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2021-2022学年河南省南阳市邓州市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上
1．（3分）3的算术平方根是（　　）
A．± B． C．﹣ D．9
2．（3分）下列说法不正确的是（　　）
A．0.09的平方根是±0.3 B．＝
C．1的立方根是±1 D．0的立方根是0
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a a3＝a3 B．（﹣m）6÷（﹣m）3＝﹣m3
C．（xy2）2＝xy4 D．（﹣a3）2＝﹣a6
4．（3分）已知m﹣n＝1，则m2﹣n2﹣2n的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
5．（3分）如图，若AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则判定△ABD和△CDB全等的依据是（　　）
A．A A S B．S A S C．A S A D．H L
6．（3分）某校举办了消防安全知识竞赛，竞赛成绩统计如表，若成绩在91﹣100分的为优秀，则优秀的频率是（　　）
成绩/分 61﹣70 71﹣80 81﹣90 91﹣100
人数 3 21 24 12
A．30% B．35% C．20% D．10%
7．（3分）以下尺规作图中，一定能得到线段AD＝BD的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：化，爱，我，数，学，新，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．我爱学 B．爱新化 C．我爱新化 D．新化数学
9．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝81°，则∠CDE的度数是（　　）
A．72° B．75° C．80° D．60°
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，连结BB'，则△A'BB'的周长为（　　）
A． B．1+ C．2+ D．3+
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：a2﹣2a＝　 　．
12．（3分）多项式1+9x2加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是　 　（填上一个你认为正确的即可）．
13．（3分）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一个题目“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”
译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，问绳索AC的长为 　 　尺．
14．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE＝∠C，②AQ＝BQ，③AD＝BE，④AE+BD＝AB，其中正确的说法有 　 　．（填序号）
15．（3分）在长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则△A'CQ面积的最大值为 　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）计算与因式分解：
（1）计算：+﹣|3﹣π|；
（2）因式分解：x3y+2x2y2+xy3．
17．（8分）先化简，再求值．（a+2b）2+（b﹣a）（b+a）﹣5b（b﹣a），其中a＝1﹣，b＝1+．
18．（9分）某城市对市民开展了有关雾霾的调查问卷，调查内容是“你认为哪种措施治理雾霾最有效”，有以下四个选项：A．绿化造林；B．汽车限行；C．拆除燃煤小锅炉；D．使用清洁能源．
调查过程随机抽取了部分市民进行调查，要求市民只允许选择其中的一项，并将调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的市民共有多少人？
（2）请你将统计图1补充完整．
（3）求图2中D项目对应的扇形的圆心角的度数．
（4）请你结合自己的实际情况对有效治理雾霾提几点建议（至少写一条）．
　 　
19．（9分）如图，已知△ABC中，∠B＝45°．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不要求写作法）
①作BC边上的高AD；②在AD上截取DE，使DE＝DC．
（2）猜想与证明：在（1）的条件下，连接BE，试判断BE与AC之间的数量关系，并说明理由．
20．（9分）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
21．（11分）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1，
所以（a+b）2＝9，2ab＝2．
所以a2+b2+2ab＝9，得a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝30，求xy的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若（4﹣x）x＝3，则（4﹣x）2+x2＝　 　；
②若（3﹣x）（5﹣x）＝6，则（3﹣x）2+（5﹣x）2＝　 　．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝52，求图中阴影部分面积．
