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第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例
课标解读 课标要求 核心素养
1.能将实际问题转化为解三角形问题.(难点) 2.能够用正、余弦定理等知识和方法求解与高度、角度有关的实际应用问题.(重点) 1.通过应用正、余弦定理求高度、角度问题,培养学生的数学运算素养. 2.借助将实际问题转化为解三角形问题,培养学生的数学建模素养.
近测高塔远看山,量天度海只等闲;
古有九章勾股法,今看三角正余弦.
为了测定河岸A点到对岸C点的距离,在岸边选定100米长的基线AB,并测得∠ABC=60°,∠BAC=45°.
问题:已知这三个元素能求A,C两点之间的距离吗
答案　能,利用正弦定理就可以.
　实际问题中的有关术语:
名称 意义 图形表示
仰角和 俯角 测量时,以水平线为基准,视线在水平线上方时与水平线所成的角叫做①仰角;视线在水平线下方时与水平线所成的角叫做②俯角
续表
名称 意义 图形表示
方向角 目标方向线与正北或正南方向线所成的锐角,表示为北(南)偏东(西)××度
方位角 指北的方向线③顺时针转到目标方向线为止的水平角,方位角0°~360°
坡度 垂直距离与水平距离的比
坡角 坡面与水平面的夹角
特别提醒
　　(1)仰角与俯角是指目标视线与水平视线的夹角,水平视线易与铅垂线混淆.
(2)方位角中的顺时针易错记为逆时针.
探究一　测量一个可到达点到一个不可到达点之间的距离　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则B,C两点间的距离为　　　　m.
答案　60(-)
解析　由题意知∠C=180°-∠CAB-∠CBA=75°,
由正弦定理,得=,
而sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=,
所以BC===60(-)(m).
　(变结论)本例条件不变,改为求河的宽度.
解析　由题意知,∠ACB=180°-30°-75°=75°,
∴△ABC为等腰三角形.
河宽即AB边上的高,
AB边上的高与AC边上的高相等,
∴过B作BD⊥AC于D,
∴河宽BD=120×sin 30°=60(m).
思维突破
　　求距离问题时的注意点
(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定的三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
1-1　学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图所示,测得AC的长度为4 m,∠A=30°,则其跨度AB的长为(　　)
A.12 m B.8 m C.3 m D.4 m
答案　D　由题意知,∠A=∠B=30°,
所以∠C=180°-30°-30°=120°,
由正弦定理,得=,
即AB===4(m).
探究二　测量两个不可到达的点之间的距离　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例2　如图,CD是某铁路线上的一条穿山隧道,开凿前,在CD所在水平面上的山体外取点A,B,并测得四边形ABCD中,∠ABC=,∠BAD=,AB=BC=400米,AD=250米,则应开凿的隧道CD的长为　　　　米.
答案　350
解析　在△ABC中,AB=BC=400米,∠ABC=,
所以△ABC为等边三角形,∠BAC=,AC=AB=BC=400米,
又∠BAD=,所以∠CAD=,
所以在△ACD中,由余弦定理,得
CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD=4002+2502-2×400×250cos=122 500,
所以CD=350米.
思维突破
　　利用正、余弦定理测量不能到达的两点间的距离,是解斜三角形的一个重要方法,关键是构造一个或几个三角形,测出有关边长和角,再用正、余弦定理进行计算.
2-1　如图,某炮兵阵地位于A点,两观察所分别位于C,D两点.已知△ACD为正三角形,且DC= km,当目标出现在B点时,测得∠CDB=45°,∠BCD=75°,则炮兵阵地与目标的距离约是(　　)
A.1.1 km B.2.2 km C.2.9 km D.3.5 km
答案　C　∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°.
在△BCD中,由正弦定理,得BD== km.
在△ABD中,∠ADB=45°+60°=105°,
由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos 105°
=3++2×××
=5+2.
所以AB=≈2.9(km).
所以炮兵阵地与目标的距离约为2.9 km.
