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16.1 二次根式
【学习目标】
1、认知二次根式的概念，掌握被开方数是非负数的原因.
2、掌握三个重要的结论： ≥0，（≥0），（≥0），（≥0），利用它们进行计算和化简．
【知识总结】
一、二次根式及代数式的概念
1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
【注】：
　　二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.21世纪教育网版权所有
2.代数式：形如2，a，p-q，m n，，x3，这些式子，用基本的运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.21cnjy.com
二、二次根式的性质
1.≥0，（≥0）；
2. （≥0）；
3..
【注】：
1.二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，
即.
2.与要注意区别与联系：
1).的取值范围不同，中≥0，中为任意值。
2).≥0时，==；<0时，无意义，=.
【典型例题】
【类型】一、二次根式的概念
例1．当a为实数时，下列各式、、、、、是二次根式的有多少个（ ）21·cn·jy·com
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【详解】解：∵，，，，
∴、、、四个是二次根式，
因为是实数时，、不能保证是非负数，因此与不是二次根式，
故选：B.
【总结升华】本题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．
【训练】下列各式中：①；②；③；④；⑤，一定是二次根式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义，被开方数≥0，进行分析解答．
【详解】
①，须满足，故不符合题意；②，被开方数＞0，故符合题意；
③，被开方数＞0，故符合题意；④被开方数≥0，故符合题意；
⑤，须满足，故不符合题意；
故选C．
【总结升华】本题考查二次根式的定义，熟练掌握被开方数的非负性是关键．
例2.若有意义，则x的取值范围是（）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再根据分式有意义的条件可得，再解即可．
【详解】由题意得：，且，
解得：且，
故选：D．
【总结升华】此题主要考查了二次根式和分式有意义条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．21教育网
【训练】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B.
【类型】二、二次根式的性质
例3.若，则实数x满足的条件是（ ）
A．x=2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质即可得出，由此得解．
【详解】∵，
∴，即．
故选：D．
【总结升华】本题考查二次根式的性质．熟记二次根式的性质是解题关键．
【训练】（1）=_____________.
（2）=_____________.
【答案】(1) 10;(2) 0.
例4.实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（　　）
A．7 B．-7 C． D．无法确定
【答案】A
【分析】
先根据点a在数轴上的位置判断出及的符号，再把原式进行化简即可．
【详解】
解：∵由图可知，5＜a＜10，
∴，，
∴原式，
故选：A．
【总结升华】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意得出的取值范围是解答此题的关键．
【训练】等式成立的条件是 （ ）
A．x≥1 B．x≥﹣1 C．﹣1≤x≤1 D．x≥1或x≤﹣1
【答案】A
【解析】
∵等式成立，
∴ ，解得
故选A.
【总结升华】成立的条件是：且.
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