22．（10分）在△AMN中，∠MAN＞90°，AM的垂直平分线交MN于B，交AM于E，AN的垂直平分线交MN于C，交AN于F．
（1）若AM＝AN，∠MAN＝120°，则△ABC的形状是 　 　；
（2）去掉（1）中的“∠MAN＝120°”的条件，其他不变，判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（3）当∠M与∠N满足怎样的数量关系时，△ABC是等腰三角形？直接写出所有可能的情况．
23．（11分）（1）感知：
如图1，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝x，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，连接CD．
则线段BC与DE的数量关系是 　 　，△BCD的面积为 　 　（用含x的式子表示）；
（2）应用：
如图2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝x，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，用含x的式子表示△BCD的面积，并说明理由．
（3）拓展：
如图3所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，将边AB绕点B顺时针旋转，当AB⊥BD，连接CD，若△BCD的面积为9，则CD的长为 　 　．
2021-2022学年河南省南阳市邓州市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上
1．（3分）3的算术平方根是（　　）
A．± B． C．﹣ D．9
【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：3的算术平方根是，
故选：B．
2．（3分）下列说法不正确的是（　　）
A．0.09的平方根是±0.3 B．＝
C．1的立方根是±1 D．0的立方根是0
【分析】根据平方根和算术平方根的概念判断A和B，根据立方根的概念判断C和D．
【解答】解：A、0.09的平方根是±0.3，说法正确，故此选项不符合题意；
B、，计算正确，故此选项不符合题意；
C、1的立方根是1，原说法错误，故此选项符合题意；
D、0的立方根是0，说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a a3＝a3 B．（﹣m）6÷（﹣m）3＝﹣m3
C．（xy2）2＝xy4 D．（﹣a3）2＝﹣a6
【分析】根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方的运算法则解答即可．
【解答】解：A、a a3＝a4，原计算错误，故本选项不符合题意；
B、（﹣m）6÷（﹣m）3＝﹣m3，原计算正确，故本选项符合题意；
C、（xy2）2＝x2y4，原计算错误，故本选项不符合题意；
D、（﹣a3）2＝a6，原计算错误，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．（3分）已知m﹣n＝1，则m2﹣n2﹣2n的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】根据平方差公式化简，把m﹣n＝1整体代入即可得出答案．
【解答】解：∵m﹣n＝1，
∴原式＝（m+n）（m﹣n）﹣2n
＝m+n﹣2n
＝m﹣n
＝1，
故选：A．
5．（3分）如图，若AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则判定△ABD和△CDB全等的依据是（　　）
A．A A S B．S A S C．A S A D．H L
【分析】根据垂直的定义求出∠ABD＝∠BDC＝90°，再根据两直角三角形全等的判定定理得出即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠BDC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故选：D．
6．（3分）某校举办了消防安全知识竞赛，竞赛成绩统计如表，若成绩在91﹣100分的为优秀，则优秀的频率是（　　）
成绩/分 61﹣70 71﹣80 81﹣90 91﹣100
人数 3 21 24 12
A．30% B．35% C．20% D．10%
【分析】根据频率的定义求解即可．
【解答】解：优秀的频率＝＝20%，
故选：C．
7．（3分）以下尺规作图中，一定能得到线段AD＝BD的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用基本作图，前面三个作图AD分别为三角形高线、角平分线和中线，第四个作了AB的垂直平分线，从而得到DA＝DB．
【解答】解：A、AD为BC边的高；
B、AD为角平分线，
C、D点为BC的中点，AD为BC边上的中线，
D、点D为AB的垂直平分线与BC的交点，则DA＝DB．
故选：D．
8．（3分）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：化，爱，我，数，学，新，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．我爱学 B．爱新化 C．我爱新化 D．新化数学
【分析】把所给的式子运用提公因式和平方差公式进行因式分解，查看对应的字即可得出答案．
【解答】解：3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）
＝3（x2﹣1）（a﹣b）
＝3（x+1）（x﹣1）（a﹣b），
∵x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：化，爱，我，数，学，新，
∴结果呈现的密码信息可能是：我爱新化，