探究三　航行中的距离问题
　　例3　如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点至少需要多长时间
解析　由题意知AB=5(3+)海里,
因为∠DAB=90°-45°=45°,∠DBA=90°-60°=30°,
所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,
在△ADB中,由正弦定理,得=,
所以DB===
==
=10(海里),
又因为∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20海里,
所以在△DBC中,由余弦定理,得
CD2=BD2+BC2-2BD·BCcos∠DBC=300+1 200-2×10×20×=900,
所以CD=30海里(负值舍去),
所以需要的时间为30÷30=1(小时),
即救援船到达D点至少需要1小时.
　(变条件、变结论)本例中若不知救援船的速度,其他条件不变,要求救援船必须在40分钟内到达,则救援船的最小速度为多少 .
解析　设救援船的速度为v海里/小时,由本例解析求得CD=30海里,由≤,得v≥45.
即救援船的最小速度为45海里/小时.
思维突破
　　在航行问题中,通常是把方位角(方向角)与几何图形结合起来,一是从图形的完整性方面画出图形;二是把多边形向三角形转化.
探究四　测量高度问题
　　例4　如图,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=200米,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°,30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.
解析　在Rt△ABC中,∠ACB=45°,设AB=h,则BC=h.
在Rt△ABD中,∠ADB=30°,则BD=h.
在△BCD中,由余弦定理,得
CD2=BC2+BD2-2·BC·BD·cos∠CBD,
即2002=h2+(h)2-2·h·h·,
所以h2=2002,解得h=200(h=-200舍去),
即塔高AB=200米.
思维突破
　　解决有关高度问题时要注意的两个问题
(1)要清楚仰角与俯角的区别与联系.
(2)测量底部不能到达的建筑物的高度问题,一般是转化为直角三角形模型,但在某些情况下,仍需根据正、余弦定理来解决.
4-1　一轮船要通过一座跨江大桥,驾驶员在A处测得桥拱上端D的仰角为8°,轮船向前航行200 m后到达B处,又测得桥拱上端D的仰角为26°,若轮船驾驶舱离水面20 m,轮船最高处距离驾驶舱上方有30 m.问轮船能否通过这座跨江大桥 (sin 18°≈0.309 0,sin 154°≈0.438 4,sin 8°≈0.139 2,精确到0.1 m)
解析　如图,∠DAB=8°,∠DBC=26°,AB=200 m,
则∠ADB=18°,∠ABD=154°,
∴AD=·sin 154°≈283.8(m),
DC=AD·sin 8°≈39.5(m),又39.5 m>30 m,
∴轮船能通过这座跨江大桥.
探究五　测量角度问题
　　例5　甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处,乙船正以a n mile/h的速度向北行驶.已知甲船的速度是a n mile/h,甲船应沿着　　　　方向前进,才能最快与乙船相遇.
答案　北偏东30°
解析　如图,设经过t h两船在C点相遇,
则在△ABC中,BC=at n mile,
AC=at n mile,B=180°-60°=120°,
由=,得sin∠CAB===.
∵0°<∠CAB<60°,
∴∠CAB=30°,∴∠DAC=60°-30°=30°.
即甲船应沿北偏东30°的方向前进,才能最快与乙船相遇.
思维突破
　　测量角度问题的解题思路
(1)通过认真审题,结合已知条件画出示意图.
(2)确定所求角在示意图中对应的可解三角形.
(3)把已知条件中的方向角、方位角、距离等,借助平面几何和立体几何的相关知识,转化成该三角形中的边和角(至少有一边).
(4)利用正弦定理或余弦定理求解.
5-1　如图,甲船在A处遇险,在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的警报后,测得甲船是沿着北偏西15°的方向,以9海里/时的速度向某岛C靠近,如果乙船要在40分钟后追上甲船,则乙船应以多大速度,以何方向角航行
解析　设乙船速度为x海里/时,且乙船在40分钟后的点C处追上甲船,则BC=x=x(海里),AC=×9=6(海里).
