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第一讲 等腰三角形
【学习目标】
1. 通过对折等腰三角形纸片,发现并理解等腰三角形性质
2. 会用等腰三角形和等边三角形的性质解决问题.
3.掌握并运用等腰三角形关联的几个几何模型
【知识总结】
一、等腰三角形
(1)概念：有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两边叫腰，另一条边叫底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)理解：①等腰三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是180°，两边之和大于第三边等．②等腰三角形是轴对称图形，这既是等腰三角形的特点也是研究它的重要方法．
破疑点 等腰三角形有关概念的认识　(1 ( http: / / www.21cnjy.com ))对于等腰三角形问题，我们说角或边时，一般都要指明是顶角还是底角，是底边还是腰，没说明则都有可能，要讨论解决，这是解决等腰三角形最容易忽视和错误的地方；(2)等腰三角形顶角可以是直角，是钝角或锐角，而底角只能是锐角．21教育网
二、等腰三角形性质1
(1)性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．
(2)理解：这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相等常用的方法，它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便．21·世纪*教育网
(3)适用条件：必须在同一个三角形中．
(4)应用模式：在△ABC中，因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.
三、等腰三角形性质2
(1)性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．习惯上称作等腰三角形“三线合一”性质．【来源：21cnj*y.co*m】
(2)含义：这是等腰三角形所特有 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质，它实际上是一组定理，应用过程中，只要是在等腰三角形前提下，知道是其中“一线”，就可以说明是其他的“两线”，性质中包含有线段相等、角相等、垂直等关系，所以应用非常广泛．21教育名师原创作品
(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．
(4)应用模式：如图，在△ABC中，
( http: / / www.21cnjy.com / )
①∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC(或BD=CD)；
②∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；
③∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝DC(或AD⊥BC)．
解技巧 “三线合一”的应用　因为 ( http: / / www.21cnjy.com )题目的证明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”性质实际的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应用要灵活．21*cnjy*com
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四、等腰三角形的判定
(1)判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．
(2)与性质的关系：判定定理与性质定理是互逆的，性质：→；
判定：→.
(3)理解：性质和判定应用的前提都是在同一三角形中，并且不经过三角形全等的证明，直接由等边得等角或由等角得等边，所以应用起来更简单、便捷．
破疑点 等腰三角形的判定方法的理解
教材中涉及等腰三角形的判定方 ( http: / / www.21cnjy.com )法主要有两种：一是判定定理；二是定义．另外还有很多方法，如在同一个三角形中，三线中两线重合，也能说明是等腰三角形．但不常用，一般是通过推理得出角相等或边相等，再得出是等腰三角形．
五、等边三角形的概念和性质
(1)等边三角形
①概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
②认识：它是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质．
(2)性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
(3)拓展：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它三边相等，三个内角相等，各边上的高、中线，对应的角平分线重合，且长度相等．
等边三角形的判定
(1)判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
(2)判定方法：等边三角形的判定方法有三种：一是定义，另运用两个定理．
(3)拓展理解：对于判定定理①，有时候在一个三角形中只要有两个角是60°也可判定是等边三角形．
解技巧 巧用条件证明等边三角形　在证明 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形是等边三角形时，根据所给已知条件确定选择用哪个方法证明．若已知三边关系，一般选定义法；若已知三角关系，一般选判定定理①；若已知该三角形是等腰三角形，则选判定定理②.
六、含30°角的直角三角形的性质
(1)性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
(2)应用模式：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB.
(3)理解：①该性质是含有30°角的特殊 ( http: / / www.21cnjy.com )的直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质，更不能应用；②这个性质主要应用于计算或证明线段的倍数关系；③该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
解技巧 巧用含30°角的直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形的性质　在有些题目中，若给出的角是15°角时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两内角和将15°的角转化为30°的角后，再利用这个性质解决问题．
【典型例题】
【类型】一、等腰三角形中有关度数的计算题
例1．（2020·湖北武汉市·八年级期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD是平分线，若BD＝BC，则∠A的度数为_____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】36°
【分析】由等腰三角形的性质得出∠C＝∠B ( http: / / www.21cnjy.com )DC，由角平分线的性质得出∠ABD＝∠CBD，得出∠C＝∠BDC＝2∠A，由三角形内角和定理则可求出答案．
解：∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠C＝∠BDC＝2∠A，
又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A+2∠C＝180°，
把∠C＝2∠A代入等式，得∠A+2×2∠A＝180°，
解得∠A＝36°．
故答案为：36°．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．2·1·c·n·j·y
【训练】如图，△ABC≌△ ( http: / / www.21cnjy.com )A'B'C，点B'在边AB上，线段A'B'与AC交于点D，若∠A＝40°，∠B＝60°，则∠A'CB的度数为_____．www-2-1-cnjy-com
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【答案】140°
【分析】根据全等三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )得到∠A′＝∠A＝40°，∠A′B′C＝∠B＝60°，CB＝CB′，根据三角形内角和定理求出∠A′CB′＝80°，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出∠BCB′＝60°，根据角的和差关系计算即可结果．2-1-c-n-j-y
