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从动和静两个角度看三角形中四“心”的向量表示
1、三角形重心：三角形三条边上中线的交点。
（1）性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。
（2）三角形中线向量式：
（3）重心的向量表达式：设G是 ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下常用结论：
①
②
③
④
⑤则一定经过三角形重心
（4）重心的坐标运算：
设G是 ABC的重心，则的坐标为
2、三角形垂心：是三角形三边上的高的交点。
（1）性质：锐角三角形的垂心在三角形内；
直角三角形的垂心在直角顶点上；
钝角三角形的垂心在三角形外。
（2）垂心的向量式：H是 ABC的垂心,则有以下结论：
①
②
3、三角形外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)
（1）性质：到三角形三个顶点的距离相等
（2）外心的向量式：O是 ABC的外心，则有以下结论：
①
②
4、三角形内心：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
（1）性质：①三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
②
③在Rt△ABC中，∠C=90°，
（2）内心的向量式：
内心的预备知识:
问题：1、的几何意义？
2、的几何意义？
3、的几何意义？
P是 ABC的内心，则有以下结论：
①
②
四心的相互关系:
1.三角形外心与垂心的向量关系及应用:
设的外心为O ，则点H为的垂心的充要条件是
2.三角形外心与重心的向量关系及应用:
设的外心为O ，则点G为的重心的充要条件是
3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用：
设的外心、重心、垂心分别为O、G、H ，则O、G、H三点共线，且
一、从静止的角度看三角形的四“心”
已知是所在平面上一点，若，则是的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
已知是所在平面上一点，若，
则是的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
已知是所在平面上一点，若，
则是的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
4、已知是所在平面上一点，若为角所对的边，若
，则是的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
二、从运动的角度看三角形的四“心”
1、已知点是平面上一个定点，是平面内不共线三点，动点满足
，则动点一定通过的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
2、已知点是平面上一个定点，是平面内不共线三点，动点满足
，则动点一定通过的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
3、已知点是平面上一个定点，是平面内不共线三点，动点满足
，则动点一定通过的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
4、已知点是平面上一个定点，是平面内不共线三点，动点满足
，则动点一定通过的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
a
c
b

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