由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,
即=102+62-2×10×6×cos(90°-15°+45°),
∴x=21,BC=14.
由正弦定理,得=,
∴sin B=×sin 120°≈0.37,
∴B≈21°47'.
答:乙船应以21海里/时的速度沿北偏东23°13'航行.
1.为了测某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶的仰角为30°,塔基的俯角为45°,那么塔AB的高为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.20m B.20m
C.20(1+)m D.30 m
答案　A　塔的高度为20tan 30°+20tan 45°=20(m).
2.如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达点S,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为(　　)
A.500 m B.200 m C.1 000 m D.1 000 m
答案　D　∵∠CAB=45°,∠CAS=30°,∴∠SAB=45°-30°=15°,
∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°-(90°-75°)=30°,∠ASB=180°-15°-30°=135°.
在△ABS中,
AB=
==1 000(m),
∴BC=AB·sin 45°=1 000×
=1 000(m).
3.在相距12千米的A,B两个小岛处测量目标C岛,测得∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C间的距离为(　　)
A.2 千米 B.6 千米
C.2 千米 D.4 千米
答案　B　∵∠CAB=75°,∠CBA=60°,
∴∠ACB=180°-(∠CAB+∠CBA)=45°.
由正弦定理,得=,
∴AC=×sin 60°=6千米.
4.有一条与两岸平行的河流,水速为1 m/s,小船速度为 m/s,为使所走路程最短,小船应朝与水速成　　　　方向行驶.
答案　135°
解析　如图,小船从A处过河,则设小船行驶的方向与岸成α,则因为水速为1 m/s,小船的速度为 m/s,则α=45°,小船的方向与水速成180°-45°=135°.
5.设地平面上一旗杆为OP,为测得它的高度h,在地平面上取一基线AB,AB=200 m,在A处测得P点的仰角为∠OAP=30°,在B处测得P点的仰角为∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,求旗杆的高h.
解析　∵OP=h,∠OAP=30°,∠OBP=45°,∠AOB=60°,AB=200 m.
在△AOP中,因为OP⊥OA,所以∠AOP=90°,
则OA==h,
同理,在△BOP中,∠BOP=90°,且∠OBP=45°,
所以OB=OP=h.
在△OAB中,由余弦定理,得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB,
即2002=3h2+h2-2h2·cos 60°,
解得h=.
答:旗杆的高h为 m.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　数学建模——根据条件选择恰当的数学模型
甲船在A处,乙船在A处的南偏东45°方向,距A有9海里的B处,向正南方向行驶,而甲船沿南偏东15°的方向并以28海里/时的速度行驶,恰能与乙船相遇,试求乙船的速度. (结果保留根号,无需求近似值)
解析　设乙船的速度为x海里/时,经过t小时甲船追上乙船,且在C处相遇(如图所示),
则在△ABC中,AC=28t,BC=xt,
∠CAB=45°-15°=30°,∠ABC=180°-45°=135°.
由正弦定理,得=,
即=,
所以x===14.
答:乙船的速度为每小时14 海里.
素养探究:作出示意图,把已知条件转化为三角形中的已知元素,利用正弦定理、余弦定理解决问题,过程中体现数学建模的核心素养.
　某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度向正东方向匀速行驶,经过t小时小艇与轮船相遇.试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短的时间与轮船相遇,并说明理由.
(1)若希望相遇时小艇航行距离最小,则小艇航行速度为多少
(2)若保证小艇在30分钟内(含30分钟)与轮船相遇,试求小艇航行速度的最小值.
解析　(1)解法一:设相遇时小艇航行距离为s海里,则s
=
=
=,
故当t= 时航行距离最小,为10海里,
此时v==30 (海里/时),
即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时航行距离最小.
解法二:如图所示,
因为轮船向正东方向匀速行驶,所以小艇航行的最短距离是港口到轮船正东航行的垂直距离,设相遇点为B,则△OAB是直角三角形,
轮船的航行时间t===(小时),
而小艇的航行距离为OB=OAcos 30°=20×=10海里,
此时小艇的航行速度
v==30 (海里/时),
即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时航行距离最小.
