资源简介

微专题16 利用导数研究函数的极值与最值
1．（2021·全国高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
依题意，为函数的极大值点，
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
2．（2021·全国高考真题（理））设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明：．
【答案】1；证明见详解
【解析】（1）由，，
又是函数的极值点，所以，解得；
（2）由（1）得，，且，
当 时，要证，， ，即证，化简得；
同理，当时，要证，， ，即证，化简得；
令，再令，则，，
令，，
当时，，单减，假设能取到，则，故；
当时，，单增，假设能取到，则，故；
综上所述，在恒成立
【点睛】本题为难题，根据极值点处导数为0可求参数，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决复杂函数的最值与恒成立问题.
1.由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点。
2.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.
3.求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最值的思路
(1)若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求f′(x)＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
(2)若所给的闭区间[a，b]含有参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
1、函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
2、函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
【知识拓展】常用结论：
（1）．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
（2）．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
（3）．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
1．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三其他模拟（文））已知函数在处有极值10，则（ ）
A． B．0 C．或0 D．或6
2．（2021·全国高三其他模拟（理））函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数在上恰有三个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·江苏高三其他模拟）已知若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
1．（2021·全国高三其他模拟）已知函数f（x）＝﹣ex，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）无极大值，也无极小值
B．f（x）有极大值，也有极小值
C．f（x）有极大值，无极小值
D．f（x）无极小值，有极大值
2．（2021·河北沧州市·高三三模）已知函数，则（ ）
A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1
C．的极大值为 D．的最小值为
3．（2021·河南高三其他模拟（文））函数在上的最小值为（ ）
A． B．-1 C．0 D．
4．（2021·四川凉山彝族自治州·高三三模（文））若是函数的极值点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·哈尔滨市呼兰区第一中学校高三其他模拟（文））设函数，若，则函数的各极大值之和为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·四川石室中学高三一模（文））在中，，，分别为，，所对的边，若函数有极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·合肥市第八中学高三其他模拟（文））已知函数（其中是自然对数的底数），若关于的方程恰有三个不等实根，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·全国高三其他模拟（理））函数（）在内不存在极值点，则a的取值范围是_______________．
9．（2020·江苏省滨海中学高三一模）已知函数，对任意的，使得，则___________.
10．（2021·浙江高三其他模拟）已知函数f(x)=，g(x)=，且满足，则g(x)-f(x)的最大值为__________．
11．（2021·四川高三零模（文））已知函数，其中.若函数的图象在点处的切线与直线平行.
（1）求的值；
（2）求函数的极值.
12．（2021·宁波中学高三其他模拟）定义域为D的函数，若对给定的实数y，函数有最大值，我们称为的变换.
（1）设，，求此时的变换；
（2）求证：若，，则.
1．（2017·全国高考真题（理））若是函数的极值点，则的极小值为．
A． B． C． D．
2．（2016·四川高考真题（文））已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=
A．–4 B．–2 C．4 D．2
3．（2011·浙江高考真题（文））设函数，若为函数的一个极值点，则下列图像不可能为的图像是
A． B．
C． D．
4．（2011·湖南高考真题（理））设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为
A．1 B． C． D．
5．（2009·辽宁高考真题（文））若函数在处取极值，则_______
6．（2021·全国高考真题）函数的最小值为______.
7．（2018·江苏高考真题）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．
8．（2018·全国高考真题（理））已知函数，则的最小值是_____________．
9．（2019·江苏高考真题）设函数，为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；
（3）若，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．
10．（2020·北京高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
参考答案
1．【答案】A
【解析】由函数有.
函数在处有极小值10.
所以，即
解得： 或
当时，
令得或，得
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
显然满足函数在处有极小值10.
当时，
所以函数在上单调递增，不满足函数在处有极小值10.
所以
故选：A
【点睛】解题关键在于，根据函数的极小点和对应的极值求参数，注意这种试题根据条件需要借助函数单调性进行检验，是易错题，属于中档题.
2．【答案】B
【解析】，
令，解得.
所以在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为．
故选：B
3．【答案】A
【解析】设，，令，所以，
设，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
且当时，，时，，
所以方程最多仅有两个解，
又因为在上最多仅有一个极值点，
