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6.4.3　余弦定理、正弦定理
第1课时　余弦定理
课标解读 课标要求 核心素养
1.借助向量的运算,掌握余弦定理的证明、余弦定理的方法及两种表示形式.(重点) 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形.(重点) 1.借助余弦定理的推导,提升学生的逻辑推理的素养. 2.通过余弦定理的应用,培养学生的数学运算的素养.
如图,修建一条隧道,要穿过一座山,这就要进行工程设计,需要测算山脚的长度,工程技术人员若在地面上选一适当位置A,量出A到山脚B,C的距离,再利用经纬仪(测角仪)测出A对山脚B,C的张角.
问题1:这样能求出山脚的长度BC吗
答案　根据相似三角形的原理可以求出BC.
问题2:能直接求出山脚的长度BC吗
答案　通过今天学习的余弦定理即可求出BC.
1.余弦定理
三角形中任何一边的平方,等于其他两边①平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的②两倍.即a2=③b2+c2-2bccos A,
b2=④a2+c2-2accos B,
c2=⑤a2+b2-2abcos C.
推论:
cos A=⑥ ,
cos B=⑦,
cos C=⑧.
思考:勾股定理与余弦定理有什么关系
提示　余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.
2.解三角形
(1)三角形的元素:三角形的⑨三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.
(2)已知三角形的几个元素求⑩其他元素的过程叫做解三角形.
3.余弦定理可以解决两类问题
(1)已知三边,求三角.
(2)已知两边及一角,求第三边和其他两个角.
探究一　已知三角形的两边及一角解三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　(1)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=,且bA. B.2 C.2 D.3
(2)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=　　　　.
答案　(1)B　(2)1
解析　(1)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即
22=b2+(2)2-2×b×2×,
化简,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,
因为b(2)由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C,
即13=AC2+9-2AC×3×cos 120°,
化简,得AC2+3AC-4=0,解得AC=1或AC=-4(舍去).
思维突破
　　用余弦定理解决已知三角形的两边及一角求三角形第三边的问题时,列出方程后要根据边长为正及大边对大角取舍方程的根.
1-1　在三角形ABC中,若a=2,b=2,C=15°,则c=　　　　 .
答案　-
解析　cos 15°=cos(45°-30°)=.
由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=4+8-2×(+)=8-4,
所以c=-.
1-2　在△ABC中,若AB=,AC=5,且cos C=,则BC=　　　　.
答案　4或5
解析　由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos C,即()2=52+BC2-2×5×BC×,
所以BC2-9BC+20=0,解得BC=4或BC=5.
探究二　已知三角形的三边解三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例2　(1)在△ABC中,若a=7,b=4,c=,则△ABC的最小的角为　　　　.
(2)已知△ABC的三边长分别为a=2,b=2,c=+,解此三角形.
答案　(1)　
解析　(1)因为c所以cos C===,
所以C=.
(2)由余弦定理的推论得:cos A===,
所以A=60°.
cos B=
==,
所以B=45°,所以C=180°-A-B=75°.
　(变结论)若例2(1)中的条件不变,如何求△ABC的最大的角的余弦值
解析　因为ccos A====.
故△ABC的最大的角的余弦值为.
思维突破
　　已知三角形的三边解三角形的方法
(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值,值为正,角为锐角;值为负,角为钝角,结果唯一.
(2)若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求解.
2-1　已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a+b=2c,3c=5b,则角A的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D　由a+b=2c,3c=5b可得:a=b.
设b=3x,则a=7x,c=5x,x>0,
由余弦定理的推论可得,cos A===-,
而A∈(0,π),所以A=π.
探究三　判断三角形的形状
　　例3　在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2+b2-ab=c2,且=,判断△ABC的形状.
解析　由a2+b2-ab=c2,得a2+b2-c2=ab,
所以cos C= =,所以C=,
又=,所以c=b,所以a2+b2-ab=(b)2,
所以a2-ab-2b2=0,
所以a=2b,所以b2+c2=4b2=a2,
故△ABC为直角三角形.
思维突破
　　若式子中含有角的余弦或是边的二次式,一般考虑用余弦定理,通过代数恒等变换得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.
3-1　在△ABC中,已知cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),判断△ABC的形状.
解析　在△ABC中,由cos2=,
得=,所以cos A=,
由余弦定理的推论,得=,
所以b2+c2-a2=2b2,即c2=a2+b2,
故△ABC是直角三角形.