(2)设小艇航行速度的大小是v海里/时,小艇与轮船在B处相遇如图所示:
由余弦定理,得OB2=OA2+AB2-2OA·AB·cos∠OAB,
即(vt)2=202+(30t)2-2×20×30tcos(90°-30°),
化简,得
v2=-+900=400+675,
由于0故当=2时,v取最小值,为10海里/时,
故小艇航行速度的最小值为10海里/小时.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.在地面上的点D处测量某建筑物的高度时,测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°,已知建筑物底部高出地面20 m,则建筑物AB的高度为(　　)
A.20 m B.30 m C.40 m D.60 m
答案　C　如图,设O为建筑物顶端在地面的射影,在Rt△BOD中,∠ODB=30°,
OB=20 m,∴BD=40 m,OD=20 m,
在Rt△AOD中,OA=OD·tan 60°=60 m,
∴AB=OA-OB=40 m.
2.(2020吉林通化梅河口校级模拟)如图,在某观测塔塔顶A处测得信号站B,C的俯角分别为57°和45°,已知观测塔的高度AO=100 m,则信号站B,C间的距离约为(结果保留整数.参考数据:sin 57°≈0.84,cos 57°≈0.54)(　　)
A.30 m B.32 m C.34 m D.36 m
答案　D　在△ABO中,AO=100 m,∠ABO=57°,
故AB= m.
在△ABC中,∠ABC=123°,∠C=45°,
∴∠CAB=12°,∴sin 12°=sin(57°-45°) ≈×(0.84-0.54)=,
由正弦定理可得,=,
∴BC==×=≈36(m).
3.如图所示,长为4 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处2 m的地面上,另一端B在离堤足C处3 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C　由题意可得,在△ABC中,AB=4 m,AC=2 m,BC=3 m,且α+∠ACB=π.
由余弦定理可得,
AB2=AC2+BC2-2×AC×BC×cos∠ACB,
即42=22+32-2×2×3×cos(π-α),
解得cos α=,
所以sin α=,所以tan α==.
4.在“国庆节”期间,一商场为了做广告,在广场上升起了一个广告气球,其直径为4 m,当人们仰望气球中心的仰角为60°时,测得气球的视角为2°(当α很小时,可取sin α≈α,π≈3.14),则该气球的中心到地面的距离约为(　　)
A.99 m B.95 m C.90 m D.89 m
答案　A　如图,过C作CD⊥AD于D,CB垂直于地面于点B,
在Rt△ADC中,sin β=,β=1°,
所以AC==≈(m),
在Rt△ABC中,BC=AC·sin 60°=×≈99(m).
5.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD在水平面上,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是(　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
答案　B　由题意,知AD2=602+202=4 000,AC2=602+302=4 500,
在△ACD中,由余弦定理的推论,
得cos∠CAD==,
∠CAD∈(0°,180°),∴∠CAD=45°.
6.如图,位于A处的海面观测站获悉,在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,并在原地等待营救.在A处南偏西30°且相距20海里的C处有一艘救援船,该船接到观测站通知后立即前往B处救助,则sin∠ACB=　　　　.
答案　
解析　在△ABC中,AB=40海里,AC=20海里,∠BAC=120°.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800,所以BC=20(负值舍去).由正弦定理,得sin∠ACB=·sin∠BAC=.
7.有一个长为1千米的斜坡,它的倾斜角为75°,现要将其倾斜角改为30°,则坡底要伸长　　　　千米.
答案　
解析　如图,∠BAO=75°,∠C=30°,AB=1千米,
∴∠ABC=∠BAO-∠C=75°-30°=45°.
在△ABC中,=,
∴AC===(千米).
8.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m,则BC约等于　　　m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,≈1.73)
答案　60
解析　根据题图可得AB= m.在△ABC中,∠BCA=30°,∠BAC=67°-30°=37°,由正弦定理,得=,所以BC≈2××0.60=60(m).
