的距离公式建立方程求解，但是求出的值需要检验.
类型2 判断三角形的形状
例2 已知点 ， （(-4,-3)， ，求证： 是等腰三角形.
思路分析 根据已知条件及两点间的距离公式分别求出 ， ， 的值，得出 ，再由 ， ， 三点不共线，即可证明 是等腰三角形.
答案：证明 ， ， ，
，
，
，
，
又 ， ，
， ， 三点不共线，
是等腰三角形.
解题感悟
判断三角形的形状，先根据两点间的距离公式分别求出三边的长，再结合三角形的性质判断.
迁移应用
1.已知点 与点 之间的距离为 ，则 的值为 .
答案： 9或-5
解析： 由题意得 ，即 ，解得 ， .故x的值为9或-5.
2.已知 的顶点为 ， ， .
（1）求 边上的高 所在直线的方程；
（2）证明： 为等腰直角三角形.
答案：（1） 直线 的斜率 ，
边上的高 所在直线的斜率 ，
边上的高 所在直线的方程为 ，
即 .
（2）证明： ， ， ，
，且 ，
为等腰直角三角形.
探究点三 坐标法的应用
精讲精练
例 在 中， 是 边上的中线，用坐标法求证： .
答案：证明 以 的中点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图，
则 ，设 ， ， ，其中 ，
则 ， ，故 .
解题感悟
用坐标法证明平面几何问题的注意事项：
（1）用坐标法证明平面几何问题时，首先要根据题设条件建立适当的平面直角坐标系，然后根据题中所给的条件，设出已知点的坐标；
（2）根据题设条件及几何性质推出未知点的坐标；
（3）在证明过程中要不失一般性.
迁移应用
1.用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等.
答案：证明 建立如图所示的平面直角坐标系，
设 ，则 的中点 的坐标为 .
，
，
，
，
即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等.
2.如图， 和 是在直线 同侧的两个等边三角形.用坐标法证明： .
答案：证明 以点 为坐标原点， 所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设 和 的边长分别为 和 ，
则 ， ， ， ，
，
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.已知点 在 轴上，点 在 轴上，线段 的中点 的坐标是(3,4)，则线段 的长为( )
A.10B.5C.8D.6
答案：
解析：设 ， ，则 ， ，即 ， ，所以 .
2.到 ， 两点的距离相等的动点 的轨迹方程是 .
答案：
解析：设 ，则 ，即 .
3.已知点 ， ， 是以 为底边的等腰三角形，点 在直线 上.
（1）求 边上的高 所在直线的方程；
（2）求 的面积.
答案：（1）由题意可知， 为 的中点， ，所以 ， ，
所以 所在直线的方程为 ，即 .
（2）联立得 ，解得 ，
所以 .
因为 ，且由（1）知 ，
所以 ，
，
所以 .
素养演练
直观想象、逻辑推理——在解决距离最值问题中的应用
设直线 ，其中 ， 是点 到直线 上任意一点的距离，试问： 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
答案： 将直线 的方程变形为 ，
对于 ，此方程恒成立，则 ，解得 ，
即直线 恒过直线 和直线 的交点 .
由图可知，对于任何一条过点 的直线上的一点，点 到它的距离不超过 ，
因为过点 且垂直于 的直线的方程是 ，且无论 取任何实数，直线 都不能表示为 ，
所以 ，
所以 不存在最大值.
素养探究：根据直线 只含一个参数，可以将其方程以参数 进行整理，然后运用恒等式，求出定点 ，渗透了逻辑推理的素养;结合图形得 ，再探究是否存在最大值，渗透了直观想象的素养.
迁移应用
（2021重庆高二月考）已知 ， ，点 为直线 上的一个动点，则 的最小值为 .
答案：
解析： 由题意知A、 两点在直线 的同侧.
设 关于直线 的对称点 的坐标为 ，
则 ，解得 ， ，
关于直线 的对称点 的坐标为(-1,-2)，故当点C为直线 和直线 的交点时， 取得最小值，为 .
