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微专题17 任意角、弧度制及其任意角的三角函数
1．（2020·全国高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【解析】方法一：由α为第四象限角，可得，
所以
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以
故选：D.
方法二：当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．（2020·浙江高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______．
【答案】
【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，则
，解得.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置．
(3)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
(4)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．
【知识拓展】三个三角函数的性质如下表：
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
sin α R ＋ ＋ － －
cos α R ＋ － － ＋
tan α {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ －
1．（2021·鄂尔多斯市第一中学高一月考（文））半径为2，中心角为的扇形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·安徽池州一中高三其他模拟（理））已知一个半径为3的扇形的圆心角为，面积为，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国高三其他模拟）已知点，为坐标原点，线段绕原点逆时针旋转，到达线段，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·全国高三其他模拟（理））方程实数根的个数为___________.
1．（2021·安徽池州一中高三其他模拟（理））已知一个半径为3的扇形的圆心角为，面积为，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·重庆高三其他模拟）已知是第二象限角，角的终边经过点，则为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3．（2021·全国高三其他模拟（理））中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从一个圆形中前下的扇形制作而成的，当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·河北衡水中学高三三模）已知，则的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．三象限 D．第四象限
5．（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）已知为锐角的内角，满足，则（ ）
A． B．， C．， D．，
6．（2021·辽宁高三其他模拟）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA＝20cm，∠AOB＝120°，M为OA的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
7．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线(也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线)，它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为(，其中为不超过的最大整数，).若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·辽宁高三三模）（多选题）如图，圆心在坐标原点、半径为的半圆上有一动点，、是半圆与轴的两个交点，过作直线垂直于直线，为垂足．设，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则的最大值为
9．（2021·宁夏银川一中高三其他模拟（文））若，，则___________.
10．（2021·浙江高三其他模拟）已知为平面内一定点且，平面内的动点满足：存在实数，使，若点的轨迹为平面图形，则的面积为___________.
11．（抢分样卷2021年普通高等学校招生全国统一考试）在平面直角坐标系中，圆，直线与圆交于，两点，是线段的中点，若点的横坐标为1，则______；者变化，则点的轨迹长度为______．
12．（2021·河南高一三模）已知角的终边经过点().
（1）求的值；
（2）若是第二象限角，求的值.
1．（2011·全国高考真题（理））已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝(　 　)
A．－ B．－ C． D．
2．（2007·北京高考真题（理））已知，那么角是（　　）
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
3．（2012·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量则点的坐标是
A． B．
C． D．
4．（2018·全国高考真题（文））已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A． B． C． D．
5．（2018·北京高考真题（文））在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O 为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是
A． B．
C． D．
6．（2011·山东高考真题（文））点(a，9)在函数y=3x的图象上，则tan的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
7．（2012·上海高考真题（文））若，则在中，正数的
个数是（ ）
A．16 B．72 C．86 D．100
8．（2017·北京高考真题（理））在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.
9．（2010·北京高考真题（理））如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点p（x，y）的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 ．
说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动．沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动．
10．（2008·江苏高考真题）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为
（1）求的值； （2）求的值．
参考答案
1．【答案】C
【解析】解：因为扇形的半径，中心角，
所以扇形的面积，
故选：C.
2．【答案】C
【解析】解：由扇形的面积公式得，解得，
所以，解得
故选：C
3．【答案】D
【解析】由的坐标可知在单位圆上，设的终边经过点，所以，
又因为由绕原点逆时针旋转得到，所以的终边经过点且也在单位圆上，
所以，
又因为，
所以，
故选：D.
4．【答案】2
【解析】因为，所以，即，
因此，解得（舍）或，又因为，
所以或，所以方程实数根的个数为2个，
故答案为：2.
1．【答案】C
【解析】解：由扇形的面积公式得，解得，
所以，解得
故选：C
2．【答案】D
【解析】，，又为第二象限角，
，，点位于第四象限，
角的终边经过点，为第四象限角.
故选：D.
3．【答案】A
【解析】设扇形的弧长为，半径为，圆心角的弧度数为，
由题意得，变形可得，
因为，
所以折扇所在扇形的圆心角的弧度数为．
故选：A.
4．【答案】D
【解析】解：由，平方得：，则，即，则或，，即有或，，
当为偶数时，位于第二象限，，，，不成立，
当为奇数时，位于第四象限，，，成立.
∴角的终边在第四象限.
故选：D.
