资源简介 第3课时 余弦定理、正弦定理应用探究一 利用正、余弦定理解三角形 例1 (1)在△ABC中,D为边BC的中点,已知AC=,CD=2,∠CDA=,则AD= ;sin B= . (2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知=.①求的值;②若cos B=,△ABC的周长为5,求b的长.思维突破 与解三角形有关的问题,首先要结合已知条件,选用恰当的余弦定理或正弦定理求解,过程中注意边角的互化和等式的恒等变形.1-1 在△ABC中,已知A=30°,AB=2,BC=,则cos∠ACB= ,AC= . 1-2 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= . 探究二 判定三角形的形状 例2 若a2+b2-c2=ab,且2cos Asin B=sin C,试确定△ABC的形状.2-1 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos C-2ccos B=a,且B=2C,则△ABC是( )A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形探究三 三角形中的几何计算 例3 (1)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=,a=2,S△ABC=,则b的值为( )A. B. C.2 D.2(2)(易错题)在△ABC中,若C=3B,求的取值范围.易错点拨 常因忽视三角形的隐含条件而出现解题错误.1.解决三角形中最值与范围问题:记住常用结论,理清三角形中基本量的关系,把所求量表示成某一变量的函数(三角函数),从而转化为求函数的值域或最值的问题.2.求解与三角形面积有关的平面图形面积的技巧:(1)若所给图形为平面三角形,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式S=absin C=bcsin A=acsin B进行求解.(2)若平面图形为不规则图形,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积.3-1 (2018北京,14,5分)若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B= ;的取值范围是 . 3-2 在△ABC中,BC=2,AC=3,∠BAC=2∠B,D是BC上一点且AD⊥AC,则△ABD的面积为 . 1.在△ABC中,内角C为钝角,sin C=,AC=5,AB=3,则BC=( ) A.2 B.3 C.5 D.102.在△ABC中,已知BC=1,B=,则△ABC的面积为,则AC的长为 . 3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sin B= ,c= . 4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 sin2C-sin2B=sin2A-sin Asin B.(1)求角C;(2)若A=,△ABC的面积为4,M为AB的中点,求CM的长. 逻辑推理——不等式在求最值问题中的应用已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为 . 素养探究:解决与三角形有关的最值(范围)问题,可通过利用正弦定理、余弦定理转化利用基本不等式、函数的性质求解,有时还需要数形结合寻找解题思路,过程中体现逻辑推理的核心素养. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin A+bsin B=2csin C,则角C的最大值为 ;若c=2a=2,则△ABC的面积为 . 1.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC为( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asin B·cos C+csin Bcos A=b,且a>b,则B=( )A. B. C. D.3.在平行四边形ABCD中,AC=,BD=,周长为18,则平行四边形ABCD的面积是( )A.14 B.15 C.16 D.174.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.若sin B·sin C=sin2A,则△ABC是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形5.如图,在△ABC中,C=,BC=4,点D在边AC上,AD=DB,DE⊥AB,E为垂足,若DE=2,则cos A= . 6.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知b2=ac,a2-c2=ac-bc,则= . 7.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知b=acos C+c.(1)求角A;(2)若·=3,求a的最小值.8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=( )A. B. C. D.9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知csin A=acos C,则C= ;若c=,△ABC的面积为,则a+b= . 