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高考数学新创题型之赏析
新课程标准要求学生“对新颖的信息、情景和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和探究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题。”随着新一轮课程改革的深入和推进，高考的改革使知识立意转向能力立意，退出来一批新颖而又别致，具有创新意识和创新思维的新题。
导数新创题4道
函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数y=f′(x)的图象是如图所示的一条直线，
y=f(x)的图象的顶点在 （ ）
第Ⅰ象限 B.第Ⅱ象限 C.第Ⅲ象限 D.第Ⅳ象限
1.A 导函数的正、负体现原函数的单调性，很明显
原函数的极大值点在y轴的右侧，再加上原函
数过原点，容易知道顶点在第Ⅰ象限.
2. 在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大.
2.R 设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h，那么h=AO+BO=R+,解得
x2=h(2R－h),于是内接三角形的面积为
S=x·h=
从而
令S′=0,解得h=R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下：
h
(0,R)
R
(,2R)
S′
+
0
－
S
增函数
最大值
减函数
由此表可知，当x=R时，等腰三角形面积最大.
3.已知，函数的图象与函数 的图象相切。求b与c的关系式（用c表示b）
解：依题意令，得，故.
由于，得。
点评：在由得到，就应想切线的交点必是在原两函数图象的交点，这是解决曲线切线问题的关键.
4. 已知a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，求证：ab＞ba.
证法一：∵b＞a＞e,∴要证ab＞ba,只要证blna＞alnb,设f(b)=blna－alnb(b＞e),则
f′(b)=lna－.∵b＞a＞e,∴lna＞1,且＜1,∴f′(b)＞0.∴函数f(b)=blna－alnb在(e,+∞)上是增函数，∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,∴blna＞alnb,∴ab＞ba.
证法二：要证ab＞ba,只要证blna＞alnb(e＜a＜b,即证,设f(x)=(x＞e)，则f′(x)=＜0,∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数，又∵e＜a＜b,
∴f(a)＞f(b),即,∴ab＞ba.
三角部分新创题4道
1.若,则直线=1必不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．若函数f(x+2)=，则f(+2)f(-98)等于 （ ）
A. B.- C.2 D.-2
3．若,则sin2α= .
4．函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f(x)= +的性质，并在此基础上，作出其在的草图．
参考答案：
1．B 判断cosα>0,sinα<0，数形结合.
2．C f(+2)·f(-98)=tan lg100=2.
3．- tanα=-,sin2α==.
4解：① ∵∴的定义域为R；
② ∵，
∴为偶函数；
③ ∵, ∴是周期为的周期函数；
④ 当时，= ，
∴当时单调递减；当时，
=，
单调递增；又∵是周期为的偶函数，∴在上单调递增，在上单调递减（）；
⑤ ∵当时；
当时．∴的值域为；
⑥由以上性质可得：在上的图象如图所示：
数列部分新创题4道
1．若等比数列{an}对一切正整数n都有Sn=2an-1,其中 Sn是{an}的前n项和，则公比q的值为 （ ）
A. B.- C.2 D.-2
2. 等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{}的前11项和为 （ ）
A.-45 B.-50 C.-55 D.-66
3. 等差数列{an}中有两项am和ak满足am=,ak=,则该数列前mk项之和是 .
4. 设f(x)= (a>0)为奇函数,且 |f(x)|min=2,数列{an}与{bn}满足如下关系:
a1=2,an+1=.
(1)求f(x)的解析表达式；
（2）证明：当n∈N+时，有bn≤()n.
参考答案：
1．C 当n=1时，S1=2a1-1,得a1=1;当n=2时，1+a2=2a2-1,得公比q=a2=a1q=2.
2. DSn=,∴=-n,∴前11项的和为-66.
3. 设数列{an}的首项为a1,公差为d，则有解得,
所以Smk=(a1+am)=.
4.解：(1)由f(x)是奇函数，得b=c=0,由|f(x)|min=2,得a=2,故f(x)=.
向量部分新创题4道
1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
= (++2),则点P一定为三角形ABC的 （ ）
A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心）
C.重心 D.AB边的中点
2. 已知向量a=(2cosα,2sinα), b=(3cosβ,3sinβ),其夹角为60°,则直线xcosα-ysinα+=0与圆（x-cosβ)2+(y+sinβ)2=的位置关系是 .