故选：C．
9．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝81°，则∠CDE的度数是（　　）
A．72° B．75° C．80° D．60°
【分析】设∠O＝x，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠BDE＝∠O+∠OED＝3x＝81°，再根据三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：设∠O＝x，
∵OC＝CD，
∴∠O＝∠CDO＝x，
∴∠DCE＝2x，
∵DC＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC＝2x，
∴∠BDE＝∠O+∠OED＝3x＝81°，
∴x＝27°，
∴∠ECD＝∠CED＝2x＝54°，
∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣54°×2＝72°，
故选：A．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，连结BB'，则△A'BB'的周长为（　　）
A． B．1+ C．2+ D．3+
【分析】如图，先根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝，再根据旋转的性质得到CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BAB′，则可判断△CAA′为等边三角形，所以∠ACA′＝60°，然后判断△CBB′为等边三角形，从而得到BB′的长，于是得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，
∴BC＝AC＝，AB＝2AC＝2，
∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，
∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BAB′，
∵CA＝CA′，∠A＝60°，
∴△CAA′为等边三角形，
∴∠ACA′＝60°，AA′＝AC＝1，
∴A′B＝1，
∴∠BCB′＝60°，
∴△CBB′为等边三角形，
∴BB′＝CB＝，
∴△A'BB'的周长为A′B+AB′+BB′＝2+1+＝3+，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：a2﹣2a＝　a（a﹣2）　．
【分析】先确定公因式是a，然后提取公因式即可．
【解答】解：a2﹣2a＝a（a﹣2）．
故答案为：a（a﹣2）．
12．（3分）多项式1+9x2加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是　6x或﹣6x或x4或﹣1或﹣9x2　（填上一个你认为正确的即可）．
【分析】分9x2是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解．
【解答】解：①当9x2是平方项时，1±6x+9x2＝（1±3x）2，
∴可添加的项是6x或﹣6x，
②当9x2是乘积二倍项时，1+9x2+x4＝（1+x2）2，
∴可添加的项是x4．
③添加﹣1或﹣9x2．
故答案为：6x或﹣6x或x4或﹣1或﹣9x2．
13．（3分）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一个题目“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”
译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，问绳索AC的长为 　　尺．
【分析】设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为（x﹣3）尺，在Rt△ABC中，根据勾股定理即可列出方程解答即可．
【解答】解：设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为（x﹣3）尺，
在Rt△ABC中，
由勾股定理得，AC2﹣AB2＝BC2，
x2﹣（x﹣3）2＝82，
解得：x＝，
答：绳索长为尺．
故答案为：．
14．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE＝∠C，②AQ＝BQ，③AD＝BE，④AE+BD＝AB，其中正确的说法有 　①③④　．（填序号）
【分析】证△ABE≌△CAD（SAS），得AD＝BE，∠ABE＝∠CAD，即可解决问题．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAE＝∠C＝60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AD＝BE，∠ABE＝∠CAD，
∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°，
∴∠APE＝∠C＝60°，故①、③正确
∵BQ⊥AD，
∵AC＝BC．AE＝DC，
∴BD＝CE，
∴AE+BD＝AE+EC＝AC＝AB，故④正确，
无法判断BQ＝AQ，故②错误，
故答案为：①③④．
15．（3分）在长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则△A'CQ面积的最大值为 　24　．
【分析】根据翻折的性质，可得BA′与AP的关系，根据线段的和差，可得A′C，根据勾股定理，可得A′C，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：①当P与B重合时，BA′＝BA＝6，