10.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边.若△ABC的面积为,A=15°,则+的值为 . 11.已知在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c-a=2acos B,则的取值范围是 . 12.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=.(1)求角A;(2)若b=,c=4,点D在△ABC内,且BD=,∠BDC+∠A=π,求△BCD的面积.13.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且C=,a+b=λc(其中λ>1).(1)若λ=,证明:△ABC为直角三角形;(2)若·=λ2,且c=3,求λ的值.14.已知△ABC是边长为3的等边三角形,点D为BC边上一点,且BD=1,E,F分别为边AC,AB上的点(不包括端点),则△DEF的周长的最小值为 ,此时△BDF的面积为 . 15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c(sin C-sin A)=(sin A+sin B)(b-a).(1)求B;(2)若AB=8,点M,N是线段BC的两个三等分点,BM=BC,=2,求AM的值.18 / 19第3课时 余弦定理、正弦定理应用探究一 利用正、余弦定理解三角形 例1 (1)在△ABC中,D为边BC的中点,已知AC=,CD=2,∠CDA=,则AD= ;sin B= . (2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知=.①求的值;②若cos B=,△ABC的周长为5,求b的长.答案 (1)3;解析 (1)在△ADC中,由余弦定理的推论,知cos∠CDA=,即=,解得AD=3(负值舍去).在△ADB中,由余弦定理,知AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=9+4+2×3×2×=19,所以AB=(负值舍去),又由正弦定理,知=,所以sin B===.(2)①由正弦定理,设===k,则==,所以=,即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)·cos B,化简,得sin(A+B)=2sin(B+C),又A+B+C=π,所以sin C=2sin A.所以=2.②由=2,得c=2a.由余弦定理及cos B=,得b2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-4a2×=4a2,所以b=2a,又a+b+c=5,所以a=1,因此b=2.思维突破 与解三角形有关的问题,首先要结合已知条件,选用恰当的余弦定理或正弦定理求解,过程中注意边角的互化和等式的恒等变形.1-1 在△ABC中,已知A=30°,AB=2,BC=,则cos∠ACB= ,AC= . 答案 ;+解析 根据正弦定理,得=,可得sin∠ACB===,故cos∠ACB=,因为cos A===,所以AC=+(负值舍去).1-2 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= . 答案 解析 在△ABC中,由cos A=,cos C=,可得sin A=,sin C=,所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,由正弦定理得b==.探究二 判定三角形的形状 例2 若a2+b2-c2=ab,且2cos Asin B=sin C,试确定△ABC的形状.解析 解法一:(利用边的关系来判断)由正弦定理得=,由2cos Asin B=sin C,得cos A==.又由余弦定理的推论,得cos A=,∴=,即c2=b2+c2-a2,所以a2=b2,所以a=b.又∵a2+b2-c2=ab,∴2b2-c2=b2,所以b2=c2,∴b=c,∴a=b=c.∴△ABC为等边三角形.解法二:(用角的关系来判断)∵A+B+C=180°,∴sin C=sin(A+B),又∵2cos Asin B=sin C,∴2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,∴sin(A-B)=0.又∵A与B均为△ABC的内角,∴A=B.又由a2+b2-c2=ab,由余弦定理的推论,得cos C===,又0°∴△ABC为等边三角形.2-1 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos C-2ccos B=a,且B=2C,则△ABC是( )A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形答案 B ∵2bcos C-2ccos B=a,∴2sin Bcos C-2sin Ccos B=sin A=sin(B+C),即sin Bcos C=3cos Bsin C,∴tan B=3tan C,又B=2C,∴=3tan C,解得tan C=(舍负).∵C∈(0,π),∴C=,B=2C=,A=,无法判断是否有相等的边,故△ABC为直角三角形.