3.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：
(1)若两点等分单位圆时，有相应关系为：（2）四点等分单位圆时，有相应关系为：
由此可以推知三等分单位圆时的相应关系为： .
4．已知向量m=(cosθ,sinθ)和n=(-sinθ,cosθ),θ∈［π,2π］.
(1)求|m+n|的最大值；
（2）当|m+n|=时,求cos()的值.
参考答案：
B取AB边的中点M，则，由?= (?++2)可得3，∴，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.
2.相离cos60°==cos(α-β)= .
圆心到直线的距离d=
3．
4．解：（1）m+n=(cosθ-sinθ+,cosθ+sinθ),
|m+n|=
=
=
=2
∵θ∈［π,2π］,∴,∴cos(θ+)≤1,|m+n|max=2.
(2)由已知|m+n|=,得cos(θ+)=.
又cos(θ+)=2cos2()-1,∴cos2()=,
∵θ∈［π,2π］,∴,∴cos(.
不等式部分新创题4道
1．若函数f(x)=min{3+logx,log2x},其中min{p,q}表示p,q两者中的较小者，则f(x)<2的解集为 （ ）
A.（0，4） B.（0，+∞) C. (0,4)∪(4,+∞) D (,+∞)
Cf(x)=min{3+logx,log2x}=分别解f(x)<2可得04,故应选C.
2.点集{(x,y)|||x|-1|+|y|=2}的图形是一条封闭的折线，这条封闭折线所围成的区域的面积是 （ ）
A.14 B.16 C.18 D.20
2.A||x|-1|+|y|=2可化为|y|=2-||x|-1|,即
y=
根据曲线|y|=2-||x|-1|的对称性可以作出图象
的变换，即由y=|x|的曲线向下平移一个单位，
得y=|x|-1,再将y轴下方的图象对折到x轴的
上方，可得y=||x|-1|,关于x轴对称可得y=-||x|-1|,
再向上平移两个单位可得y=2-||x|-1|,最后可得|y|=2-||x|-1|的图象如图所示，其面积为
（3）2-2（）2=14，故应选A.
3.如果不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-23．C 由已知，y=f(-x)=ax2+x-c,即y=-x2+x+2,其图象为C.
4.实系数方程f(x)=x2+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：
（1）的值域；
（2）（a-1）2+(b-2)2的值域；
（3）a+b-3的值域.
4.解答：由题意知：f（0）>0,f（1）<0,f（2）>0
b>0,a+2b+1<0,a+b+2>0.
如图所示，A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0）.
又由所求量的几何意义知，值域分别为
（1）（，1）；（2）（8，17）；（3）（-5，-4）.
圆锥曲线新题原创4道
1．在直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为 （ ）
A.（0，1） B.（1，+∞) C.(0,5) D.(5,+∞)
1．C方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2可以变形为m=,即得,∴其表示双曲线上一点（x,y)到定点（0,-1)与定直线x-2y+3=0之比为常数e=,又由e>1,可得02．已知曲线f(x)=x3+x2+x+3在x= -1处的切线恰好与抛物线y=2px2相切，则过该抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长度为 （ ）
A.4 B. C.8 D.
2.A 由已知可得k=f′(-1)=3×(-1)2+2×(-1)+1=2,又由切点为（-1，2）得其切线方程为y-2=2(x+1),即y=2x+4.设此直线与抛物线切于点（x0,2px),则k=4px0=2,得px0=,又2x0+4=2px,解得x0=-4,p=-,由此可得抛物线的方程为x2=-4y,其过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长度为4，故应选A.
3.设A={（x,y)|(x-1)2+y2≤25},B={(x,y)|(x+1)2+y2≤25},Ct={(x,y)||x|≤t,|y|≤t,t>0},则满足Ct=A∩B时，t的最大值是 （ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
3.A因为A构造的图形是以（1，0）为圆心，5为
半径的圆，B构造的图形是以（-1，0）为圆心，5
为半径的圆，Ct是以E（t,t)，F（t,-t),G(-t,-t),H(-t,t)为
顶点的正方形，如图所示，要使t最大，只需正方形
内接于A∩B图形，这时，由E（t,t)在(x+1)2+y2=25上
得t=3.所以满足条件的t的最大值为3.故应选A.