1.在△ABC中,边a,b,c所对的角分别为A,B,C,b=3,c=5,A=120°,则a=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.7 B. C.49 D.19
答案　A　a2=b2+c2-2bccos A=9+25-2×3×5cos 120°=49,所以a=7.
2.在△ABC中,a2=c2+b2+bc,则A等于(　　)
A.60° B.45° C.120° D.150°
答案　D　由已知得b2+c2-a2=-bc,根据余弦定理的推论,得cos A==-,所以A=150°.
3.在△ABC中,已知a=4,b=6,C=120°,则边c=　　　　　　.
答案　2
解析　由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcos C=16+36-2×4×6cos 120°=76,c=2.
4.在△ABC中,若a=2bcos C,则△ABC是　　　　三角形.
答案　等腰
解析　因为a=2bcos C=2b·,
所以a2=a2+b2-c2,所以b2=c2,即b=c,所以△ABC是等腰三角形.
5.在△ABC中, a=8,B=60°,c=4(+1),求b的值.
解析　由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B
=82+[4(+1)]2-2×8×4(+1)cos 60°
=64+16(4+2)-64(+1)×=96,
∴b=4.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　直观想象——三角形平面几何性质的应用
在△ABC中,已知AB=,cos∠ABC=,AC边上的中线BD=,求sin A的值.
解析　如图,设E为BC的中点,连接DE,
则DE∥AB,且DE=AB=.
因为∠BED+∠ABC=π,
所以cos∠BED=-cos∠ABC.
设BE=x,在△BDE中,利用余弦定理得,
BD2=BE2+ED2-2BE·ED·cos∠BED,
即5=x2+-2x××,
解得x=1或x=-(舍去).故BE=1,BC=2,
从而AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=,即AC=,
在△ABC中,由余弦定理的推论,得cos A===,所以sin A=.
素养探究:解三角形借助平面几何的性质,可以简化计算.利用三角形中位线的平行性把边角关系转化到一个三角形中,从而利用余弦定理求解,过程中体现直观想象的核心素养.
　如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acos C-c=2b.
(1)求角A的大小;
(2)若∠ABC=,AC边上的中线BD的长为,求△ABC的面积.
解析　(1)在△ABC中,2acos C-c=2b,
由余弦定理的推论,得2a·-c=2b,
即b2+c2-a2=-bc,
所以cos A==-,所以A=.
(2)因为∠ABC=,
由(1)得角A=,所以C=,
所以∠ABC=∠C,所以AC=AB,所以AC=AB=2AD,
在△ABD中,由余弦定理可得,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos A,
即BD2=4AD2+AD2-4AD·AD·cos A,
所以5AD2-4AD2×=35,解得AD=,
所以AB=AC=2,
所以S△ABC=AB·hAB=AB·ACsin A=×(2)2×sin =5.
故△ABC的面积为5.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b+c),则A=(　　)
A.90° B.60° C.120° D.150°
答案　C　
2.在△ABC中,已知a=,b=,C=,则△ABC是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.任意三角形
答案　B　
3.(2019山东青岛高一测试)在△ABC中,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则A=(　　)
A.90° B.60° C.135° D.150°
答案　B　∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc,
∴(b+c)2-a2=3bc,即b2+c2-a2=bc,
∴cos A==,∴A=60°.
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)·tan B=ac,则角B的值为(　　)
A. B.
C.或 D.或
答案　D　因为=cos B,结合已知等式得cos B·tan B=,
所以sin B=,所以B=或B=.
5.在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=(　　)
A. B. C. D.
答案　B　在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,
所以AC==,
根据余弦定理的推论可得cos∠BAC==-,
所以sin∠BAC==.
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=3,b=4,C=60°,则边c的值为　　　　.
答案　
解析　c2=a2+b2-2abcos C=9+16-2×3×4×=13,所以c=(负值舍去).
7.在△ABC中,B=60°,b2=ac,则△ABC为　　　　三角形.
答案　等边
解析　由b2=ac及余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得ac=a2+c2-ac,所以(a-c)2=0,所以a=c,
又B=60°,所以△ABC为等边三角形.
8.在△ABC中,A=,a=c,则=　　　　.
答案　1
解析　由余弦定理,得a2=b2+c2+bc.
把a=c代入,得b2+bc-2c2=0.
则+-2=0,
解得=-2(舍去)或=1.
9.在△ABC中,已知a=5,b=3,角C的余弦值是方程5x2+7x-6=0的根,求边长c的值.
解析　方程5x2+7x-6=0可化为
(5x-3)(x+2)=0,
解得x1=,x2=-2(舍去).∴cos C=.