【点睛】本题考查正弦的二倍角公式，根据三角函数的符号求角的范围，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题解题的关键在于根据题意得，进而根据函数符号得的范围，再分类讨论求解.
5．【答案】C
【解析】解：为锐角的内角，满足，
设，即，，则函数在上为连续函数，又在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增；
在中取，得，
在中取，得，
，
，，.
故选：.
6．【答案】B
【解析】解：扇环的面积为．
故选：B
7．【答案】B
【解析】由曲线过知，，
即，又，
求得，
若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，即
代入得到
故选：B
8．【答案】AC
【解析】对于A选项，，，由三角形三边关系可得，
即，A选项正确；
对于B选项，当时，，B选项错误；
对于C选项，，，，
则，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，因为，即当时，等号成立，C选项正确；
对于D选项，，，
所以，，
，可得，所以当时，即当时，取最大值为，D选项错误.
故选：AC.
【点睛】三角函数最值的不同求法：
①利用和的最值直接求；
②把形如的三角函数化为的形式求最值；
③利用和的关系转换成二次函数求最值．
9．【答案】
【解析】由三角函数的诱导公式，可得，即，
又因为，所以.
故答案为：.
10．【答案】
【解析】以为圆心，以为半径作圆，
过作圆的切线，分别与圆切于点，，
连结，，延长与圆交于点，
存在点以及实数，设点，满足，
，即
由，可知点在的延长线上，
若要存在使得，相当于的延长线与圆有交点，
故只能在图中阴影部分，所以点的轨迹面积，
因为与圆相切于点，所以，
由勾股定理可知，，
所以，同理，
因为，所以，
所以，
综上所述，的面积为.
故答案为：.
【点睛】本题考查轨迹问题，圆的几何性质和平面向量的共线的结论的应用，解答本题的关键是设点，满足，由，可知点在的延长线上，由条件得出相当于的延长线与圆有交点，从而得出点点的轨迹图形，属于中档题.
11．【答案】
【解析】(1)连接，因为点是弦的中点，所以，
设，，有
得，，
，又是的中点
所以，，所以，
即，解得或(舍去).
(2)连接，由知点的轨迹是以为直径的圆在圆内部的一段弧
(不包括弧的两个端点)，记为弧．
连接，，，，
因为，，
所以在直角三角形和直角三角形中，，
所以，故弧的长度为．
故答案为：；.
【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．在解题时应强化有关直线与圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积或扇形面积(弧长)等问题．
12．【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1），
，
即
.
又角的终边经过点()，
，
故；
（2）是第二象限角，
，
则，
，
.
1．【答案】B
【解析】解：根据题意可知：tanθ＝2，
所以cos2θ，
则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝21．
故选B．
【点睛】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．
2．【答案】C
【解析】∵，
∴ 当cosθ<0，tanθ>0时，θ∈第三象限；当cosθ>0，tanθ<0时，θ∈第四象限，
故选C．
3．【答案】A
【解析】设，再设，则，由题意可得，从而可得，故答案选A.
考点：平面向量.
4．【答案】B
【解析】由三点共线，从而得到，
因为，
解得，即，
所以，故选B.
【点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.
5．【答案】C
【解析】分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.
详解：由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.
A选项：当点在上时，，
，故A选项错误；
B选项：当点在上时，，，
，故B选项错误；
C选项：当点在上时，，，
，故C选项正确；
D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.
综上，故选C.
点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.
6．【答案】D
【解析】将（a，9）代入到y=3x中，得3a=9，
解得a=2．
∴=．
故选D．
7．【答案】C
【解析】令，则，当1≤n≤14时，画出角序列终边如图，
其终边两两关于x轴对称，故有均为正数，
而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k时，Sn>0，
而，其中k=1，2，…，7，所以在中有14个为0，其余
都是正数，即正数共有100－14＝86个，故选C.
8．【答案】
【解析】因为和关于轴对称，所以，那么，（或），
所以.
【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则 ，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.
9．【答案】
【解析】（1）根据题意，由三角函数的定义可得 与的值，进而可得出与的值，从而可求与的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出 的值，再根据的取值范围，可得出的取值范围，进而可得出的值.
由条件得cosα＝，cosβ＝.
∵ α，β为锐角，
∴ sinα＝＝，sinβ＝＝.
因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.
(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2) ∵ tan2β＝＝＝，
∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1.
∵ α，β为锐角，∴ 0<α＋2β<，∴ α＋2β＝

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