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高效复习11等比数列
一．等比数列的有关概念
1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(q≠0，n∈N*)．
2.等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项 G2＝ab．
“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．
二．等比数列的有关公式
1.通项公式：：an＝a1qn－1an＝am·qn－m.
2.前n项和公式：Sn＝
三．等比数列的性质
1.已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a；
(2)等比数列的单调性
当q>1，a1>0或0当q>1，a1<0或00时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列．
四．等比数列的判定方法
1.定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．
2.中项公式法：若数列{an}中an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
3.通项公式法：若数列的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
4.前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列．
考法一 等比数列的基本运算
【例1】（1）（2022·全国·高三专题练习）等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=（ ）
A． B． C． D．
（2）（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列的前n项和为，，，则的公比为( )
A．1 B． C．2 D．4
【答案】（1）C（2）B
【解析】因为S3 = a2 +10a1，所以a2 +a3= a2 +10a1，即a3= 9a1，即= 9a1，解得= 9，
又因为a5 = 9，所以= 9，解得，故选：C.
因为，，为正项等比数列，所以，解得.
故选：B．
考点二 等比中项
【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）方程的两根的等比中项是（ ）
A．和2 B．1和4 C．2和4 D．2和1
【答案】A
【解析】由一元二次方程根与系数的关系可知方程的两根之积为4，
又因为，故方程的两根的等比中项是．故选：A
【例2-2】（2022·全国·高三专题练习）公比不为1的等比数列满足，若，则的值为（ ）
A．8 B．9
C．10 D．11
【答案】C
【解析】由题意得：在等比数列中，由可得
又故选：C
【例2-3】（2022·全国·高三专题练习（文））等比数列{an}中，每项均为正数，且a3a8＝81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于（ ）
A．5 B．10 C．20 D．40
【答案】C
【解析】是等比数列，则，
所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10．故选：C．
考点三 等比数列的前n项和
【例3-1】．（2021·新疆昌吉）在公比为的等比数列中，前项和，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由，得，，所以，，则.故选：C.
【例3-2】（2021·江苏镇江·高三期中）已知等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A． B． C．27 D．40
【答案】D
【解析】因为等比数列的前项和为，，，
所以成等比数列，
所以，即，解得（负值舍去）
所以，所以
故选：D
【例3-3】（2021·四川绵阳·高三阶段练习（文））已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是正项等比数列，所以，，仍然构成等比数列，所以.
又，，成等差数列，所以，，所以.
又是正项等比数列，所以，，当且仅当时取等号.故选：B.
考点四 等比数列定义的运用
【例4】（2022·全国·高三专题练习）在数列{an}中，＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5．证明：数列{an＋1}是等比数列；
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，∴(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，即
∵a1＝2，a2＝5，∴a1＋1＝3，a2＋1＝6，∴数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列．
巩固练习
1．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列中，，，则等于（ ）
A．256 B．-256 C．512 D．-512
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，因为，，所以，所以，
故选：A.
2．（2022·河北·高三专题练习）在公比为2的等比数列中，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在等比数列中，由，，，．
令，，所以．故选：D.
3．（2021·湖北·高三期中）已知等比数列的前项和为，若，，则的值为（ ）
A．12 B．30
C．45 D．81
【答案】C
【解析】显然公比不为-1，是等比数列，则也成等比数列，
，，，则，，则.故选：C.
4．（2021·全国·高三专题练习（文））设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．66 B．65 C．64 D．63
【答案】B
【解析】由题知：，，
，
所以，，成等比数列，即5，15，成等比数列，
所以，解得.故选：B.
5．（2022·河北·高三专题练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】数列是等差数列，数列是等比数列，且满足，可得，
，可得，故
.故选：A.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知递增等比数列，，，，则（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】D
【解析】因为递增等比数列中，所以，
又，解得，所以，解得，所以，故选：D
7．（2021·内蒙古呼和浩特·高三阶段练习（文））已知等比数列的前项和为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为成等比数列，所以
代入数值所以，则.
8（2021·福建省厦门集美中学高三阶段练习）已知数列是递减的等比数列，的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】因为为递减的等比数列，由，解得或（舍去），.故选：A
9．（2021·新疆昌吉·模拟预测（文））在正项等比数列中，，是方程的两个根，则的值为（ ）
A．9 B．11 C． D．3
【答案】D
【解析】∵，是方程的两个根，所以，
因为，又，所以．故选：D.
10（2021·重庆·西南大学附中高三阶段练习）已知数列是等比数列，，是函数的两个不同零点，则（ ）
A．16 B． C．14 D．
【答案】B
【解析】由，是函数的两个不同零点，
可得，根据等比数列的性质，可得
则.故选：B.
11．（2021·新疆生产建设兵团第十二师高级中学高三阶段练习（文））等比数列中，与是函数的两个零点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，与是函数的两个零点
令由韦达定理，由于为等比数列，故故选：B
12．（2022·上海·高三专题练习）已知数列是单调递减的无穷等比数列：，，则数列的各项和等于________．
【答案】16
【解析】由题意，数列是递减的无穷等比数列，则，
，，，，解得：,，
数列的各项和等于，故答案为：16.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列的前项和为，且满足，，则__．
【答案】．
【解析】根据题意，设比数列的公比为，若，，则有，
解可得或（舍，则．故答案为：．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列满足，等差数列满足，则___________．
【答案】10
【解析】因为等比数列中，，所以，
因为，则由等差数列的性质得．故答案为：10．
15．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2020，a2＋a4＝－2a3，则S2 021＝________.
【答案】2020
【解析】∵a2＋a4＝－2a3，∴a2＋a4＋2a3＝0，a2＋2a2q＋a2q2＝0，∵a2≠0，∴q2＋2q＋1＝0，解得q＝－1.
∵a1＝2 020，∴S2 021＝＝＝2 020.故答案为：2020.
16（2022·上海·高三专题练习）已知无穷等比数列的前n项和，则此无穷等比数列各项和是_________．
【答案】
【解析】当时，，
当时， ，
根据题意时也满足，所以，所以，所以，
此无穷等比数列各项和是，故答案为：
17．（2022·全国·高三专题练习）已知公比大于1的等比数列满足，，则公比等于________.
【答案】2
【解析】由题意得则，又因为
解得：或（舍去）故答案为：2
18．（2022·全国·高三专题练习）若无穷等比数列的各项均大于1，且满足，，则公比________.
【答案】2
【解析】因为数列是等比数列，所以，
又因为，解得：或，
由无穷等比数列的各项均大于1可知，所以，因为，即，解得：.
故答案为：2.
19，（2021·辽宁·凤城市第一中学高三阶段练习）已知数列满足，，.求证：数列是等比数列；
【答案】证明见解析
【解析】因为，所以，
因为，所以，，
因为，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，.
20．（2021·全国·高三专题练习）已知数列{an}，{bn}，其中a1＝3，b1＝－1，且满足an＝(3an－1－bn－1)，bn＝－(an－1－3bn－1)，n∈N*，n≥2.求证：数列{an－bn}为等比数列；
【答案】证明见解析
【解析】证明：an－bn＝(3an－1－bn－1)－(an－1－3bn－1)＝2(an－1－bn－1)，即，又a1－b1＝3－(－1)＝4，所以{an－bn}是首项为4，公比为2的等比数列；
21．（2021·四川绵阳·高三阶段练习（理））已知各项均为正数的数列满足，．
证明：数列为等比数列，并求通项公式；
【答案】证明见解析，；
【解析】由可得，又，所以，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故
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