∴CA′＝BC﹣BA′＝10﹣6＝4，
②当Q与D重合时，由勾股定理，得
CA′＝＝＝8，
∴CA′的最大值是8，
∴当CA′取最大值时，△A'CQ面积的值最大，
∴△A'CQ面积的最大值＝×A′C×CD＝×8×6＝24，
故答案为：24．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）计算与因式分解：
（1）计算：+﹣|3﹣π|；
（2）因式分解：x3y+2x2y2+xy3．
【分析】（1）化简立方根，算术平方根，绝对值，然后再算加减；
（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+2﹣（π﹣3）
＝﹣1+2﹣π+3
＝4﹣π；
（2）原式＝xy（x2+2xy+y2）
＝xy（x+y）2．
17．（8分）先化简，再求值．（a+2b）2+（b﹣a）（b+a）﹣5b（b﹣a），其中a＝1﹣，b＝1+．
【分析】利用完全平方公式和平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则计算乘方，乘法，然后合并同类项进行化简，最后代入求值．
【解答】解：原式＝a2+4ab+4b2+b2﹣a2﹣5b2+5ab
＝9ab，
当a＝1﹣，b＝1+时，
原式＝9×（1﹣）（1+）
＝9×（1﹣2）
＝9×（﹣1）
＝﹣9．
18．（9分）某城市对市民开展了有关雾霾的调查问卷，调查内容是“你认为哪种措施治理雾霾最有效”，有以下四个选项：A．绿化造林；B．汽车限行；C．拆除燃煤小锅炉；D．使用清洁能源．
调查过程随机抽取了部分市民进行调查，要求市民只允许选择其中的一项，并将调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的市民共有多少人？
（2）请你将统计图1补充完整．
（3）求图2中D项目对应的扇形的圆心角的度数．
（4）请你结合自己的实际情况对有效治理雾霾提几点建议（至少写一条）．
　①建议绿色出行，尽量乘坐公共交通工具上班，减少开车的次数，
②加强植树造林，增加绿化面积，提高绿化率，还绿水青山．　
【分析】（1）从两个统计图可得，“A组”的有20人，占调查人数的10%，可求出调查人数；
（2）用总人数减去其它项目的人数求出“C组”的人数，即可补全条形统计图；
（3）用360°乘以D项目所占的百分比即可得出答案；
（4）从减少尾气排放、增加植树造林等方面提出意见和建议即可．
【解答】解：（1）20÷10%＝200（人），
答：本次调查的人数为200人；
（2）C项目的人数有：200﹣20﹣80﹣40＝60（人），补全条形统计图如图所示：
（3）360°×＝72°，
答：图2中D项目对应的扇形的圆心角的度数为72°；
（4）①建议绿色出行，尽量乘坐公共交通工具上班，减少开车的次数，
②加强植树造林，增加绿化面积，提高绿化率，还绿水青山．
故答案为：①建议绿色出行，尽量乘坐公共交通工具上班，减少开车的次数，
②加强植树造林，增加绿化面积，提高绿化率，还绿水青山．
19．（9分）如图，已知△ABC中，∠B＝45°．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不要求写作法）
①作BC边上的高AD；②在AD上截取DE，使DE＝DC．
（2）猜想与证明：在（1）的条件下，连接BE，试判断BE与AC之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）利用基本作图，过A点作BC的垂线得到AD，然后在DA上截取DE＝DC；
（2）通过证明△BDE≌△ADC得到BE＝AC．
【解答】解：（1）①如图，AD为所作；
②如图，DE为所作；
（2）BE＝AC．
理由如下：∵AD为高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD＝BD，
在△BDE和△ADC中，
，
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴BE＝AC．
20．（9分）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2．
【解答】解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，
故x2＝42+（x﹣1）2，
解得：x＝8.5，
答：绳索AD的长度是8.5m．
21．（11分）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1，
所以（a+b）2＝9，2ab＝2．
所以a2+b2+2ab＝9，得a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝30，求xy的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若（4﹣x）x＝3，则（4﹣x）2+x2＝　10　；
②若（3﹣x）（5﹣x）＝6，则（3﹣x）2+（5﹣x）2＝　16　．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝52，求图中阴影部分面积．
【分析】（1）由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2得，ab＝可求得此题结果；
（2）①由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可求得此题结果；
②由完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2得，a2+b2＝（a﹣b）2+2ab可求得此题结果；
（3）由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2得，ab＝，利用AC+BC和AC BC的值可求得此题结果．