探究三 三角形中的几何计算 例3 (1)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=,a=2,S△ABC=,则b的值为( )A. B. C.2 D.2(2)(易错题)在△ABC中,若C=3B,求的取值范围.答案 (1)A 解析 (1)因为△ABC为锐角三角形,sin A=,所以cos A=.由S△ABC=bcsin A=,得bc=3.①由cos A=得b2+c2=6.②联立①②,解得b=(负值舍去).(2)由正弦定理可知====cos 2B+2cos2B=4cos2B-1.又因为A+B+C=180°,C=3B,所以0°所以1<4cos2B-1<3,所以1<<3.即的取值范围是(1,3).易错点拨 常因忽视三角形的隐含条件而出现解题错误.1.解决三角形中最值与范围问题:记住常用结论,理清三角形中基本量的关系,把所求量表示成某一变量的函数(三角函数),从而转化为求函数的值域或最值的问题.2.求解与三角形面积有关的平面图形面积的技巧:(1)若所给图形为平面三角形,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式S=absin C=bcsin A=acsin B进行求解.(2)若平面图形为不规则图形,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积.3-1 (2018北京,14,5分)若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B= ;的取值范围是 . 答案 ;(2,+∞)解析 依题意有acsin B=(a2+c2-b2)=×2accos B,则tan B=,∵0<∠B<π,∴∠B=,∴===+=+·,∵∠C为钝角,∴-∠A>,又∠A>0,∴0<∠A<,则0∴>,∴>+×=2.故的取值范围为(2,+∞).3-2 在△ABC中,BC=2,AC=3,∠BAC=2∠B,D是BC上一点且AD⊥AC,则△ABD的面积为 . 答案 解析 如图所示,∵BC=2,AC=3,∠BAC=2∠B,∴在△ABC中,由正弦定理==,可得==,解得cos B=,可得sin B==,∴cos∠BAC=cos 2B=2cos2B-1=-.∵AD⊥AC,∴sin∠BAD=sin=-cos∠BAC=,可得cos∠BAD==,∴sin∠ADB=sin(∠BAD+B)=×+×=.∵在△ABC中,由余弦定理可得32=AB2+(2)2-2AB×2×,解得AB=1或AB=3.若AB=AC=3,则B=C.由∠BAC=2∠B可得B=C=,A=,即B和D重合,矛盾,∴AB=3舍去.∴AB=1,∴在△ABD中,由正弦定理,得=,∴AD==,∴S△ABD=AB·AD·sin∠BAD=×AB×AD×=.1.在△ABC中,内角C为钝角,sin C=,AC=5,AB=3,则BC=( ) A.2 B.3 C.5 D.10答案 A 由题意知,cos C=-,设BC=x,由余弦定理,得(3)2=52+x2-2×5x·,化简,得x2+8x-20=0,解得x1=2,x2=-10(舍去),所以BC=2.2.在△ABC中,已知BC=1,B=,则△ABC的面积为,则AC的长为 . 答案 解析 由三角形面积公式得·BC·AB·sin B=,解得AB=4,由余弦定理,得AC2=1+16-2×1×4×=13,所以AC的长为.3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sin B= ,c= . 答案 ;3解析 因为a=,b=2,A=60°,所以由正弦定理,得sin B===.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得c2-2c-3=0,所以c=3(负值舍去).4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 sin2C-sin2B=sin2A-sin Asin B.(1)求角C;(2)若A=,△ABC的面积为4,M为AB的中点,求CM的长.解析 (1)由正弦定理,知sin2C-sin2B=sin2A-sin A·sin B可化为c2-b2=a2-ab,即c2=a2+b2-ab.又由余弦定理,得cos C==,0(2)因为A=C=,所以△ABC为等腰三角形,且顶角B=,故S△ABC=a2sin B=a2=4,所以a=4(负值舍去).在△MBC中,由余弦定理,得CM2=MB2+BC2-2MB·BCcos B=4+16+2×2×4×=28,解得CM=2(负值舍去).故CM的长为2. 逻辑推理——不等式在求最值问题中的应用已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为 . 答案 解析 ∵a=2,(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,∴(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C.由正弦定理,得(a+b)(a-b)=(c-b)·c,∴a2-b2=c2-bc.由余弦定理,得cos A==,∴A=60°且b2+c2-4=bc,∴b2+c2-4=bc≥2bc-4,当且仅当b=c时等号成立.∴bc≤4,∴S△ABC=bcsin A≤,∴△ABC面积的最大值为.