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6.4　平面向量的应用
6.4.1　平面几何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的应用举例
课标解读 课标要求 核心素养
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题.(重点) 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用.(难点) 1.通过用向量方法解决物理问题,培养数学抽象核心素养. 2.借助用向量方法解决几何问题,培养逻辑推理核心素养.
有一个人要去火车站坐车,由于时间紧迫,他一跳上出租车,就急着说:“快!快!来不及了!”司机遵照指示,在合法的范围内快开了好几分钟,这个人才发现不太对劲,问道:“我没有说要去哪里吗 ”司机回答:“没有啊!你只叫我快开啊!”于是这个人说:“对不起,请掉头,我要去火车站.”
问题1:开始的时候顾客为什么不能到达目的地
答案　因为出租车行驶的方向不对.
问题2:要尽快到达目的地应该怎么办
答案　行驶的方向要对,速度在合法的范围内要快.
1.向量在平面几何中的应用
主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、全等、相似、长度、夹角等问题.
2.平面向量在物理中的应用
(1)物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相似,可以用向量的知识来解决.
(2)物理学中的功是一个标量,这是力F与位移s的数量积,即W=F·s=|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角).
特别提醒
　　建立平面直角坐标系的方法
(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上;
(2)若图形中有互相垂直的两条直线,则考虑其作为坐标轴;
(3)若是对称图形,则将图形的对称中心作为原点、将图形的对称轴作为坐标轴.
探究一　向量在平面几何中的应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　(1)在△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是(　　)
A. B. C. D.
(2)如图所示,在正方形ABCD中,P为对角线AC上任意一点,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E,F,连接DP,EF,求证:DP⊥EF.
思维突破
　　利用向量解决几何问题的常用思路
把已知问题转化为向量问题,再通过相应的向量运算去完成,同时,引入平面向量的坐标可以使向量的运算代数化,让平面向量的坐标成为数与形的载体.
1-1　如图,已知Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,M在OB上,且OM=1,N在OA上,且ON=1,P为AM与BN的交点,求AP的长.
探究二　向量在物理中的应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例2　(易错题)如图所示,某人用1.5 m长的绳索,施力25 N,把重物沿坡度为30°的斜面向上拖了6 m,拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m.求此人对物体所做的功.
易错点拨
　　利用题目中给出的角度直接求功,导致对角度认识不清而致错.
1.要求对物体所做的功,可以转化为求解作用力F与物体的位移s两者之间的数量积,关键是求解作用力F与物体的位移s两者之间的夹角的大小.
2.用向量法解决物理问题的步骤:
(1)把物理问题中的相关量用向量表示;
(2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决;
(3)结果还原为物理问题.
2-1　一个质量为m的物体,受到三个水平力的作用后,静止在光滑的水平面上,将其中一个水平向南的力|F|减少,其他力不变,那么该物体在时间t内的位移是(　　)
A.0 B.|F|;向南
C.|F|;向北 D.|F|;向北
1.在△ABC中,已知顶点A(4,1),B(7,5),C(-4,7),D为BC的中点,则BC边的中线AD的长是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.2 B. C.3 D.
2.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为60°,那么|F1|等于(　　)
A.5 N B.5 N C.10 N D.5 N
3.一条河的宽度为d,一只船从A出发到河的正对岸B处,船速为v1,水速为v2,则船行到B处时,行驶速度的大小为(　　)
A.- B.|v1|2-|v2|2 C. D.
4.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处,其所用时间为　　　　.
5.已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　数学运算——用向量法或坐标法解决几何问题
已知:如图,AD、BE、CF是△ABC的三条高.
求证:AD、BE、CF交于一点.
审:证明三线共点,只需证明一条直线经过另两条直线的交点.
联:一条直线经过另两条直线的交点,即三线共点,转化为向量共线,利用两直线垂直的数量积为0,借助方程思想列方程组解决.
证明:证明一:设AD与BE交于点H,=a,=b,=p.
因为AD⊥BC,BE⊥CA,
所以①　　　　　　　　　　　　　,
⊥ (a+p)·b=0 b·a+p·b=0,
所以②　　　　　　　
·=0,即③　　　　　,
因为CH,CF重合,CF过点H,
所以AD、BE、CF交于一点.