∴c2=a2+b2-2abcos C=52+32-2×5×3×=16,
∴c=4(负值舍去),即边长c的值为4.
10.在△ABC中,若三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=1,c=4,B=45°,则sin C的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B　由b2=a2+c2-2accos B可得,
b2=1+32-2×1×4×=25,
所以b=5(负值舍去),
所以cos C= = =-,
所以sin C==.
11.在△ABC中,AB+AC=8,BC=4,D为BC的中点,当AD长度最小时,△ABC的面积为(　　)
A.2 B.4 C.4 D.4
答案　D　在△ABC中,设AB=x,AC=y,AD=m,∠ADB=θ,则∠ADC=π-θ,
在△ABD中,由余弦定理,得
m2+4-4mcos θ=x2① ,
在△ACD中,由余弦定理,得
m2+4-4mcos(π-θ)=y2,
即m2+4+4mcos θ=y2②,
由①②得,2m2+8=x2+y2,
又x+y=8,
所以2m2+8=(8-y)2+y2=2y2-16y+64,
所以m2=y2-8y+28,
当y=4时,m取得最小值,为2,
即AD长度的最小值为2,此时AB=AC=BC=4,△ABC是等边三角形,易得其面积为4.
12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,c=6,则bccos A+accos B+abcos C的值是　　　　.
答案　
解析　因为cos A=,
所以bccos A=(b2+c2-a2),
同理accos B=(a2+c2-b2),
abcos C=(a2+b2-c2),
所以bccos A+accos B+abcos C=(a2+b2+c2)=.
13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=,a=7,b=5,点D在BC上,且满足BD=2DC,则c=　　　,AD=　　　　.
答案　8;
解析　如图所示,
在△ABC中,由余弦定理,得
72= 52+c2-2×5ccos,
解得c=8或c=-3(舍去),
又BD=2DC,
所以BD=a=,
所以cos B= ==.
在△ABD中,由余弦定理,得
AD2=BD2+c2-2BD·c·cos B
=+64-2××8×=,
所以AD=(负值舍去).
14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tan C=3.
(1)求cos C;
(2)若·=,且a+b=9,求c.
解析　(1)因为tan C=3,
所以=3.
又因为sin2C+cos2C=1,
所以cos C=±.
因为tan C>0,
所以C是锐角,
所以cos C=.
(2)因为·=,
所以ab·cos C=,
所以ab=20,
又因为a+b=9,
所以a2+2ab+b2=81,
所以a2+b2=41,
所以c2=a2+b2-2abcos C=36,
所以c=6(负值舍去).
15.在梯形ABCD中,AB=2CD,BC=CD,则∠ADB的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B　取AB的中点M,延长AB到N点,使BN=CD,连接CM,CN,如图所示:
易知AD=MC,BD=NC.
设CD=a,AD=MC=m,BD=NC=n,
则AB=2a,BC=a.
在△MBC中,m2=a2+(a)2-2×a×a·cos∠MBC,
在△NBC中,n2=a2+(a)2-2×a×a·cos(π-∠MBC),
∴m2+n2=8a2,
在△ABD中,cos∠ADB=
=,
又2mn≤m2+n2=8a2,
∴cos∠ADB=≥=,
∴∠ADB的最大值为.
16.在△ABC中,A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.
解析　在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC
=62+(3)2-2×6×3×cos =90,
所以BC=3(负值舍去).
设∠ADB=θ,AD=x,则∠ADC=180°-θ,
BD=x,DC=3-x,
在△ABD中,由余弦定理,得
AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos θ,
即36=2x2-2x2cos θ,①
在△ACD中,由余弦定理,得AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos(180°-θ),
即18=x2+(3-x)2+2x·(3-x)·cos θ,②
由①②解得x=,即AD=.
13 / 146.4.3　余弦定理、正弦定理
第1课时　余弦定理
课标解读 课标要求 核心素养
1.借助向量的运算,掌握余弦定理的证明、余弦定理的方法及两种表示形式.(重点) 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形.(重点) 1.借助余弦定理的推导,提升学生的逻辑推理的素养. 2.通过余弦定理的应用,培养学生的数学运算的素养.
如图,修建一条隧道,要穿过一座山,这就要进行工程设计,需要测算山脚的长度,工程技术人员若在地面上选一适当位置A,量出A到山脚B,C的距离,再利用经纬仪(测角仪)测出A对山脚B,C的张角.