素养探究:解决与三角形有关的最值(范围)问题,可通过利用正弦定理、余弦定理转化利用基本不等式、函数的性质求解,有时还需要数形结合寻找解题思路,过程中体现逻辑推理的核心素养. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin A+bsin B=2csin C,则角C的最大值为 ;若c=2a=2,则△ABC的面积为 . 答案 ;解析 由正弦定理,得a2+b2=2c2,又由余弦定理,得a2+b2=2(a2+b2-2abcos C),即4abcos C=a2+b2≥2ab,cos C≥,所以0又c=2a=2,则由余弦定理,得cos B===-,∴sin B==,故△ABC的面积为S=acsin B=. 1.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC为( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形答案 B 由正弦定理,得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,∴sin(B+C)=sin2A,即sin A=sin2A.∵A∈(0,π),∴sin A>0,∴sin A=1,即A=,∴△ABC为直角三角形.2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asin B·cos C+csin Bcos A=b,且a>b,则B=( )A. B. C. D.答案 A 由正弦定理,得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=sin B.∵sin B≠0,∴sin Acos C+sin Ccos A=,即sin(A+C)=,∴sin B=,∵a>b,∴B为锐角,∴B=.3.在平行四边形ABCD中,AC=,BD=,周长为18,则平行四边形ABCD的面积是( )A.14 B.15 C.16 D.17答案 C 设平行四边形ABCD的两邻边AD=b,AB=a,∠BAD=α,则a+b=9,a2+b2-2abcos α=17,a2+b2-2abcos(180°-α)=65,解得a=5,b=4,cos α=,或a=4,b=5,cos α=,所以S ABCD=absin α=16.4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.若sin B·sin C=sin2A,则△ABC是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案 C 由b2+c2=a2+bc,得b2+c2-a2=bc,∴cos A==,∵A∈(0,π),∴A=.若sin B·sin C=sin2A,则bc=a2,∴b2+c2-2bc=0,∴(b-c)2=0,即b=c,∴△ABC是等边三角形.5.如图,在△ABC中,C=,BC=4,点D在边AC上,AD=DB,DE⊥AB,E为垂足,若DE=2,则cos A= . 答案 解析 在△ADE中,∵DE⊥AB,DE=2,∴AD=.∵AD=BD,∴BD=,∠A=∠ABD,∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A,∴在△BCD中,=,∴=,化简整理得cos A=.6.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知b2=ac,a2-c2=ac-bc,则= . 答案 解析 由a2-c2=ac-bc与b2=ac,得a2-c2=b2-bc,∴b2+c2-a2=bc,∴cos A==.∵A∈(0,π),∴A=,由b2=ac,得bsin B=csin A,∴==.7.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知b=acos C+c.(1)求角A;(2)若·=3,求a的最小值.解析 (1)∵在△ABC中,b-acos C=,∴由正弦定理知,sin B-sin Acos C=sin C,∵A+B+C=π,∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,∴sin Acos C+cos Asin C-sin Acos C=sin C,∴cos Asin C=sin C,∵sin C≠0,∴cos A=,∴A=.(2)由(1)及·=3得bc=6,∴a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-6≥2bc-6=6,当且仅当b=c时取等号,∴a的最小值为.8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=( )A. B.C. D.答案 B 由题意,得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,所以sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,则sin C(sin A+cos A)=sin Csin=0.因为sin C≠0,所以sin=0,又因为A∈(0,π),所以A+=π,所以A=.由正弦定理=,得=,所以sin C=,所以C=.9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知csin A=acos C,则C= ;若c=,△ABC的面积为,则a+b= . 