所以有两个极值点，有一个极值点；
当方程有两个解时，，所以，
当在有一个极值点时，，所以，
综上可知，若要使在上恰有三个极值点，则，
故选：A.
4．【答案】A
【解析】令，则，，所以
令，则
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
则
所以，则的最小值为
故选：A
1．【答案】C
【解析】因为，所以，
令，
，
因为，所以，即，故，
所以在上单调递减，
又因为， ，
所以存在唯一的，使得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以f（x）有极大值，无极小值.
故选：C.
2．【答案】C
【解析】.令，则，
所以在上单调递减.因为，
所以当时，；当时，.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
故的极大值点为1，的极大值为
故选：C
3．【答案】B
【解析】因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.
故答案为：B.
4．【答案】C
【解析】因为函数，
所以，
因为是函数的极值点，
所以，即，
两边取以e为底的对数得： ，
即，
令 ，即 ，
因为，
所以 在上递增，
所以，即，
故选：C
【点睛】本题关键是将两边取以e为底的对数变形为，构造函数，由其单调性而得解.
5．【答案】C
【解析】令，
当时，为增函数，
当时，为减函数
当（）时取极大值，
此时，
所以数列首项为，公比为共项的等比数列，
故和为，
故选：C
6．【答案】B
【解析】由，根据有极值点，
则有两个不同的实数根.
所以，即
由余弦定理可得，由，所以，
由，则
所以的范围是
故选：B
【点睛】本题考查导数与极值点的关系和余弦定理的应用、余弦的二倍角公式的应用，解答本题的关键是由条件得出有两个不同的实数根，从而其，得到，由余弦定理得出的范围，属于中档题.
7．【答案】A
【解析】由题意设，根据方程恰有三个不等实根，
即必有两个不相等的实根，不妨设
，则，
作出的图象，函数与三个不等实根，且，
那么，可得，，
所以，
构造新函数
当时，在单调递减；
当时，在单调递增；
∴当时，取得最小值为，即的最小值为；
故选：A
【点睛】本题考查复合函数与分段函数的应用，同时考查导数的综合应用及最值问题，应用了数形结合的思想及转化构造的方法，是难题.本题解题的关键在于设，进而，，再结合的图像可得，，，将问题转化为求函数的最值问题.
8．【答案】．
【解析】解：∵函数（）在内不存在极值点，
∴函数在内单调递增或单调递减，
∴或在内恒成立，
∵，
令，二次函数的对称轴为，
∴，
，
当时，需满足，即，
当时，需满足，即，
综上所述，a的取值范围为．
故答案为：．
9．【答案】-3
【解析】由题意，令，易知是奇函数，，
1、当时，，即单调递增，，，
∴，任意的，使得，
当时，，不合题意；
当时，，不合题意；
2、当时，有，
∴当，则上，即单调递减，故，同1可知不合题意；
当，则、上，即单调递增，上，即单调递减，
∴①得，或②得，
∴，代入①得，故.
故答案为：
【点睛】构造奇函数并利用导数研究单调性，进而确定的范围，结合分类讨论及不等式恒成立，列不等式组求参数.
10．【答案】
【解析】令，
则，令
则，
易知单调递减，则，
则必存在一点，使，即，
即在单调递增，在单调递减，
则函数在处取最大值，且
，
易知单调递增，则，
则，在时，恒成立，即
故单调递减，从而
故答案为：
11．【答案】（1）；（2）极大值，极小值.
【解析】（1）由已知，可得.
函数的图象在点处的切线与直线平行，
，解得.
经验证，符合题意.
（2）由（1）得，求导.
令，得或
当变化时，与的变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单挑递增
当时，取得极大值，且；
当时，取得极小值，且.
【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性与极值，求切线常见考法：
(1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：．
(2)已知斜率k，求切点，即解方程.
(3)若求过点的切线方程，可设切点为，由，求解即可．
12．【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1），，则
，
.
因为，所以时，单调递增，
时，单调递减，故此时有最大值：
.
（2）因为是的最大值，所以，由（1）得
，.
因为，，故可取，，及，得
，，
两式相加移项得
.
【点睛】对于新定义的题目，关键在于将新定义对应与所学的数学知识进行对应.在本题中，关键点就是利用导数求最值.
1． 【答案】A
【解析】由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．
【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；
（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
2．【答案】D
【解析】，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D.
【考点】函数的导数与极值点
【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点.
3．【答案】D
【解析】，令则
，因为为函数的一个极值点，所以是的一个根，即
于是，，
则故A、B可能；对于D，，，则，与图矛盾，不可能，故选D
4．【答案】D
【解析】由题，不妨令，则，令解得，因时，，当时，，所以当时，达到最小．即．
5．【答案】3
【解析】=．因为f（x）在1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为3 .
考点：利用导数研究函数的极值．
6．【答案】1
【解析】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
7．【答案】.
【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a，再根据单调性确定函数最值，即得结果.
详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
8．【答案】
【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.
详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.
点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.
9．【答案】（1）；
（2）的极小值为
（3）见解析.
【解析】（1）因为，所以．
因为，所以，解得．
（2）因为，
所以，
从而．令，得或．
因为，都在集合中，且，
所以．
此时，．
令，得或．列表如下：
1
+ 0 – 0 +
极大值 极小值
所以的极小值为．
（3）因为，所以，
．
因为，所以，
则有2个不同的零点，设为．
由，得．
列表如下：
+ 0 – 0 +
极大值 极小值
所以的极大值．
解法一：
．因此．
解法二：
因为，所以．
当时，．
令，则．
令，得．列表如下：
+ 0 –
极大值
所以当时，取得极大值，且是最大值，故．
所以当时，，因此．
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．
10．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程为：，即.
（Ⅱ）显然，
因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
也是最小值为.
【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.

展开更多......

收起↑