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微专题18 同角三角函数的基本关系与诱导公式
1．（2021·全国高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
2．（2021·江苏高考真题）已知，且，则的值是_________.
【答案】
【解析】，因为，所以，所以，所以，所以.
故答案为：.
1.同角三角函数关系在解题中的应用
(1)利用方程思想，对于sin α，cos α，tan α，由公式sin2α＋cos2α＝1，tan α＝，可以“知一求二”．对于sin α±cos α，sin αcos α，由下面三个关系式(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，可以“知一求二”．
(2)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，或含有sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解．
2.诱导公式及应用
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一名，统一角，同角名少为终了．
(2)学会诱导公式的逆用，如sin α＝sin(π－α)，cos α＝－cos(π－α)等，再如y＝sin＝sin，能将y＝sin中x的系数由负变正，且不改变“正弦”前面的符号．
(3)学会观察两角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍．
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan α＝.
平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．
2．诱导公式
一 二 三 四 五 六
2kπ＋ α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α
cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α
tan α tan α －tan α －tan_α
诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋αk∈Z”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k·＋αk∈Z”中，将α看成锐角时，“k·＋αk∈Z”的终边所在的象限.
【知识拓展】同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
(2)sin α＝tan αcos α.
1．（2021·陕西高三其他模拟（理））设α是第一象限角，满足，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2020·江苏高三一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国高三其他模拟（文））已知角，，若，，则___________.
4．（2021·江苏扬州中学高三其他模拟）已知，那么______．
1．（2021·赤峰二中高三三模（理））已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·福建高三其他模拟）已知，且，则（ ）．
A． B． C． D．
3．（2021·全国高三其他模拟（理））若，则（ ）
A． B．
C． D．a
4．（2021·全国高三其他模拟（文））已知为第三象限角，且，则的值为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
5．（2021·北京高一其他模拟）（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·广东高三其他模拟）十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿，”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金中，，据这些信息，可得（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·全国高三其他模拟）设为第二象限角，若，则__________．
9．（2021·甘肃高三其他模拟（理））已知，则的值为___________.
10．（2021·全国高三其他模拟（文））已知，则___________.
11．（2021·浙江杭州高级中学高三其他模拟）已知，则，则________，________．
12．（2021·浙江高三二模）设函数，.
（1）求函数的最小值；
（2）若是锐角，，求可能值的个数.
1．（2021·全国高考真题（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·全国高考真题（理））已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国高考真题（文））（ ）
A． B． C． D．
4．（2017·全国高考真题（文））函数f(x)=sin(x+)+cos(x )的最大值为
A． B．1 C． D．
5．（2019·江苏高考真题）已知，则的值是_____.
6．（2018·全国高考真题（理））已知，，则__________．
7．（2017·全国高考真题（文））已知，tanα=2，则=______________．
8．（2017·北京高考真题（文））在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则_____.
9．（2006·安徽高考真题（理））已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
10．（2013·广东高考真题（理））已知函数，．
1求的值；
2若，，求
参考答案
1．【答案】C
【解析】，
，
∴，
联立，
∵设α是第一象限角，
∴，，即，，
∴.
故选：C.
2．【答案】B
【解析】，
因为，所以，所以.
因为，所以.
所以.
故选：B
3．【答案】
【解析】∵，，
∴，，
又，，∴
∴，
，
∴
.
故答案为：.
4．【答案】
【解析】因，则
.
故答案为：
1．【答案】A
【解析】解：因为，
所以，
所以.
故选：A.
2．【答案】D
【解析】，
故，
又因为，且．
故，或，，则或，
故，
故选：D．
3．【答案】C
【解析】若，是第一象限角，
则，
所以，
则，
故选：C.
4．【答案】A
【解析】，
所以，
由为第三象限角，所以，
故选：A.
5．【答案】C
【解析】.
故选：C.
6．【答案】A
【解析】由题意可得，且，
所以，，
因此，.
故选：A.
7．【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，
故选：D.
8．【答案】
【解析】因为为第二象限角，，所以，所以.
故答案为：.
9．【答案】
【解析】由已知得，
所以.
故答案为：
10．【答案】
【解析】由，
则，
即，
即，所以，
.
故答案为：
11．【答案】
【解析】，所以，
，
解得：，因为，
所以.
故答案为：；
12．【答案】（1）；（2）4个.
【解析】（1）
令，，
则，，对称轴为
利用二次函数的单调性知，函数在时单调递增，在时单调递减；
故当时，函数取得最小值，即
即当时，函数取得最小值，且最小值为.
（2）由，得，即，
整理得：
解得：或
由， 得，即
整理得：，解得：
又是锐角，
利用凑角可知
当，可以为三或四象限；
若为三象限，则，则
若为四象限，则，则
当，可以为一或二象限；
若为二象限，则，则
若为一象限，则，则
故可能值的个数为4个.
【点睛】三角函数化简求值，常用拼凑角：
（1）再利用诱导公式求值或化简时，巧用相关角的关系会简化解题过程，常见的互余关系有：与，与，与等；常见的互补关系有： 与，与等；
（2）在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：，，等等.
1．【答案】A
【解析】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.
2．【答案】A
【解析】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
3．【答案】D
【解析】由题意，
.
故选：D.
4．【答案】A
【解析】由诱导公式可得，
则，
函数的最大值为.
所以选A.
【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
5．【答案】.
【解析】由，
得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=
综上，
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.
6．【答案】
【解析】因为，
所以，①
因为，
所以，②
①②得，
即，
解得，
故本题正确答案为
7．【答案】
【解析】由得，又，所以，因为，所以，因为，所以．
8．【答案】
【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则 ，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.
9．【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）．
【解析】解：(Ⅰ)由得，即，又，所以为所求．
（Ⅱ）=
===．
10．【答案】(Ⅰ) =1；(Ⅱ) =
【解析】（1）将代入可得：，在利用诱导公式和特殊角的三角函数值即可；（2）因为，根据两角和的余弦公式需求出和，，，则，根据二倍角公式求出代入即可．
试题解析：（1）因为，
所以；
（2）因为，，则．
所以，．
考点：1.诱导公式；2.二倍角公式；3.两角和的余弦．

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