7点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离
课标解读 课标要求 素养要求
1.会用向量推导点到直线的距离公式. 2.探索并掌握点到直线的距离公式，能用点到直线的距离公式解决有关的距离问题. 3.会求两条平行直线间的距离. 1.数学抽象——能理解点到直线的距离公式. 2.逻辑推理——能推导出点到直线的距离公式. 3.直观想象——能够直观想象几何中的距离问题.
自主学习·必备知识
教材研习
教材原句
1.点到直线的距离公式：
点 到直线 的距离，就是从点 到直线 的垂线段 的长度，其中 是垂足.因此，点 到直线 ： 的距离 .
2.两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.求两条平行直线间的距离可转化为求点到直线的距离.
自主思考
1.点 到直线 的距离是多少？能用点到直线的距离公式求解吗？
提示 如图，易知点 到直线 的距离为 .
能用，由已知得直线为 ，所以 .
2.找出下图中的公垂线段，并结合图形说明什么是公垂线段.
提示 ，公垂线段就是和两条平行直线都垂直、相交的线段.
名师点睛
1.用点到直线的距离公式时应注意以下两点
（1）直线的方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式.
（2）当点 在直线 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用.
2.几种点到特殊直线的距离
（1）点 到 轴的距离 ；
（2）点 到 轴的距离 ；
（3）点 到直线 的距离 ；
（4）点 到直线 的距离 .
3.求两条平行直线间的距离的两种思路
（1）利用“化归”法将两条平行直线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
（2）直接利用两条平行直线间的距离公式，当直线 ： ， ： ，且 时， ；当直线 ： ， ： ，且 时， .
互动探究·关键能力
探究点一 求点到直线的距离
精讲精练
例（1）（2021广东佛山一中高二期中）已知 ，则点 到直线 的距离为( )
A. B. C. D.
（2）（原创题）点 到直线 的距离为 .
思路分析 （1）先利用题中所给的点 求出直线 的方程，再利用点到直线的距离公式求得结果；（2）先把直线方程变为一般式，再根据点到直线的距离公式直接求解即可.
答案：（1） （2）5
解析：（1）易知直线 的斜率 ，故直线 的方程为 ，
即 ，
所以点 到直线 的距离为 ，故选B.
（2）由已知得 ，
所以点 到直线 的距离为 .
变式把本例（2）改为求点 到直线 的距离的最大值.
答案：点 到直线 的距离
，
所以当 时， .
故所求距离的最大值为 .
解题感悟
点到直线距离的求解方法：
（1）求点到直线的距离，首先要把直线方程化成一般式，然后利用点到直线的距离公式求解；（2）求距离的最值常用函数的性质或基本不等式求解.
迁移应用
（2021黑龙江哈尔滨师大附中高二开学考）已知 的顶点为 ， 边上的中线 所在直线的方程为 ， 边上的高 所在直线的方程为 .
（1）求顶点 ， 的坐标；
（2）求 的面积.
答案：（1）设点 （ ），则点 ，
由已知得
故点B的坐标为(-1,-3).
设 ，由已知得
则点 的坐标为(4,3).
（2）由（1）知 、 ，
，
且 ，
直线 的方程为 ，即 ，
边上的高 ，
故 .
探究点二 点到直线的距离公式的应用
精讲精练
类型1 求参数的值或取值范围
例1（1）（2021山东德州夏津一中高二月考）已知点 到直线 ： 的距离为 ，则 .
（2）已知点 到直线 的距离不大于3，则 的取值范围是 .
答案：（1） （2）
解析：（1）由点到直线的距离公式得 ，解得 .
（2）点 到直线 的距离为 .
又 ，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
解题感悟
求参数的值或取值范围的方法：利用点到直线的距离公式建立关于参数的方程（组）或不等式，通过解方程（组）或不等式求解.
类型2 求直线的方程
例2（2021福建厦门二中高二月考）已知直线 恒过定点 .若直线 经过点 ，且坐标原点到 的距离等于2，求 的方程.
答案：易知直线 恒过定点 ，因为直线 经过点 ，所以当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，又坐标原点到直线 的距离等于2，所以 成立.
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
则坐标原点(0,0)到直线 的距离 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
综上，直线 的方程为 或 .
解题感悟
求直线方程的问题，先巧设直线的方程，再利用点到直线的距离公式建立方程求解，但要注意讨论斜率是否存在.