答案 ;7解析 由正弦定理可得sin Csin A=sin Acos C,又sin A≠0,∴tan C=,∴C=.∵absin C=,∴ab=6,由余弦定理得,31=a2+b2-ab,∴31=(a+b)2-3ab,∴a+b=7(负值舍去).10.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边.若△ABC的面积为,A=15°,则+的值为 . 答案 解析 因为△ABC的面积S=bcsin A=,所以2bc=.所以cos A==-=-=-sin A,所以+==2(sin A+cos A)=2sin(A+45°)=2×sin 60°=.11.已知在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c-a=2acos B,则的取值范围是 . 答案 解析 由c-a=2acos B,得sin C-sin A=2sin Acos B,∴sin(A+B)-sin A=2sin Acos B,∴sinAcos B+cos Asin B-2sin Acos B-sin A=0,∴sin(B-A)-sin A=0,∴sin(B-A)=sin A,∴B-A=A,即B=2A.∵△ABC为锐角三角形,∴即∴=sin A∈.12.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=.(1)求角A;(2)若b=,c=4,点D在△ABC内,且BD=,∠BDC+∠A=π,求△BCD的面积.解析 (1)∵=,∴acos B=ccos A-bcos A,由正弦定理可得sin Acos B=sin Ccos A-sin Bcos A,∴sin(A+B)=sin C=sin Ccos A.∵sin C≠0,∴cos A=,∵A∈(0,π),∴A=.(2)∵A=,b=,c=4,∴在△ABC中,由余弦定理可得,BC===.∵∠BDC+∠A=π,∴∠BDC=,又BD=,∴在△BCD中,由余弦定理可得BC2=BD2+CD2-2BD·CD·cos∠BDC,即10=2+CD2-2××CD×,可得CD2+2CD-8=0,解得CD=2或CD=-4(舍去),∴S△BCD=BD·CD·sin∠BDC=××2×=1.13.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且C=,a+b=λc(其中λ>1).(1)若λ=,证明:△ABC为直角三角形;(2)若·=λ2,且c=3,求λ的值.解析 (1)证明:∵λ=,∴a+b=c,由正弦定理得sin A+sin B=sin C,∵C=,∴sin B+sin=,即sin B+cos B+sin B=,∴sin B+cos B=,则sin=,从而B+=或B+=,解得B=或B=.若B=,则A=,即△ABC为直角三角形;若B=,则△ABC为直角三角形.故△ABC为直角三角形.(2)若·=λ2,则a·b=λ2,∴ab=λ2.由余弦定理知a2+b2-c2=2abcos C,即a2+b2-ab=c2=9,即(a+b)2-3ab=9,又a+b=3λ,故9λ2-λ2=9,解得λ2=4,又λ>1,∴λ=2.14.已知△ABC是边长为3的等边三角形,点D为BC边上一点,且BD=1,E,F分别为边AC,AB上的点(不包括端点),则△DEF的周长的最小值为 ,此时△BDF的面积为 . 答案 ;解析 如图,设D关于直线AB的对称点为M,关于AC的对称点为N,连接DM,交AB于点P,连接DN,交AC于点Q,连接MN,分别与AB,AC交于点F,E,则△DEF的周长的最小值为MN.∵BD=1,即D为BC的三等分点,∴DM=2DP=,DN=2DQ=2,又∠MDN=120°,∴在△DMN中,MN==.由Rt△DPF与Rt△MPF全等,得DF=MF.在△MDN中,DM=,DN=2,MN=,由余弦定理的推论得cos M=,DF=MF=×=.在Rt△DPF中,DP=,DF=,∴PF=.易知BP=,∴△BDF的面积S=BF×DP=××=.15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c(sin C-sin A)=(sin A+sin B)(b-a).(1)求B;(2)若AB=8,点M,N是线段BC的两个三等分点,BM=BC,=2,求AM的值.解析 (1)∵c(sin C-sin A)=(sin A+sin B)(b-a),∴由正弦定理得c2-ca=b2-a2,∴a2+c2-b2=ca,∴cos B==,又0(2)由M,N是线段BC的两个三等分点,设BM=x,则BN=2x,AN=2x.解法一:已知B=,AB=8,在△ABN中,由余弦定理得12x2=64+4x2-2×8×2xcos,解得x=2(负值舍去),即BM=2,则AM===2.解法二:在△ABN中,由正弦定理,得=,∴sin∠BAN=,又BN=2x,AN=2x,∴BN∴∠ANB=,又AB=8,∴BN=2x=4,∴x=2,∴MN=2,AN=4,∴在Rt△ANM中,AM==2.18 / 19 展开更多...... 收起↑ 资源列表 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第3课时 余弦定理、正弦定理应用 - 学案.docx 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第3课时 余弦定理、正弦定理应用.docx