9.如图,现要计算北江岸边两景点B与C之间的距离.由于地形的限制,需要在岸上选取A和D两个测量点,现测得AD⊥CD,AD=10 km,AB=14 km,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求两景点B与C之间的距离.(假设A,B,C,D四点在同一平面内,测量结果保留整数.参考数据:≈1.414)
解析　在△ABD中,设BD=x,
则BA2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠BDA,
即142=x2+102-20xcos 60°,
整理得x2-10x-96=0,
解得x1=16,x2=-6(舍去).
在△BCD中,由正弦定理,得=,
所以BC=×sin 30°
=8≈11(km),
即两景点B与C之间的距离约为11 km.
10.如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60 m,则建筑物的高度为(　　)
A.15 m B.20 m
C.25 m D.30 m
答案　D　设建筑物的高度为h,由题图知,
PA=2h,PB=h,PC=h,
∴在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理的推论,
得cos∠PBA=,①
cos∠PBC=.②
∵∠PBA+∠PBC=180°,
∴cos∠PBA+cos∠PBC=0.③
由①②③,解得h=30或h=-30(舍去),即建筑物的高度为30 m.
11.(多选题)如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B的距离,某同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出四种测量方案(△ABC的内角A,B,C所对的边分别记为a,b,c),则一定能确定A,B间距离的为(　　)
A.测量∠A,∠C,b B.测量a,b,∠C
C.测量∠A,∠B,a D.测量a,b,∠B
答案　ABC　对于A,在△ABC中,
∠B=π-(∠A+∠C),所以sin B=sin(A+C).
由正弦定理,得=,
所以c=,故A符合题意.
对于B,由c2=a2+b2-2abcos C,
可得c=,故B符合题意.
对于C,在△ABC中,∠C=π-(∠A+∠B),
所以sin C=sin(A+B),由正弦定理,得=,
所以c=,故C符合题意.
对于D,由余弦定理的推论cos B=解得的c可能有两个值,故D不符合题意.故一定能确定A,B间距离的为A,B,C.
12.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船之间的距离为　　　　m.
答案　30
解析　如图所示,设炮塔顶为A、底部为B,两船分别为C,D,则∠CBD=30°,∠ADB=30°,∠ACB=45°.
∵AB=30 m,∴BC=30 m,
在Rt△ABD中,BD==30(m).
在△BCD中,CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos 30°=900,
∴CD=30 m,即两船相距30 m.
13.甲,乙两楼相距20 m,从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲楼的高是　　　　,乙楼的高是　　　　.
答案　20 m; m
解析　如图所示,
在△ABD中,由正弦定理,
得=,
解得AB=20×=20,
∴h甲=20 m.
在△AED中,由正弦定理,
得=,
解得ED=20,
在△AEC中,由正弦定理,
得=,
解得EC=,
所以h乙=CD=ED-EC= m.
14.如图,在O处有一港口,两艘海轮B,C同时从港口O处出发向正北方向匀速航行,海轮B的航行速度为20海里/时,海轮C的航行速度大于海轮B的航行速度.在港口O北偏东60°方向上的A处有一观测站,1小时后在A处测得与海轮B的距离为30海里,且A处对两艘海轮B,C的视角均为30°.
(1)求观测站A到港口O的距离;
(2)求海轮C的航行速度.
解析　(1)由题意知OB=20海里.
因为AB=30海里,∠AOB=60°,所以在△AOB中,由余弦定理知,AB2=OA2+OB2-2×OA×OB×cos∠AOB,
即302=OA2+202-2×OA×20×cos 60°,
即OA2-20·OA-500=0,
解得OA=10+10(负值舍去).
所以观测站A到港口O的距离为
(10+10)海里.
(2)在△AOB中,由正弦定理知,
=,
即=,
解得sin∠OAB=.
在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=60°+∠OAB,所以∠ACB=90°-∠OAB,
所以sin∠ACB=sin(90°-∠OAB)
=cos∠OAB==.