迁移应用
1.点 到直线 的距离大于3，则实数 的取值范围为 ( )
A. B.
C. 或 D. 或
答案：
解析：根据题意得 ，即 ，解得 或 ，故选C.
2.过点 ，且与点 ， 的距离相等的直线的方程是( )
A. B.
C. 或 D. 或
答案：
解析：由题意得满足条件的直线的斜率存在，所以可设所求直线的方程为 ，
即 ，因为该直线与点 ， 的距离相等，
所以 ，所以 ，
所以 或 ，
所以所求直线的方程为 或 .
3.若点 到直线 的距离等于4，则 的值为 .
答案：2或
解析：由题意得 或 .
探究点三 两条平行直线间的距离
精讲精练
例已知两条平行直线 ： 与直线 ： ，求 与 间的距离.
思路分析 先根据两条直线平行求出 的方程，再根据两平行直线间的距离公式求解，也可以转化为点到直线的距离求解.
答案：解法一：因为 ，所以 ，解得 ，所以 的方程为 ，根据题意把 的方程化为 ，
所以 与 间的距离 .
解法二：由解法一知 的方程为 ，在直线 ： 上取点(1,0)，
则 与 间的距离 .
解题感悟
求两条平行直线间的距离的方法：（1）直接利用两条平行直线间的距离公式；（2）若转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，则取点一般要特殊化，如直线与坐标轴的交点，坐标为整点.
迁移应用
1.直线 与直线 的距离为 ，则 的值为 .
答案：-9或11
解析：由两条平行直线间的距离公式得 ，解得 或 .
2.（2021山东济南高二期末改编）已知动点 在直线 ： 上运动，动点 在直线 ： 上运动，且 ，则 的最小值为 .
答案：
解析：因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ： ，设 间的距离为 ，则 ，
由平行线的性质知 的最小值为 .
评价检测·素养提升
课堂检测
1.点 到直线 ： 的距离是( )
A.3B. C.1D.
答案：
解析：点 到直线 的距离 ，选B.
2.直线 与直线 的距离为( )
A. B. C. D.
答案：
解析： 可变形为 ，则两直线平行， 两直线间的距离 .
3.两直线 和 平行，则它们之间的距离为 .
答案：
解析：由题意得 ，将 变形为 ，
由两条平行直线间的距离公式得距离 .
4.已知直线 在两坐标轴上的截距相等且不为零，点 到直线 的距离为 ，求直线 的方程.
答案：设所求直线 的方程为 .
由题意知 ，解得 或 ，
所以所求直线 的方程为 或 .
素养演练
直观想象、数学运算——在平面图形面积问题中的应用
（2021四川成都石室中学高二月考）如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形 的长为3，宽为2，边 分别在 轴， 轴的正半轴上，点 与坐标原点重合.将该矩形折叠，使点 落在线段 上，已知折痕 所在直线的斜率为 .
（1）求折痕 所在直线的方程；
（2）若点 为 的中点，求 的面积.
答案：（1）设折痕 所在直线的方程为 ，折叠后点 落在线段 上的点 处，其中 ，连接 交 于点 ，则 ，
解得 折痕 所在直线的方程为 .
（2）由（1）知，折痕 所在直线的方程为 ，
，
.
点 为 的中点， ，
点 到折痕 的距离 ，
的面积 .
素养探究：（1）设折痕 所在直线的方程，折叠后点 落在线段 上的点 处，其中 ，由折痕垂直平分 可列出关于 和 的方程组求解，渗透了直观想象、数学运算的素养.（2）由两点间的距离公式求得线段 的长，再由点到直线的距离公式求得点 到折痕 的距离 ，最后代入面积公式 计算即可，渗透了数学运算的素养.
迁移应用
（2021北京八一学校高二期中）已知平行四边形 的两条对角线 交于点 ，其中 ， .
（1）求点 的坐标及 所在直线的方程；
（2）求平行四边形 的面积.
答案：（1）设 ，由题意可得 是 的中点，
解得 ，
则点 的坐标为 ，
所在直线的方程为 ，即 .
（2）由（1）及题意可得 ，
点 到直线 的距离为 ，
平行四边形 的面积为 .
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