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高效复习10等差数列
一．等差数列的有关概念
1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
2.等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．
二．等差数列的有关公式
1.通项公式：an＝a1＋(n－1)d 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
2.前n项和公式：Sn＝na1＋d＝．
三．等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．
1.若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．
2.等差数列的增减性与最值
（1）公差d>0时为递增数列，且当a1<0时，前n项和Sn有最小值；
（2）公差d<0时为递减数列，且当a1>0时，前n项和Sn有最大值．
四．判定数列{an}是等差数列的常用方法
1.定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一个常数．
2.等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.
3.通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数．
4.前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0.
考点一 等差数列基本运算
【例1】（1）（2021·新疆昌吉）已知等差数列，若，，则（ ）
A．1 B． C． D．3
（2）（2021·重庆·高三阶段练习）在等差数列中，，，则98是的（ ）
A．第31项 B．第32项
C．第33项 D．第34项
（3）（2021·广东汕头·高三期末）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）C（3）D
【解析】（1）设等差数列的公差为，
因为，，所以，解得.故选：C.
（2）∵公差，∴由，得.故选：C.
（3）设等差数列的公差为，由题知，解得，
所以，，，
则，.故选：D.
考点二 等差中项
【例2】（1）（2021·上海市）已知数列为等差数列，且，则_________.
（2）（2021·贵溪市实验中学）在等差数列中，若，则______.
【答案】（1）-12（2）2020
【解析】（1）由等差数列的性质，得.故答案为：.
（2）由等差中项的性质可得，可得，
因此，.故答案为：.
考点三 等差数列的前n项和
【例3-1】（2021·陕西临渭·一模）已知数列为等差数列，其前项和为，若，则（ ）
A．12 B．6 C．4 D．3
【答案】B
【解析】因为数列为等差数列，所以，
所以.故选：B.
【例3-2】．（2021·山西太原·高三期中）已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．15 B．23 C．28 D．30
【答案】D
【解析】由等差数列片段和的性质：成等差数列，
∴，可得，同理可得，
∴，可得.故选：D
【例3-3】．（2021·云南·二模（理））已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，故选：A
【例3-4】（2021·宁夏·贺兰县景博中学高三期中（文））设等差数列的前项和为，若，，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．16
【答案】B
【解析】因为，所以，即所以故选：B
【例3-5】．（2021·新疆·昌吉州回民中学高三阶段练习（理））在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】数列为等差数列，数列为等差数列，设其公差为，
又，解得：，又，，.
故选：B.
考点四 单调性和最值
【例4-1】（2021·上海市进才中学高三阶段练习）在等差数列中，，则其前n项和最小时，n的值为_____________．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，由得，，解得，
所以，所以时，取得最小值，
故答案为：
【例4-2】．（2021·广东广州·高三阶段练习）已知是等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，又，所以，所以的最小值为.故选：C.
考点六 等差数列的定义
【例6-1】（2021·浙江·高三专题练习）数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列（ ）
A．是公差为－3的等差数列 B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列
【答案】A
【解析】因为，所以数列{an}是以为公差的等差数列故选：A.
【例6-2】（2021·河南洛阳）已知正项数列满足：，，.证明：是等差数列并求数列的通项公式；
【答案】证明见解析，.
【解析】由得：，
，则.
1．（2021·贵州·高三阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设的公差为，因为，所以，又，所以，从而，
故，故选：B.
2．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校）已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，则d＝（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【解析】由，得，解得.故选：B.
3．（2021·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）在数列中，若为等差数列，则（ ）
A． B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】由为等差数列，则，解得故选：A.
4．（2021·广西·南宁三中高三阶段练习（理））已知数列是单调递减的等差数列，、分别是方程的两根，则（ ）
A．7 B．3 C．1 D．
【答案】D
【解析】求方程的，，由于数列为递减数列，所以，，易得，，．故选：D
5．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知等差数列中，首项，前5项和，则（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
【答案】C
【解析】设的公差为d.由题意可知，解得，所以.
故选：C
6．（2021·新疆昌吉·模拟预测（文））等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．11 B．7 C．9 D．12
【答案】C
【解析】由题意，根据等差数列的性质，，，
故，.故选：C.
7．（2021·黑龙江·铁人中学高三阶段练习（文））在等差数列中，，表示数列的前项和，则（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
【答案】C
【解析】由等差数列中，满足，根据等差数列的性质，可得，所以，则.故选：C.
8．（2021·重庆·模拟预测）在等差数列中，，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】等差数列中,,，由通项公式可得
解得 故选：A
9．（2021·湖北·孝感高中高三阶段练习）已知数列 是等差数列， 是其前 项和， 若 ， 则数列 的公差是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为数列 是等差数列，所以，解得，
则，解得.故选：B
10．（2021·陕西·长安一中高三阶段练习（理））设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，可得，因此，.
故选：B.
11．（2021·河南）设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．20 B．35 C．45 D．63
【答案】D
【解析】依题意，数列是等差数列，所以，所以，所以，故选：D．
12（2021·广西桂林·模拟预测（理））等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．88 B．48 C．96 D．176
【答案】A
【解析】由等差数列的性质得，，解得，所以，
故选：A.
13．（2021·宁夏·中卫一中）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．49 B．42 C．35 D．24
【答案】B
【解析】由，得：，即，即，所以
故选：B.
14．（2021·安徽·合肥一中）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．28 B．34
C．40 D．44
【答案】D
【解析】在等差数列中，，又，所以，又.
故选：D.
15（2021·福建·龙岩市第一中学锦山学校）已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Sn′，如果 (n∈N*)，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由等差数列前n项和的性质，且，可得＝＝＝.故选：C.
16．（2021·全国·高三专题练习）已知数列{an}是等差数列，若a1+a2+a3=1，a4+a5+a6=3，则a7+a8+a9=（ ）
A．5 B．4 C．9 D．7
【答案】A
【解析】由数列{an}是等差数列可知，a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9 成等差数列，
所以a7+a8+a9= 故选：A
17（2021·陕西·武功县普集高级中学）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．36 C．45 D．27
【答案】C
【解析】由等差数列的项和的性质可知，成等差数列，
即，，成等差数列，所以，所以.即.故选：C
18．（2021·山西临汾）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．28 B．34 C．40 D．44
【答案】D
【解析】因为，所以由，可得所以，所以，故选：D
19．（2021·陕西富平）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】B
【解析】解：由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，
，，解得．故选：B．
20．（2021·宁夏中卫）等差数列前项和为，，则（ ）
A．32 B．42 C．52 D．62
【答案】C
【解析】等差数列中，∴.从而，，故选：C.
21．（2021·福建·莆田第二十五中学高三期中）在数列中，，.求证数列为等差数列，并求出数列的通项公式；
【答案】证明见解析，
【解析】，，即，
是以2为公差，为首项的等差数列，，.
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