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微专题24 平面向量的基本定理及坐标表示
1．（2021·全国高考真题（理））已知向量，若，则__________．
【答案】
【解析】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
2．（2019·江苏高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
【答案】.
【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA，AO=OD.
，
得即故.
【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.
1.应用平面向量基本定理的关键点
（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．
（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．
（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路
（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．
（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．
4.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
2．向量坐标的求法
（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2－x1，y2－y1）.
3．向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），
|a|=，|a＋b|=.
4．平面向量共线的坐标表示
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b x1y2－x2y1=0.
5．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
【知识拓展】向量共线（平行）的坐标表示
1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为 ()，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．
2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若，，则的充要条件是”解题比较方便．
3．三点共线问题．A，B，C三点共线等价于与共线．
4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解.
1．（2021·天水市第一中学高一期末）如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且，记，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·广东高三其他模拟）在四边形中，，单位向量与平行，是的中点，，若在 中选两个作为基本向量，来表示向量，则___________.
3．（2021·全国高三其他模拟（文））已知向量，，，，___________.
4．（2021·全国高三其他模拟（理））若向量，，则___________.
1．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））在平行四边形中，，，，为的中点，则（ ）
A．9 B．12 C．18 D．22
2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知向量，，，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．10
3．（2021·福建三明一中高三其他模拟）已知向量，，且与共线，则x=（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·北京高一其他模拟）已知向量，向量，若，则（ ）
A． B．5 C． D．
5．（2021·云南省文山壮族苗族自治州第一中学高一期末）在中，，D是上的点，若，则实数x的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国高三其他模拟（文））在中，点是边上的点，满足，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国）（多选题）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．，使得
B．，使得
C．小于
D．
8．（2021·河北唐山一中高三其他模拟）（多选题）设是已知的平面向量且，向量，和在同一平面内且两两不共线，关于向量的分解，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使.
9．（2021·全国高三其他模拟（文））已知向量+=(0，5)，2﹣=(3，1)，则的值为___________.
10．（2021·全国高三其他模拟（理））在平行四边形中，点为边的中点，，则________．
11．（2021·宁夏高三其他模拟（理））已知(1，1)，(0，1)，(1，0)，为线段上一点，且，若，则实数的取值范围是___________.
12．（2021·辽宁高三其他模拟）在边长为2的正三角形中，D是的中点，，交于F．①若，则___________；②___________．
1．（2013·陕西高考真题（文））已知向量，，若，则实数等于（ ）
A． B． C．或 D．0
2．（2012·广东高考真题（文））若向量=（1，2），=（3，4），则=
A．（4，6） B．(-4，-6) C．(-2，-2) D．(2，2)
3．（2015·四川高考真题（理））设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，则（ ）
A．20 B．15 C．9 D．6
4．（2013·广东高考真题（文））设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：
①给定向量，总存在向量，使；
②给定向量和，总存在实数和，使；
③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；
上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2014·福建高考真题（理））在下列向量组中，可以把向量表示出来的是
A． B．
C． D．
6．（2013·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是
A． B． C． D．
7．（2016·四川高考真题（文））已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，，则的最大值是
A． B． C． D．
8．（2014·上海高考真题（文））已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .
9．（2018·全国高考真题（理））已知向量，，．若，则________．
10．（2017·江苏高考真题）在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．
参考答案
1．【答案】D
【解析】取，作为基底，则.
因为，所以，
所以.
故选：D.
2．【答案】
【解析】；
故答案为：
3．【答案】
【解析】，
又，
利用向量的数量积公式可知
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查向量的线性运算与向量的数量积公式的应用，解题的关键是熟悉公式的应用，考查学生的运算求解能力，属于基础题.
4．【答案】48
【解析】.
故答案为：48
1．【答案】B
【解析】因为，
所以．
故选：B．
2．【答案】C
【解析】因，，则，而，，
于是得，即，解得，
所以的值为2.
故选：C
3．【答案】B
【解析】∵，，与共线，
∴，解得．
故选：B．
4．【答案】A
【解析】向量，向量，且，
所以，解得，
所以，所以．
故选：A.
5．【答案】D
【解析】解：∵，∴，
∵，
∴，
∵B，D，E三点共线，∴，∴．
故选：D．
6．【答案】C
【解析】，，
又，
所以，，
所以，
即，，
故，
根据基本不等式可得，
解得：，
当且仅当，即，时取等号，
故的最大值为.
故选：C.
7．【答案】AC
【解析】解：因为，所以，令，
因为，且所以与异号，故A正确；
，若，则，解得，即当时，故B错误；
设与的夹角为，则
若夹角为小于，则，解得
因为，所以小于，故C正确；
因为，
所以，显然当时，故D错误；
故选：AC
8．【答案】AB
【解析】对于A，给定向量，总存在向量，使，故A正确；
对于B，因为向量，，在同一平面内且两两不共线，由平面向量基本定理可得：
总存在实数和，使，故B正确；
对于C，设，给定，则不存在单位向量和实数，使，故C错误；
对于D， 设，给定，则不存在单位向量和单位向量，使，故D错误.
故选：AB.
9．【答案】
【解析】由+=(0，5)，2﹣=(3，1)，
两式相加可得，解得，
所以，
所以.
故答案为：
10．【答案】
【解析】，
又因为，所以，解得所以．
故答案为：
11．【答案】
【解析】解析：设点，由，得，所以.
因为，所以，
即，化简得
将代入，得，即，
解得.
因为为线段上一点，且，所以.综上，可知.
故实数的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题主要考查向量的线性运算，数量积的坐标运算，解答本题的关键是由条件可得和，然后代入消去， 得到关于的不等式，属于中档题.
12．【答案】
【解析】
如图，过E作交于M，
由，得，，
又D是的中点，得，，故，即，
所以
所以，故
易知
由已知得
所以
故答案为：，
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的基本定理，平面向量的数量积的运算，解题的关键是利用平面向量的线性运算用表示，，考查学生的分析与转化能力，及计算能力，属于中档题.
1．【答案】C
【解析】解：因为，，且
所以
解得
故选：C.
【点睛】本题考查向量共线求参数的值，属于基础题.
2．【答案】A
【解析】.
3．【答案】C
【解析】
因为四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，
根据图形可得：，
，
，
，
，
，
，
，
故选C.
本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示.
考点：向量运算.
4．【答案】B
【解析】利用向量加法的三角形法则，易知①正确；利用平面向量的基本定理，易知正确；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，故③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以④是假命题．综上，本题选B．
考点：1．平面向量的基本定理；2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则．
5．【答案】B
【解析】由于平面向量的基本定理可得，不共线的向量都可与作为基底.只有成立.故选B.
考点：平面向量的基本定理.
6．【答案】D
【解析】，则知是等边三角形，以为直角坐标系原点，在轴，则，
当， 表示的区域是下图中的①；
当， 表示的区域是下图中的②；
当， 表示的区域是下图中的③；
当， 表示的区域是下图中的④；
则表示的区域就是图中的平行四边形，其面积为
【考点定位】考查平面向量的概念，平面向量基本定理，以及线性规划面积，以及考查逻辑思维能力和转化思想.
7．【答案】B
【解析】如图可得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设由已知，得，又
，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.
【考点】向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题
【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．
8．【答案】
【解析】
故答案为.
9．【答案】
【解析】由题可得
，即
故答案为
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
10．【答案】
【解析】以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知， ，可得，，由可得，，故答案为.
【方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便．

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