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微专题23 平面向量的概念及线性运算
1．（2021·全国高考真题（文））已知向量，若，则_________．
【答案】
【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
故答案为：.
2．（2020·天津高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
【答案】；
【解析】，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
，
∵，∴的坐标为，
∵又∵，则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.
1.解决向量的概念问题应关注以下七点：
(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．
(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．
(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．
(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．
(6)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．
(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小
2.平面向量线性运算问题的求解策略：
(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．
(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
①观察各向量的位置；
②寻找相应的三角形或多边形；
③运用法则找关系；
④化简结果.
1.平面向量的相关概念
名称 定义 表示方法 注意事项
向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量或； 模或 平面向量是自由向量
零向量 长度等于0的向量，方向是任意的 记作 零向量的方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位的向量 常用表示 非零向量的单位向量是
平行向量 方向相同或相反的非零向量 与共线可记为 与任一向量平行或共线
共线向量 平行向量又叫共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
【知识拓展】共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得.
共线向量定理的主要应用：
(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线．
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
1．（2021·浙江高三其他模拟）已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
2．（2021·全国高三其他模拟（文））菱形中，点为中点，则（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2021·全国高三其他模拟）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若为平面向量，，则
B．若为平面向量，，则
C．若，，则在方向上的投影为
D．在中，M是AB的中点，＝3，BN与CM交于点P，＝+，则λ＝2μ
4．（2021·贵州省瓮安中学高三其他模拟（文））如图所示的平行四边形ABCD中，为DC的中点，则____________.
1．（2021·陕西西安中学高三其他模拟（文））如果平面向量，，那么下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．，的夹角为180°
D．向量在方向上的投影为
2．（2021·大庆教师发展学院高三二模（文））已知向量，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国高三其他模拟（理））点为的重心，设，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国高三其他模拟）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，BF⊥AC，DH⊥AC，AE⊥BD，CG⊥BD，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·湖南高三其他模拟）已知向量，满足，，若与共线，则（ ）
A．2 B．4 C． D．22
6．（2021·安徽高三其他模拟（文））在中，，，，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
7．（2021·密山市第一中学高一其他模拟）（多选题）在中，有如下四个命题正确的有（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则的形状为直角三角形
C．内一点G满足，则G是的重心
D．若，则点P必为的外心
8．（2021·普宁市华侨中学高三二模）（多选题）如图，已知点是平行四边形的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（　　）
A． B．数列是等比数列
C． D．
9．（2021·上海交大附中高三其他模拟）设向量，是与方向相反的单位向量，则的坐标为__________.
10．（2021·浙江镇海中学高三其他模拟）已知平面向量，，，满足，，且，则的取值范围是___________．
11．（2021·上海民办南模中学高三三模）已知正六边形， 分别是对角线 上的点，使得，当___________时， 三点共线.
12．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）平面几何中，角分线分对边成比例定理是这样的：在中，角C的平分线交对边于点D，则，如图，，，，，则面积的最大值为___________.
1．（2012·全国高考真题（文））中，边的高为，若，，，，，则（ )
A． B． C． D．
2．（2020·海南高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
3．（2018·全国高考真题（文））在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
4．（2017·全国高考真题（文））设非零向量，满足，则
A．⊥ B．
C．∥ D．
5．（2017·北京高考真题（文））设m，n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2014·福建高考真题（文））设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于
A． B． C． D．
7．（2016·全国高考真题（文））已知向量，且，则___________.
8．（2015·全国高考真题（理））设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．
9．（2016·上海高考真题（理））如图，在平面直角坐标系中，O为正八边形的中心，.任取不同的两点，点P满足，则点P落在第一象限的概率是_____________.
10．（2019·浙江高考真题）已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______.
参考答案
1．【答案】B
【解析】解：由得，说明的终点的轨迹是以的终点为圆心，为半径的圆，
的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径，即为，
，（当且仅当时取等号）．
故选：．
【点睛】本题考查平面向量数量积及向量模的计算，解答的关键是根据式子的几何意义转化计算；
2．【答案】B
【解析】因为菱形中，所以，
因为点为中点，
则，
故选：B.