问题1:这样能求出山脚的长度BC吗
答案　根据相似三角形的原理可以求出BC.
问题2:能直接求出山脚的长度BC吗
答案　通过今天学习的余弦定理即可求出BC.
1.余弦定理
三角形中任何一边的平方,等于其他两边①平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的②两倍.即a2=③b2+c2-2bccos A,
b2=④a2+c2-2accos B,
c2=⑤a2+b2-2abcos C.
推论:
cos A=⑥ ,
cos B=⑦,
cos C=⑧.
思考:勾股定理与余弦定理有什么关系
提示　余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.
2.解三角形
(1)三角形的元素:三角形的⑨三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.
(2)已知三角形的几个元素求⑩其他元素的过程叫做解三角形.
3.余弦定理可以解决两类问题
(1)已知三边,求三角.
(2)已知两边及一角,求第三边和其他两个角.
探究一　已知三角形的两边及一角解三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　(1)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=,且bA. B.2 C.2 D.3
(2)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=　　　　.
思维突破
　　用余弦定理解决已知三角形的两边及一角求三角形第三边的问题时,列出方程后要根据边长为正及大边对大角取舍方程的根.
1-1　在三角形ABC中,若a=2,b=2,C=15°,则c=　　　　 .
1-2　在△ABC中,若AB=,AC=5,且cos C=,则BC=　　　　.
探究二　已知三角形的三边解三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例2　(1)在△ABC中,若a=7,b=4,c=,则△ABC的最小的角为　　　　.
(2)已知△ABC的三边长分别为a=2,b=2,c=+,解此三角形.
　(变结论)若例2(1)中的条件不变,如何求△ABC的最大的角的余弦值
思维突破
　　已知三角形的三边解三角形的方法
(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值,值为正,角为锐角;值为负,角为钝角,结果唯一.
(2)若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求解.
2-1　已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a+b=2c,3c=5b,则角A的值为(　　)
A. B. C. D.
探究三　判断三角形的形状
　　例3　在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2+b2-ab=c2,且=,判断△ABC的形状.
思维突破
　　若式子中含有角的余弦或是边的二次式,一般考虑用余弦定理,通过代数恒等变换得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.
3-1　在△ABC中,已知cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),判断△ABC的形状.
1.在△ABC中,边a,b,c所对的角分别为A,B,C,b=3,c=5,A=120°,则a=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.7 B. C.49 D.19
2.在△ABC中,a2=c2+b2+bc,则A等于(　　)
A.60° B.45° C.120° D.150°
3.在△ABC中,已知a=4,b=6,C=120°,则边c=　　　　　　.
4.在△ABC中,若a=2bcos C,则△ABC是　　　　三角形.
5.在△ABC中, a=8,B=60°,c=4(+1),求b的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　直观想象——三角形平面几何性质的应用
在△ABC中,已知AB=,cos∠ABC=,AC边上的中线BD=,求sin A的值.
　如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acos C-c=2b.
(1)求角A的大小;
(2)若∠ABC=,AC边上的中线BD的长为,求△ABC的面积.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b+c),则A=(　　)
A.90° B.60° C.120° D.150°
2.在△ABC中,已知a=,b=,C=,则△ABC是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.任意三角形
3.(2019山东青岛高一测试)在△ABC中,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则A=(　　)
A.90° B.60° C.135° D.150°
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)·tan B=ac,则角B的值为(　　)
A. B.
C.或 D.或
5.在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=(　　)
A. B. C. D.
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=3,b=4,C=60°,则边c的值为　　　　.
7.在△ABC中,B=60°,b2=ac,则△ABC为　　　　三角形.
8.在△ABC中,A=,a=c,则=　　　　.
9.在△ABC中,已知a=5,b=3,角C的余弦值是方程5x2+7x-6=0的根,求边长c的值.
10.在△ABC中,若三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=1,c=4,B=45°,则sin C的值为(　　)
A. B. C. D.
11.在△ABC中,AB+AC=8,BC=4,D为BC的中点,当AD长度最小时,△ABC的面积为(　　)
A.2 B.4 C.4 D.4
12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,c=6,则bccos A+accos B+abcos C的值是　　　　.
13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=,a=7,b=5,点D在BC上,且满足BD=2DC,则c=　　　,AD=　　　　.
14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tan C=3.
(1)求cos C;
(2)若·=,且a+b=9,求c.
15.在梯形ABCD中,AB=2CD,BC=CD,则∠ADB的最大值为(　　)
A. B. C. D.
16.在△ABC中,A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.
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