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微专题21 三角恒等变换
1．（2021·浙江高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
2．（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【解析】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故选：B．
【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为．
1．给角求值
给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.
2．给值求值
已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：
（1）先化简所求式子．
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．
3．给值求角
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：
（1）已知正切函数值，则选正切函数．
（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好.
4．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题
（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的形式．
（2）利用公式求周期．
（3）根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．
（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）：
（2）：
（3）：
（4）：
（5）：
（6）：
2．二倍角公式
（1）：
（2）：
（3）：
3．公式的常用变形
（1）；
（2）降幂公式：；；
（3）升幂公式：；；；
（4）辅助角公式：，其中，
【知识拓展】1.三角函数式的化简口诀：
（1）切化弦；（2）异名化同名；（3）异角化同角（4）降幂或升幂．
2.角的关系：
（1）已知角表示未知角
例如：，，
，，
，.
（2）互余与互补关系
例如：，.
（3）非特殊角转化为特殊角
例如：15°=45° 30°，75°=45°＋30°.
1．（2021·全国（理））若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·宝山区·上海交大附中高三其他模拟）（多选题）为了得到函数的图象，可以将函数的图象作怎样的平移变换得到（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
3．（2021·全国高三其他模拟（文））若是区间上的单调函数，则正数的最大值是___________.
4．（2021·陕西西安中学高三其他模拟（理））在中，角，，的对边分别为，，．已知，则的最小值为_______．
1．（2021·河南高二其他模拟（理））已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·陕西高三其他模拟（理））已知，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2021·全国高三其他模拟（文））（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·辽宁实验中学高三二模）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．辽宁省实验中学校园内的明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2021·全国高三其他模拟（文））函数，若不等式对恒成立，则的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））若，则___________.
7．（2021·沂水县第一中学高三其他模拟）已知，则__________________．
8．（2021·全国高三其他模拟（文））已知，为锐角，且，则的最大值是___________.
9．（2021·上海高三其他模拟）设函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若，则___________.
10．（2021·浙江高三其他模拟）已知=，且，则__________；__________．
11．（2021·全国高三其他模拟）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求的值及的面积．
问题：在中，角，，的对边分别为，，，已知，，______．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
12．（2021·全国高三其他模拟）在①是函数图象的一条对称轴，②是函数的一个零点，③函数在上单调递增，且的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知函数，__________，求在上的单调递减区间．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
1．（2017·山东高考真题（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2016·山东高考真题（理））函数的最小正周期是（ ）
A． B．π C． D．2π
3．（2020·全国高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
4．（2020·全国高考真题（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2019·全国高考真题（文））已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
6．（2021·全国高考真题）（多选题
）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020·北京高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
8．（2020·江苏高考真题）已知 =，则的值是____.
9．（2020·浙江高考真题）已知，则________；______．
10．（2013·湖南高考真题（理））已知函数．
（I）若是第一象限角，且．求的值；
（II）求使成立的x的取值集合．
参考答案
1．【答案】C
【解析】由知，，或，
则，
由知，，或，
则，
，
则
故选：C
2．【答案】BC
【解析】，
，
∴向左平移个单位或向右平移个单位得到.
故选：BC
3．【答案】
【解析】，
由且，
所以，
因为在上为增函数，
所以，可得，
所以正数的最大值是.
故答案为：.
4．【答案】
【解析】解：由题意可知，，
化简得，
所以．
根据正弦定理：，可得①．
，由①可得，
所以，
当时，等号成立．所以的最小值为．
故答案为：．
【点睛】最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
1．【答案】A
【解析】解：由题可知，即，
，
，
，
，
故选：A．
2．【答案】C
【解析】解：因为，所以
故选：C
3．【答案】A
【解析】.
故选：A.
4．【答案】A
【解析】设为正八棱锥底面内切圆的圆心，连接，，
取的中点，连接、，则是底面内切圆半径，如图所示：
设侧棱长为，底面边长为，
由题意知，，则，解得；
由底面为正八边形，其内切圆半径是底面中心到各边的距离，
中，，所以，
由，解得，
所以，
所以，解得，
即侧棱与底面内切圆半径的长度之比为．
故选：A．
5．【答案】D
【解析】由题意，
不等式对恒成立，是函数的最小值，
当时，的最小正值为．
故选：D.
6．【答案】
【解析】因为，
两边平方，得，解得.
故答案为：．
7．【答案】
【解析】∵，∴，
∴．
故答案为：．
8．【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，
两边同除以，得
，
所以，
所以
，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是，
故答案为：
9．【答案】
【解析】因为，
则有或，，，
解得或，，，
又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，
所以，，，，，，…，
故，，
所以，即，
则，解得，
故.
故答案为：.
10．【答案】
【解析】因为，所以，由=，
所以，所以
；
.
故答案为：①；②.
11．【答案】选择见解析；；的面积为．
【解析】因为，
由正弦定理得，
因为，所以，所以，
即，所以，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以
又，
所以，
所以，
(1) 若选择①，与及联立，
解得，，
所以的面积．
(2) 若选择②，
因为，，所以，，
所以，所以，
所以，
所以的面积．
(3) 若选择③，与联立，
得，，
所以的面积．
12．【答案】选择见解析；单调递减区间为，．
【解析】解：
．
①若是函数图象的一条对称轴，
则，，即，，
得，，
又，∴当时，，．
②若是函数的一个零点，
则，即，，
得，．
又，∴当时，，所以，．
③若在上单调递增，且的最大值为．
则，故，所以．
由，，
得，，
令，得，令，得，
又，
所以在上的单调递减区间为，．
1．【答案】D
【解析】.
故选：D
【点睛】本题主要考查余弦二倍角公式，属于简单题.
2．【答案】B
【解析】
，
故最小正周期，
故选：B.
【点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好地考查考生的运算求解能力及对复杂式子的变形能力等.
3．【答案】D
【解析】，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
4．【答案】B
【解析】由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
5．【答案】B
【解析】，．
，又，，又，，故选B．
【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
6．【答案】AC
【解析】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
7．【答案】（均可）
【解析】因为，
所以，解得，故可取.
故答案为：（均可）.
【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.
8．【答案】
【解析】
故答案为：
【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．【答案】
【解析】，
，
故答案为：
【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．【答案】（I）（II）
【解析】（1），求得，根据是第一象限角，所以，且；
（2）
．

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