【解答】解：（1）由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2得，ab＝，
∴当x+y＝8，x2+y2＝30时，
xy＝＝＝＝17；
（2）①由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴当（4﹣x）x＝3时，
（4﹣x）2+x2＝[（4﹣x）+x]2﹣2（4﹣x）x
＝42﹣2×3
＝16﹣6
＝10，
故答案为：10；
②由完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2得，a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，
∴当（3﹣x）（5﹣x）＝6时，
（3﹣x）2+（5﹣x）2＝[（3﹣x）﹣（5﹣x）]2+2（3﹣x）（5﹣x）＝（﹣2）2+2×6＝4+12＝16，
故答案为：16；
（3）由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2得，＝，
∴当AC+BC＝AB＝10，AC2+BC2＝S1+S2＝52时，
图中阴影部分面积＝＝＝＝＝＝12．
22．（10分）在△AMN中，∠MAN＞90°，AM的垂直平分线交MN于B，交AM于E，AN的垂直平分线交MN于C，交AN于F．
（1）若AM＝AN，∠MAN＝120°，则△ABC的形状是 　等边三角形　；
（2）去掉（1）中的“∠MAN＝120°”的条件，其他不变，判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（3）当∠M与∠N满足怎样的数量关系时，△ABC是等腰三角形？直接写出所有可能的情况．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠B＝∠C＝30°，根据线段垂直平分线的性质得到AM＝BM，AN＝NC，根据等边三角形的性质定理证明结论；
（2）根据三角形的外角性质、等腰三角形的判定定理解答；
（4）分三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：（1）等边三角形，
理由：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵ME是线段AM的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴∠MAB＝∠B＝30°，
∴∠AMC＝∠B+∠MAB＝60°，
同理，NA＝NC，
∴∠NAC＝∠N＝30°，
∴∠ANM＝∠C+∠NAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2）△ABC是等腰三角形，
理由：∵AM＝AN，
∴∠M＝∠N，
∵∠MAB＝∠M，∠ABC＝∠M+∠MAB，∠NAC＝∠N，∠ACB＝∠N+∠NAC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（4）当∠M＝∠N时，AB＝AC；
当2∠M+∠N＝90°时，∠BAN＝90°，
∴CF∥BA，
∵CF＝FA，
∴CN＝NB，
∴CA＝NB＝BC，
同理，当∠M+2∠N＝90°时，BA＝BC，
综上所述，当∠M＝∠N、2∠M+∠N＝90°、∠M+2∠N＝90°时，△ABC是等腰三角形．
23．（11分）（1）感知：
如图1，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝x，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，连接CD．
则线段BC与DE的数量关系是 　BC＝DE　，△BCD的面积为 　　（用含x的式子表示）；
（2）应用：
如图2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝x，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，用含x的式子表示△BCD的面积，并说明理由．
（3）拓展：
如图3所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，将边AB绕点B顺时针旋转，当AB⊥BD，连接CD，若△BCD的面积为9，则CD的长为 　　．
【分析】（1）可证明：BDE≌△ABC，进而得出结果；
（2）可证明△ABC≌△BDE，进而求得结果；
（3）作AF⊥BC于F，作DE⊥CB于E，△ABF≌△BDE，进而求得DE＝BF＝3，BC＝6，BE＝AF＝4，进一步求得结果．
【解答】解：（1）由题意得：△BDE≌△ABC，
∴DE＝BC＝x，
∴S△BCD＝＝，
故答案是：BC＝DE，；
（2）如图1，
S△BCD＝，理由如下：
作DE⊥CB于E，
∴∠E＝∠ACE＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵∠ABD＝90°，
∴∠ABC+∠DBE＝90°，
∴∠A＝∠DBE，
在Rt△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴DE＝BC＝x，
∴S△BCD＝＝；
（3）如图2，
作AF⊥BC于F，作DE⊥CB于E，
由（2）知：△ABF≌△BDE，
∴DE＝BF，BE＝AF，
∵AC＝AB，
∴BF＝，
∴S△BCD＝，
∴BF2＝9，
∴BF＝3，
∴AF＝＝＝4，BC＝2BF＝6，
在Rt△CDE中，CE＝BC+BE＝6+4＝10，DE＝3，
∴CD＝＝．
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