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微专题28 等比数列及其前n项和
1．（2021·全国高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
2．（2016·全国高考真题（文））已知是公差为3的等差数列，数列满足．
（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求的前n项和．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)见解析.
【解析】（Ⅰ）用等差数列通项公式求；（Ⅱ）求出通项，再利用等比数列求和公式来求.
试题解析：（Ⅰ）由已知，得，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）和 得，因此是首项为1，公比为的等比数列.记的前项和为，则
【考点】等差数列与等比数列
【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组），因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
1、等比数列基本运算的解题技巧
(1)求等比数列的基本量问题，一般是“知三求二”问题，其核心思想是解方程(组)，一般步骤是：①由已知条件列出首项和公比的方程(组)；②求出首项和公比；③求出项数或前n项和等其余量．
(2)运用整体思想，达到设而不求的目的；运用等比定理，即q＝＝＝…＝＝达到化简目的；运用分类讨论思想，讨论q＝1和q≠1等问题．
2、利用等比数列性质解题应注意的2点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
3、等比数列的判断与证明的常用方法
1.等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.
2. 等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
【知识拓展】1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比数列.
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
4.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3.
1．（2021·云南昆明市·高三（文））已知递增等比数列，，，，则（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
2．（2021·河南郑州十一中高二期末）已知数列为等比数列，其前项和为，若，，则（ ）．
A．或32 B．或64 C．2或 D．2或
3．（2021·吉林长春市·高三（理））若无穷等比数列的各项均大于1，且满足，，则公比________.
4．（2022·全国高三专题练习）已知数列满足：，，为数列的前项和，则___________.
1．（2021·赤峰二中（理））在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和.若a1·a4=32，a2+a3=12，则下列说法中，正确的是（ ）
①数列{}是等比数列；
②a3=4；
③数列{Sn+2}是等比数列；
④数列{log2an}是等差数列
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
2．（2021·黑龙江实验中学高三（文））已知公比为的等比数列的首项，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2021·黑龙江齐齐哈尔·高三（理））已知等比数列中，，，成等差数列．则=（ ）
A．4或 B．4 C． D．
4．（2021·全国高三专题练习）等比数列中，，，则的前12项和为（ ）
A．90 B．60 C．45 D．32
5．（2022·全国高三专题练习）已知是首项为2的等比数列，是其前n项和，且，则数列前20项和为（ ）
A．﹣360 B．﹣380 C．360 D．380
6．（2021·全国高二单元测试）（多选题）已知正项的等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）高三（文））已知公比大于1的等比数列满足，，则公比等于________.
8．（2021·云南曲靖·高三（文））已知正项数列满足且，令，则数列的前项的和等于___________.
9．（2021·嘉峪关市第一中学高三（文））在①，②，③，，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.设数列是公比大于0的等比数列，其前项和为.已知，___________.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，且数列的前项和为，求.
10．（2021·全国）已知数列满足，若数列满足，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前项和．
11．（2021·全国高三）已知数列的前n项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
12．（2021·肥城市教学研究中心高三）已知为等比数列的前n项和，若，且是等差数列的前三项.
（1）求数列的前n项和；
（2）求数列的通项公式，并求使得的的取值范围.
1．（2021·山东高考真题）在等比数列中，，，则等于（ ）
A． B．5 C． D．9
2．（2020·山东高考真题）在等比数列中，，，则等于（ ）
A．256 B．-256 C．512 D．-512
3．（2021·浙江高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
4．（2020·全国高考真题（文））设是等比数列，且，，则（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
5．（2020·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
6．（2021·全国高考真题）（多选题）设正整数，其中，记．则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2013·重庆高考真题（理））已知是等差数列， ，公差，为其前项和，若，，成等比数列，则_____.