3．【答案】CD
【解析】A，若，则与任意向量共线，所以与不一定平行，故A错误；
B，若，则，，当共面时，，
若不共面时，与不平行，故B错误；
C，若，则，所以，
在方向上的投影为，故C正确；
D，，设，
则
，
设，则，即，①
，设，
，
，即，②
由①②可得，，即，故D正确.
故选：CD
4．【答案】
【解析】因为为中点，所以，
所以，
所以，
故答案为：.
1．【答案】D
【解析】解：因为，，所以，
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，故，故B正确；
对于C，因为，所以与的夹角为180°，故C正确；
对于D，在方向上的投影为：，，故D错误.
故选：D.
2．【答案】B
【解析】
，即，
计算得：，所以选项B正确，选项ACD错误.
故选：B.
3．【答案】A
【解析】解：由题意可知，故.
故选：A.
4．【答案】D
【解析】在矩形ABCD中，由已知条件得O是线段EG中点，，
因，由黄金分割比可得，
于是得，即有，
同理有，而，即，
从而有，
所以.
故选：D
5．【答案】A
【解析】因为与共线，所以，.
又，，所以
.
故选：A.
6．【答案】C
【解析】因为，
因为，
所以，即，所以.
故选：C
7．【答案】BC
【解析】解：对于A，由，得，所以，所以角为锐角，但不能判断三角形为锐角三角形，所以A错误，
对于B，因为，所以，即，所以，得，因为，所以，所以三角形为直角三角形，所以B正确，
对于C，因为，所以，所以（为的中点），所以三点共线，所以点在边的中线上，同理，可得点在其它两边的中线上，所以G是的重心，所以C正确，
对于D，因为，所以，，所以，所以点在边的高上，同理可得点 也在其它两边的高上，所以点为的垂心，所以D错误，
故选：BC
8．【答案】AB
【解析】为中点，，即，
三点共线，，
又，，
化简得：，，
是以为首项，为公比的等比数列，B正确；
，，C错误；
则，A正确；
，D错误.
故选：AB.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列与向量的综合应用问题，解题关键是能够根据平面向量的线性运算和向量共线的性质推导得到数列的递推关系式，由此构造出所需的等比数列进行求解.
9．【答案】
【解析】由相反向量为且模长为，
∴.
故答案为：
10．【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以，则，即，
所以，因为，
则，
所以取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点睛：
本题的关键是由求出的取值范围.
11．【答案】
【解析】连结AD，交EC于G点，设正六边形边长为a，由正六边形的性质知，，，G点为EC的中点，且，
则，
又，（），则，，
故，即
若B、M、N三点共线，由共线定理知，
，解得或（舍）
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于用向量表示，从而根据，把向量表示成，若B、M、N三点共线，由共线定理可以求得参数.
12．【答案】
【解析】如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
则，设，
因为，根据向量的运算，可得的内角平分线，
又由，，可得，即，
所以，整理得，即，
又由，
所以面积的最大值为.
故答案为：.
1．【答案】D
【解析】由，，可知
2．【答案】C
【解析】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
3．【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
4．【答案】A
【解析】由平方得，即，则，故选A.
【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.
5．【答案】A
【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.
【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件；若，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知
，若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将是条件的判断，转化为是条件的判断.
6．【答案】D
【解析】由已知得，
而所以，选D.
考点：平面向量的线性运算，相反向量.
7．【答案】
【解析】因为，所以，解得.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.
8．【答案】
【解析】因为向量与平行，所以，则所以．
考点：向量共线．
9．【答案】
【解析】共有种基本事件，其中使点P落在第一象限的情况有种，故所求概率为.
【考点】排列组合、古典概型、平面向量的线性运算
【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题时，关键在于能够准确地确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好地考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力、数形结合思想等.
10．【答案】0
【解析】正方形ABCD的边长为1，可得，，
0，
要使的最小，只需要
，此时只需要取
此时
等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正．
比如
则.
【点睛】对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.

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