解：∵△ABC≌△A′B′C，
∴∠A′＝∠A＝40°，∠A′B′C＝∠B＝60°，CB＝CB′，
∴∠A′CB′＝80°，
∴∠BB′C＝∠B＝60°，
∴∠BCB′＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠A′CB＝∠A′CB′+∠BCB′＝140°．
故答案为：140°．
【总结升华】本题考查的是全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．21·cn·jy·com
【类型】二、等腰三角形中的分类讨论
例2．（2020·隆昌市知行中学八年级月考）已知在中，，其中一内角为，则其底角的角度为___
【答案】50°或65°
【分析】根据题意，为等腰三角形，其中一内角为，则分两种情况考虑，顶角为或底角为即可得出最终结果．
【详解】如图1所示，，，
则其底角的角度为50°；
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图2所示，，，
，
则其底角的角度为65°．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故答案为：50°或65°．
【总结升华】本题考查等腰三角形，属于基础题，熟练掌握等腰三角形的性质是解决本题的关键．
【训练】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角的度数为_________．
【答案】50°或130°
【分析】分类讨论当三角形是等腰锐角三角形和等腰钝角三角形两种情况，画出图形并结合三角形的内角和定理及三角形外角的性质，即可求出顶角的大小．www.21-cn-jy.com
【详解】
（1）当三角形是锐角三角形时，如下图．
根据题意可知，
∵三角形内角和是，
∴在中，
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（2）当三角形是锐角三角形时，如下图．
根据题意可知,
同理，在中，
∵是的外角，
∴
( http: / / www.21cnjy.com / )
故答案为或
【总结升华】本题考察了等 ( http: / / www.21cnjy.com )腰三角形性质和三角形外角的性质以及三角形内角和定理的运用，分类讨论该等腰三角形是等腰锐角三角形或等腰钝角三角形是本题的关键．
例3．（2020·莆田砺志学校八年级月考）如果一个等腰三角形的周长为17，一边长为5，那么腰长为_____．
【答案】5或6
【分析】
此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．21*cnjy*com
解：当5是等腰三角形的底边时，则其腰长是 ( http: / / www.21cnjy.com )（17-5）÷2=6，能够组成三角形；
当5是等腰三角形的腰时，则其底边是17-5×2=7，能够组成三角形．
所以，该等腰三角形的腰长为：5或6．
故答案为：5或6．
【总结升华】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【训练】等腰三角形一边长为8，另一边长为3，则此三角形的周长为______．
【答案】19
解：可以分两种情况：
（1）腰为3，底为8，则三角形三边为3，3，8，
∵3+3<8，∴此种情况三角形不存在；
（2）腰为8，底为3，则三角形三边为8，8，3，
∵3+8>8，∴此种情况三角形存在，且周长为8+8+3=19，
故答案为19．
【总结升华】本题考查等腰三角形的应用，对于等腰三角形的边，注意区分是腰还是底且根据三角形三边关系判断三角形是否存在是不可或缺的步骤．
【训练】如图，在中，，，是线段上的动点（不含端点、），若线段的长是正整数，则点的个数共有______个．
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【答案】3
【分析】首先过A作AE⊥BC ( http: / / www.21cnjy.com )，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．
解：过A作AE⊥BC，
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∵AB=AC，
∴EC=BE=BC=4，
∴AE==3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∴AD=3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故答案为：3．
【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出AD的最小值，然后求出AD的取值范围．
【类型】三、等腰三角形性质和判定综合应用
例4、已知：如图，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF
并延长交AC于点E，∠BAD＝∠FCD．
求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．
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【思路点拨】此题由等腰三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )知AD＝DC，易证△ABD≌△CFD，要证BE⊥AC，只需证∠BEC＝90°即可，DF＝BD，可知∠FBD＝45°，由已知∠ACD＝45°，可知∠BEC＝90°.【出处：21教育名师】
证明：(1) ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝∠FDB＝90°.
∵ ，
∴
∴ AD＝CD
∵ ，
∴ △ABD≌△CFD
(2)∵△ABD≌△CFD
∴ BD＝FD.
∵ ∠FDB＝90°，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ BE⊥AC．
【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理 ( http: / / www.21cnjy.com )及性质，垂直的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证△ABD≌△CFD，推出BD=FD，求出∠FBD=∠BFD=45°．21世纪教育网版权所有
【训练】如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．【版权所有：21教育】
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（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
【思路点拨】
（1）①根据平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC，等量代换得到∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB=AD；②根据平行线的性质得到∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，等量代换得到AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠ADC，求得∠ACD=∠DCE，即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，由∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，即可得到结论．
（1）证明：平分
∴∠ABD=∠DBC
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠ADB，
；
②，
平分
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（2）
理由：∵CD、BD分别平分∠ACE，∠ABE，
，∠DBC=∠ABC，
又
又∵∠BDC+∠DBC=∠DCE
∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，
∴．
【总结升华】本题考查三角形的外角性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和三角形的外角性质是解题的关键．21cnjy.com
全等三角形的判定等知识点．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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