8．（2021·湖南高考真题）已知各项为正数的等比数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
9．（2021·浙江高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
10．（2020·海南高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
参考答案
1．【答案】D
【解析】因为递增等比数列中，
所以，
又，
解得，
所以，解得，
所以，
故选：D
2．【答案】B
【解析】∵数列为等比数列，，解得，
设数列的公比为，，
解得或，
当，则，
当，则．
故选：B．
3．【答案】2
【解析】因为数列是等比数列，所以，
又因为，
解得：或，
由无穷等比数列的各项均大于1可知，
所以，因为，即，解得：.
故答案为：2.
4．【答案】
【解析】解：因为，
，
.
故答案为：
1．【答案】C
【解析】由题意，{an}为等比数列，a1·a4=32，a2+a3=12
由等比数列的性质：
或
又公比q为整数，
数列{}，，且，因此数列{}为等比数列，故①正确；
，故②不正确；
数列{Sn+2}，且，因此数列{}为等比数列，故③正确；
数列{log2an}，，因此数列{}为等差数列，故④正确；
故选：C
2．【答案】A
【解析】由于公比为的等比数列的首项，
所以，
若，则，所以，即或，
所以公比为的等比数列的首项，
则“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
3．【答案】B
【解析】设等比数列公比为，
因为，，成等差数列，
所以，
所以，且，
所以
解得或，
为保证有意义，则，所以，
所以，
故选：B
4．【答案】C
【解析】设数列的公比为，则，
所以，同理，
所以．
故选：C．
5．【答案】A
【解析】根据题意，所以，
从而有，
所以，
所以数列的前20项和等于
故选：.
6．【答案】ABD
【解析】因为，可得，即，解得或，
又由正项的等比数列，可得，所以，所以A正确；
数列的通项公式为，所以B正确；
则，所以C不正确；
由，则，，所以，所以D正确.
故选：ABD.
7．【答案】2
【解析】解：由题意得
则，又因为
解得：或（舍去）
故答案为：2
8．【答案】
【解析】由可得，
因为，所以，即，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
所以，
则的前项的和等于，
令，前项的和为，则
，
，
两式相减可得：
，
所以，
所以前项的和为，
故答案为：.
9．【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.
【解析】（1）若选①，设等比数列的公比为.
，，而
，解得或.
，，.
若选②，设等比数列的公比为，且，
由可得.
，，即.
，，.
若选③，当时，，
即，也满足，
即数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
则.
（2）由（1）知，
.
10．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）由得
当时，，可得；
当时，，
两式相减得，
所以，
当时也满足上式，
所以的通项公式为，
因为，
因为，
所以，
即，且，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
故．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
．
11．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，得，
又，作差得，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则有；
（2）由题得，
所以．
12．【答案】（1）；（2），使得的的取值范围是，.
【解析】（1）设等比数列的公比为，
由是等差数列的前三项，得，
即，
所以，
整理得，解得.
由，得，所以，
所以.
（2）由（1）得，
所以，，
所以等差数列的前三项为，
所以.
由，得，即.
令，
故有.
当时，，即；
当时，，即，
而.
所以使得的的取值范围是，.
1．【答案】D
【解析】由题设，，
∴．
故选：D
2．【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，
因为，，所以，
所以，
故选：A.
3．【答案】C
【解析】由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以或，
其中为双曲线，为直线.
故选：C.
【点睛】本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.
4.【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，则，
，
因此，.
故选：D.
【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，
由可得：，
所以，
因此.
故选：B.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力.
6.【答案】ACD
【解析】对于A选项，，，
所以，，A选项正确；
对于B选项，取，，，
而，则，即，B选项错误；
对于C选项，，
所以，，
，
所以，，因此，，C选项正确；
对于D选项，，故，D选项正确.
故选：ACD.
7.【答案】64
【解析】解：因为为等差数列，且，，成等比数列，所以，解得，所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）且，，
（2）
9.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
【点睛】（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.
10.【答案】（1）；（2）
【解析】(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：.
(2)由于：，故：
.
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.

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