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微专题27 等差数列及其前n项和
1．（2021·全国高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【解析】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
2．（2021·全国高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题设可得
又，，
故，即，即
所以为等差数列，故.
（2）设的前项和为，则，
因为，
所以
.
【点睛】对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
2.确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
3.判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.
(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．
(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．
(2)等差中项
若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝.
【知识拓展】等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列．
1．（2021·海南高三）设数列的前项和为，若，且，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·赤峰二中高三（理））若等差数列{an}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则数列{an}的前n项和Sn取最小值时，n的值等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2021·嘉峪关市第一中学高三（理））设是等差数列的前项和，若，，则_____________．
4．（2021·黑龙江实验中学（文））在数列中，，，，记是数列的前n项和，则___________.
1．（2021·黑龙江实验中学（文））等差数列的前15项和，则（ ）
A．-2 B．6 C．10 D．14
2．（2021·云南曲靖·（文））在等差数列中，若，则数列的前13项和=（ ）
A．5200 B．2600 C．1500 D．1300
3．（2021·江西省铜鼓中学高二开学考试（理））已知等差数列且，则数列的前13项之和为（ ）
A．24 B．39 C．104 D．52
4．（2021·福建莆田·高三）已知等差数列满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国高三专题练习（文））已知数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国高二单元测试）（多选题）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等差数列
B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为
D．
7．（2021·江苏省前黄高级中学高三）设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则（ ）
A．数列的最小项为第项 B．
C． D．时，的最大值为
8．（2021·嘉峪关市第一中学（文））在等比数列中，，，成等差数列，则_______.
9．（2021·浙江高三）已知，，成等差数列，点到直线的距离为，则直线的倾斜角是______.
10．（2021·全国高三）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝2.
（1）若数列{an}是等差数列，求公差d及前n项和Sn；
（2）若数列{an}是等比数列，求公比q及前n项和Tn.
11．（2021·海南高三）已知等差数列满足，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列满足，，则的前7项之和与数列的第几项相等？
参考数据：，．
12．（2021·全国高三（理））在等差数列中，，其前n项和为，各项均为正数的等比数列中，，且满足，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）若数列的前n项和为，证明：．
1．（2021·北京高考真题）和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·北京高考真题）数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（2020·浙江高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．
4．（2021·江苏高考真题）已知等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的值是___________.
5．（2020·海南高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
6．（2019·北京高考真题（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2= 3，S5= 10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．
7．（2021·全国高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
8．（2021·山东高考真题）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，而且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员．
9．（2021·天津高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
10．（2021·全国高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的通项公式．
11．（2021·全国高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
参考答案
1．【答案】B
【解析】由得，即，
所以数列从第项开始是等差数列，
又因为，，
所以，所以．
故选：B
2．【答案】C
【解析】是与的等比中项，故，即，解得.
故，所以，，故最小.
故选：C.
3．【答案】3
【解析】由题意，根据等差数列的前项和公式
，又
故答案为：3
4．【答案】1720
【解析】由题意知，数列中，，
当n是奇数时，可得，又由，
所以数列中的偶数是以3为首项，2为公差的等差数列，
则，
当是偶数时，可得，
所以数列中的相邻的两个奇数项之和均等于2，
所以，
则.
故答案为：1720.
1．【答案】B
【解析】解：等差数列的前15项和，
∴，
解得，
∴.
故选：B.
2．【答案】D
【解析】根据等差数列性质可得，
所以，
所以前13项和.
故选：D
3．【答案】D
【解析】由等差数列的性质可得：，，
所以由可得：，
解得：，
所以数列的前13项之和为
，
故选：D.
4．【答案】A
【解析】由等差中项的性质可得，解得，
设等差数列的公差为，则.
故选：A.
5．【答案】C
【解析】在等式中，令，可得，则，
所以，数列为等差数列，且该数列的首项和公差均为，
因为，故，所以，，则，
因此，.
故选：C.