在△ABC中,由正弦定理知,
=,即=,
解得BC=,
所以OC=OB+BC=海里.
所以海轮C的航行速度为海里/时.
15.如图,教室里悬挂着日光灯管AB,且AB=90 cm,灯线AC=BD,将灯管AB绕着过AB中点O的铅垂线OO'顺时针旋转60°至A'B',且始终保持灯线绷紧,若旋转后该灯管升高了15 cm,则AC的长为(　　)
A.30 cm B.40 cm C.60 cm D.75 cm
答案　D　设A'B'与OO'的交点为N,
过点A'作A'M⊥AC于M,连接MN,如图所示:
则CM=AC-15,
在△A'MN中,A'N=AB=45 cm,MN=45 cm,∠A'NM=60°,
所以A'M=45 cm.
在Rt△A'MC中,由勾股定理,得
(AC-15)2+452=A'C2 ,
又A'C=AC,则AC=75 cm.
16.疫情期间,为保障市民安全,要对所有街道进行消毒处理,某消毒装备的设计如图所示,PQ为路面,AB为消毒设备的高,BC为喷杆,AB⊥PQ,∠ABC=,C处是喷洒消毒水的喷头,且喷射角∠DCE=.已知AB=2,BC=1.
(1)当D,A重合时,求消毒水喷洒在路面上的宽度DE;
(2)求消毒水喷洒在路面上的宽度DE的最小值.
解析　(1)依题意得CD=AC==,
cos∠BDC==,
∵∠BDC+∠CDE=,
∴sin∠CDE=cos∠BDC=,
∵∠CDE∈,
∴cos∠CDE=,
∵∠DCE=,
∴sin∠CED=sin
=cos∠CDE+sin∠CDE=,
在△CDE中,由正弦定理得DE=·sin∠DCE=.
(2)设△CDE的高为h,
则h=2+1×sin=,
又S△CDE=DE·h=CD·CEsin,
∴5DE=CD·CE,
在△CDE中,由余弦定理,得
DE2=CD2+CE2-2CD·CEcos≥2CD·CE-CD·CE=CD·CE,
当且仅当CD=CE时,等号成立,故DE2≥CD·CE,而5DE=CD·CE,
所以DE≥,故DE的最小值为.
23 / 23第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例
课标解读 课标要求 核心素养
1.能将实际问题转化为解三角形问题.(难点) 2.能够用正、余弦定理等知识和方法求解与高度、角度有关的实际应用问题.(重点) 1.通过应用正、余弦定理求高度、角度问题,培养学生的数学运算素养. 2.借助将实际问题转化为解三角形问题,培养学生的数学建模素养.
近测高塔远看山,量天度海只等闲;
古有九章勾股法,今看三角正余弦.
为了测定河岸A点到对岸C点的距离,在岸边选定100米长的基线AB,并测得∠ABC=60°,∠BAC=45°.
问题:已知这三个元素能求A,C两点之间的距离吗
答案　能,利用正弦定理就可以.
　实际问题中的有关术语:
名称 意义 图形表示
仰角和 俯角 测量时,以水平线为基准,视线在水平线上方时与水平线所成的角叫做①仰角;视线在水平线下方时与水平线所成的角叫做②俯角
续表
名称 意义 图形表示
方向角 目标方向线与正北或正南方向线所成的锐角,表示为北(南)偏东(西)××度
方位角 指北的方向线③顺时针转到目标方向线为止的水平角,方位角0°~360°
坡度 垂直距离与水平距离的比
坡角 坡面与水平面的夹角
特别提醒
　　(1)仰角与俯角是指目标视线与水平视线的夹角,水平视线易与铅垂线混淆.
(2)方位角中的顺时针易错记为逆时针.
探究一　测量一个可到达点到一个不可到达点之间的距离　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则B,C两点间的距离为　　　　m.
　(变结论)本例条件不变,改为求河的宽度.