4.已知平面上两点M（-5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是 （ ）
①y=x+1;②y=2;③y=x;④y=2x+1.
A.①③ B.①② C.②③ D.③④
4.B由题意可知满足|PM|-|PN|=6的P的轨迹是双曲线的右支，根据“单曲型直线”的定义可知，就是求哪条直线与双曲线的右支有交点.故选B.
空间图形新题原创5道
1.有六根细木棒，其中较长的两根分别为a、a,其余四根均为a,用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为 （ ）
A.0 B. C.0或 D.以上皆不对
讲解：B。如图所示，本题共可作出两幅图，若不细辨别，可立即得C答案，但若对两幅图的存在性稍作回想，立即发现图实质上是一个陷阱，此图根本不存在.
取AC中点E，连结BE、ED，得BE=ED=a，而BE+ED=a2．一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么积m·n是 （ ）
A.6 B.3 C.54 D.24
讲解：A。设六面体与八面体的内切球半径分别为r1与r2,再设六面体中的正三棱锥A—BCD的高为h1,八面体中的正四棱锥M—NPQR的高为h2,如图所示，则h1=a,h2=a.
∵V正六面体=2·h1·S△BCD=6·r1·S△ABC，∴r1=h1=a.
又∵V正八面体=2·h2·S正方形NPQR=8·r2·S△MNP，
∴a3=2r2a2,r2=a,于是是最简分数，
即m=2,n=3,∴m·n=6.故应选A.
3.已知平面α∥平面β,直线lα,点P∈l,平面α、β间的距离为8，则在β内到点P的距离为10且到直线l的距离为9的点的轨迹是 （ ）
A.一个圆 B.两条直线 C.四个点 D.两个点
讲解：C。如图，设点P在平面β上的射影是O，则OP是平面α、β
的公垂线段，OP=8.在β内，到点P的距离等于10的点到点O的
距离等于6，故点的集合是以O为圆心，以6为半径的圆.在β内，
到直线l的距离等于9的点的集合是两条平行直线m、n,它们到点
O的距离都等于<6,所以直线m、n与这个圆均相交，
共有四个交点，因此所求的点的轨迹是四个点，故应C.
4. 空间 （填：“存在”或“不存在”）这样的四个点A、B、C、D，使得AB=CD=8 cm,AC=BD=10cm,AD=BC=13cm.
讲解： 要去寻找这样的点是很难叙述的.但我们可以虚拟
一些特殊的图形去模拟运动，判断结果.细看题目有四
个点，显然可以从四边形旋转所构成的三棱锥模型结构
看一下这些长度关系是否合理，来得出需要的结论.
在空间中，分别以8、10、13为边长，作如图所示平面
四边形，它由△ABC和△BCD组成，公共边为BC=13 cm,AC=BD=10cm,AB=CD=8 cm,固定△ABC所在的平面，令△BCD绕着边BC旋转.显然当D位于△ABC所在的平面时，AD最大.由BC=13cm,AC=10cm,AB=8cm,可得cosBAC=-,即可知∠BAC是钝角，故对于平行四边形（即D在平面ABC内时）ABDC，对角线AD的长小于对角线BC的长，即AD显然，当点D不在面ABC内时都有AD5.不共面的三条定直线l1,l2,l3互相平行，点A在l1上，点B在l2上，C、D两点在l3上，若CD=a(定值），则三棱锥A—BCD的体积 （ ）
A.由A点的变化而变化 B.由B点的变化而变化
C.有最大值，无最小值 D.为定值
讲解：D。如图，把△BCD当作三棱锥的底面，AO⊥面BCD于
O，∵l2∥l3,∴无论B点在l2上什么位置，△BCD的面积总
不变.又∵l2∥l3,∴l2、l3确定一个平面α,∵l1∥l2,且A不在l2、
l3确定的平面α上，∴l1平行于l2、l3确定的平面α,从而不论
A在l1的什么位置，高AO的长总不变.
又V=×高×底面积，故无论A、B在什么位置时，其体积
不变.
签字
教学组长签字： 教研主任签字:
课
后
备
注
学生的课堂表现：很积极□ 比较积极□ 一般□ 不积极□
需要
配合
学管：
家长：

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