6．【答案】BCD
【解析】解：由即为，
可化为，由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A错误，B正确；
则，即，故C正确；
又，
可得，
故D正确.
故选：BCD．
7．【答案】ABC
【解析】对于C选项，由且，可知，C对；
对于B选项，由，可得，B对；
对于D选项，因为，，
所以，满足的的最大值为，D错；
对于A选项，由上述分析可知，当且时，；
当且时，，
所以，当且时，，
当且时，，
当且时，.
当且时，单调递减，即，
单调递减，即有，
所以，，
由不等式的性质可得，
从而可得，
因此，数列的最小项为第项，A对.
故选：ABC.
8．【答案】3
【解析】∵成等差数列，则，
由为等比数列，设公比为q，则，
可得：，解得，
所以.
故答案为：3.
9．【答案】
【解析】解：，，成等差数列，，即，
点到直线的距离为，
，两边平方化简可得，即，
则直线的斜率为，故直线的倾斜角是，
故答案为：．
10．（2021·全国高三）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝2.
（1）若数列{an}是等差数列，求公差d及前n项和Sn；
（2）若数列{an}是等比数列，求公比q及前n项和Tn.
【答案】（1），；（2），
【解析】（1）因为数列{an}是等差数列，且a1＝1，a2＝2.
所以，
所以，
；
（2）数列{an}是等比数列，且a1＝1，a2＝2.
所以，
所以.
11．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的前项之和与数列的第项相等．
【解析】（Ⅰ）设的公差为，
由已知得，所以．
，得，
因此．
（Ⅱ）设的公比为．由条件知，，
所以，，所以．
所以，
令，得，
所以的前项之和与数列的第项相等．
12．【答案】（1），；（2）证明见解析 .
【解析】解：（1）设数列的公差为d，的公比为q，
因为，，，所以，
解答，（负值舍去），
故，；
（2）证明：由（1）得，
所以．
所以数列的前n项和为，
所以．
1．【答案】B
【解析】由已知条件可得，则，因此，.
故选：B.
2．【答案】C
【解析】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，
则，，，
所以n的最大值为11.
故选：C.
3．【答案】D
【解析】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；
对于B，由题意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；
对于C，，
当时，，C正确；
对于D，，，
．
当时，，∴即；
当时，，∴即，所以，D不正确．
故选：D.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．
4．【答案】4
【解析】因为为等比数列，且公比为，
所以，且，.
因为，，成等差数列，
所以，
有，，
解得.
故答案为：.
5．【答案】
【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.
6．【答案】0. -10.
【解析】等差数列中，，得，公差，，
由等差数列的性质得时，，时，大于0，所以的最小值为或，即为.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式 求和公式 等差数列的性质，难度不大，注重重要知识 基础知识 基本运算能力的考查.
7．【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
【点晴】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
8．【答案】18
【解析】由题意，各排人数组成等差数列，
设第一排人数是，公差，前5项和，
由知：，解得．
∴第一排应安排18名演员.
9．【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解析】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以，所以，
所以；
设等比数列的公比为，
所以，解得（负值舍去），
所以；
（II）（i）由题意，，
所以，
所以，且，
所以数列是等比数列；
（ii）由题意知，，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减得，
所以，
所以.
【点睛】
最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证.
10．【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由已知得，且，，
取，由得，
由于为数列的前n项积，
所以，
所以，
所以，
由于
所以，即，其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列；
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，
，
当n=1时，，
当n≥2时，，显然对于n=1不成立，
∴.
【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和与项的关系，数列的前n项积与项的关系，其中由，得到，进而得到是关键一步；要熟练掌握前n项和，积与数列的项的关系，消和（积）得到项（或项的递推关系），或者消项得到和（积）的递推关系是常用的重要的思想方法.
11．【答案】证明见解析.
【解析】∵数列是等差数列，设公差为
∴，
∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴
∴是等差数列.
【点睛】在利用求通项公式时一定要讨论的特殊情况.

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