思维突破
　　求距离问题时的注意点
(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定的三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
1-1　学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图所示,测得AC的长度为4 m,∠A=30°,则其跨度AB的长为(　　)
A.12 m B.8 m C.3 m D.4 m
探究二　测量两个不可到达的点之间的距离　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例2　如图,CD是某铁路线上的一条穿山隧道,开凿前,在CD所在水平面上的山体外取点A,B,并测得四边形ABCD中,∠ABC=,∠BAD=,AB=BC=400米,AD=250米,则应开凿的隧道CD的长为　　　　米.
思维突破
　　利用正、余弦定理测量不能到达的两点间的距离,是解斜三角形的一个重要方法,关键是构造一个或几个三角形,测出有关边长和角,再用正、余弦定理进行计算.
2-1　如图,某炮兵阵地位于A点,两观察所分别位于C,D两点.已知△ACD为正三角形,且DC= km,当目标出现在B点时,测得∠CDB=45°,∠BCD=75°,则炮兵阵地与目标的距离约是(　　)
A.1.1 km B.2.2 km C.2.9 km D.3.5 km
探究三　航行中的距离问题
　　例3　如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点至少需要多长时间
　(变条件、变结论)本例中若不知救援船的速度,其他条件不变,要求救援船必须在40分钟内到达,则救援船的最小速度为多少 .
探究四　测量高度问题
　　例4　如图,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=200米,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°,30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.
思维突破
　　解决有关高度问题时要注意的两个问题
(1)要清楚仰角与俯角的区别与联系.
(2)测量底部不能到达的建筑物的高度问题,一般是转化为直角三角形模型,但在某些情况下,仍需根据正、余弦定理来解决.
4-1　一轮船要通过一座跨江大桥,驾驶员在A处测得桥拱上端D的仰角为8°,轮船向前航行200 m后到达B处,又测得桥拱上端D的仰角为26°,若轮船驾驶舱离水面20 m,轮船最高处距离驾驶舱上方有30 m.问轮船能否通过这座跨江大桥 (sin 18°≈0.309 0,sin 154°≈0.438 4,sin 8°≈0.139 2,精确到0.1 m)
探究五　测量角度问题
　　例5　甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处,乙船正以a n mile/h的速度向北行驶.已知甲船的速度是a n mile/h,甲船应沿着　　　　方向前进,才能最快与乙船相遇.
思维突破
　　测量角度问题的解题思路
(1)通过认真审题,结合已知条件画出示意图.
(2)确定所求角在示意图中对应的可解三角形.
(3)把已知条件中的方向角、方位角、距离等,借助平面几何和立体几何的相关知识,转化成该三角形中的边和角(至少有一边).
(4)利用正弦定理或余弦定理求解.
5-1　如图,甲船在A处遇险,在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的警报后,测得甲船是沿着北偏西15°的方向,以9海里/时的速度向某岛C靠近,如果乙船要在40分钟后追上甲船,则乙船应以多大速度,以何方向角航行
1.为了测某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶的仰角为30°,塔基的俯角为45°,那么塔AB的高为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.20m B.20m
C.20(1+)m D.30 m
2.如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达点S,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为(　　)
A.500 m B.200 m C.1 000 m D.1 000 m
3.在相距12千米的A,B两个小岛处测量目标C岛,测得∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C间的距离为(　　)
A.2 千米 B.6 千米 C.2 千米 D.4 千米
4.有一条与两岸平行的河流,水速为1 m/s,小船速度为 m/s,为使所走路程最短,小船应朝与水速成　　　　方向行驶.
5.设地平面上一旗杆为OP,为测得它的高度h,在地平面上取一基线AB,AB=200 m,在A处测得P点的仰角为∠OAP=30°,在B处测得P点的仰角为∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,求旗杆的高h.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　
数学建模——根据条件选择恰当的数学模型
甲船在A处,乙船在A处的南偏东45°方向,距A有9海里的B处,向正南方向行驶,而甲船沿南偏东15°的方向并以28海里/时的速度行驶,恰能与乙船相遇,试求乙船的速度. (结果保留根号,无需求近似值)
　某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度向正东方向匀速行驶,经过t小时小艇与轮船相遇.试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短的时间与轮船相遇,并说明理由.
(1)若希望相遇时小艇航行距离最小,则小艇航行速度为多少
(2)若保证小艇在30分钟内(含30分钟)与轮船相遇,试求小艇航行速度的最小值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.在地面上的点D处测量某建筑物的高度时,测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°,已知建筑物底部高出地面20 m,则建筑物AB的高度为(　　)
A.20 m B.30 m C.40 m D.60 m
2.(2020吉林通化梅河口校级模拟)如图,在某观测塔塔顶A处测得信号站B,C的俯角分别为57°和45°,已知观测塔的高度AO=100 m,则信号站B,C间的距离约为(结果保留整数.参考数据:sin 57°≈0.84,cos 57°≈0.54)(　　)
A.30 m B.32 m C.34 m D.36 m
3.如图所示,长为4 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处2 m的地面上,另一端B在离堤足C处3 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α等于(　　)
A. B. C. D.
4.在“国庆节”期间,一商场为了做广告,在广场上升起了一个广告气球,其直径为4 m,当人们仰望气球中心的仰角为60°时,测得气球的视角为2°(当α很小时,可取sin α≈α,π≈3.14),则该气球的中心到地面的距离约为(　　)
A.99 m B.95 m C.90 m D.89 m
5.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD在水平面上,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是(　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
6.如图,位于A处的海面观测站获悉,在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,并在原地等待营救.在A处南偏西30°且相距20海里的C处有一艘救援船,该船接到观测站通知后立即前往B处救助,则sin∠ACB=　　　　.
7.有一个长为1千米的斜坡,它的倾斜角为75°,现要将其倾斜角改为30°,则坡底要伸长　　　　千米.
8.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m,则BC约等于　　　m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,≈1.73)
9.如图,现要计算北江岸边两景点B与C之间的距离.由于地形的限制,需要在岸上选取A和D两个测量点,现测得AD⊥CD,AD=10 km,AB=14 km,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求两景点B与C之间的距离.(假设A,B,C,D四点在同一平面内,测量结果保留整数.参考数据:≈1.414)
10.如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60 m,则建筑物的高度为(　　)
A.15 m B.20 m C.25 m D.30 m
11.(多选题)如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B的距离,某同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出四种测量方案(△ABC的内角A,B,C所对的边分别记为a,b,c),则一定能确定A,B间距离的为(　　)
A.测量∠A,∠C,b B.测量a,b,∠C C.测量∠A,∠B,a D.测量a,b,∠B
12.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船之间的距离为　　　　m.
13.甲,乙两楼相距20 m,从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲楼的高是　　　　,乙楼的高是　　　　.
14.如图,在O处有一港口,两艘海轮B,C同时从港口O处出发向正北方向匀速航行,海轮B的航行速度为20海里/时,海轮C的航行速度大于海轮B的航行速度.在港口O北偏东60°方向上的A处有一观测站,1小时后在A处测得与海轮B的距离为30海里,且A处对两艘海轮B,C的视角均为30°.
(1)求观测站A到港口O的距离;
(2)求海轮C的航行速度.
15.如图,教室里悬挂着日光灯管AB,且AB=90 cm,灯线AC=BD,将灯管AB绕着过AB中点O的铅垂线OO'顺时针旋转60°至A'B',且始终保持灯线绷紧,若旋转后该灯管升高了15 cm,则AC的长为(　　)
A.30 cm B.40 cm C.60 cm D.75 cm
16.疫情期间,为保障市民安全,要对所有街道进行消毒处理,某消毒装备的设计如图所示,PQ为路面,AB为消毒设备的高,BC为喷杆,AB⊥PQ,∠ABC=,C处是喷洒消毒水的喷头,且喷射角∠DCE=.已知AB=2,BC=1.
(1)当D,A重合时,求消毒水喷洒在路面上的宽度DE;
(2)求消毒水喷洒在路面上的宽度DE的最小值.
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