证法二:如图,建立平面直角坐标系,
设A(0,a),B(b,0),C(c,0),H(0,m),F(x,y),
则=(-c,a),=(b,-a),=(x,y-a),
=(-c,m),=(x-c,y),=(-b,m).
因为⊥,
所以·=(-b,m)·(-c,a)=bc+am=0,
所以④　　　　,则==-(a,b).
由A、B、F共线得,,共线,
可得⑤　　　　,
由⊥得·=(b,-a)·(x-c,y)=0,
即⑥　　　　　　　　,
所以即⑦　　　　　　　　,
所以==(a,b),
所以⑧　　　　,即 ∥,
而CF、CH有公共点C,
所以C、H、F共线,即 AD、BE、CF交于一点.
思:利用向量解决几何问题的步骤:
(1)向量法的步骤:转化、运算、翻译.
(2)坐标法的思想:建立平面直角坐标系,以“算”代“证”.
(3)平行问题转化为向量的共线问题;垂直问题转化为数量积为0;线段的长度及夹角问题利用数量积解决.
　如图,已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N,在BN的延长线上取点P,使NP=BN,在CM的延长线上取点Q,使MQ=CM.证明:P、A、Q三点共线.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为(　　)
A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0) D.(0,9)
2.在△ABC中,AB=3,AC边上的中线BD=,·=5,则AC的长为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且++=0,则△ABC的内角A等于(　　)
A.30° B.60° C.90° D.120°
4.点P在平面上做匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P0的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为(　　)
A.(-2,4) B.(-30,25)
C.(10,-5) D.(5,-10)
5.(多选题)如图,在直角△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列等式成立的是(　　)
A.||2=·
B.||2=·
C.||2=·
D.||2=
6.在四边形ABCD中,已知=(4,-2),=(7,4),=(3,6),则四边形ABCD的面积是　　　　.
7.已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上),大小为50 N,一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m,则力F所做的功是　　　　　,摩擦力f所做的功是　　　　　.(g=10 m/s2)
8.在△ABC中,若动点D满足-+2·=0,则点D的轨迹一定经过△ABC的(　　)
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
9.已知O为坐标原点,点A(3,0),B(4,4),C(2,1),则AC和OB的交点P的坐标为　　　　　.
10.如图,两根固定的光滑硬杆OA,OB成θ角,在杆上各套一小环P,Q(P,Q重力不计),且用轻线相连,现用恒力F沿方向拉环Q,则当两环稳定时,轻线上的拉力的大小为　　　　　.
11.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD;
(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值.
12.如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.
15 / 156.4　平面向量的应用
6.4.1　平面几何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的应用举例
课标解读 课标要求 核心素养
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题.(重点) 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用.(难点) 1.通过用向量方法解决物理问题,培养数学抽象核心素养. 2.借助用向量方法解决几何问题,培养逻辑推理核心素养.
有一个人要去火车站坐车,由于时间紧迫,他一跳上出租车,就急着说:“快!快!来不及了!”司机遵照指示,在合法的范围内快开了好几分钟,这个人才发现不太对劲,问道:“我没有说要去哪里吗 ”司机回答:“没有啊!你只叫我快开啊!”于是这个人说:“对不起,请掉头,我要去火车站.”
问题1:开始的时候顾客为什么不能到达目的地
答案　因为出租车行驶的方向不对.
问题2:要尽快到达目的地应该怎么办
答案　行驶的方向要对,速度在合法的范围内要快.
1.向量在平面几何中的应用
主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、全等、相似、长度、夹角等问题.
2.平面向量在物理中的应用
(1)物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相似,可以用向量的知识来解决.
(2)物理学中的功是一个标量,这是力F与位移s的数量积,即W=F·s=|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角).
特别提醒
　　建立平面直角坐标系的方法
(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上;
(2)若图形中有互相垂直的两条直线,则考虑其作为坐标轴;
(3)若是对称图形,则将图形的对称中心作为原点、将图形的对称轴作为坐标轴.
探究一　向量在平面几何中的应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　(1)在△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是(　　)
A. B. C. D.
(2)如图所示,在正方形ABCD中,P为对角线AC上任意一点,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E,F,连接DP,EF,求证:DP⊥EF.
答案　(1)C　
解析　(1)由++=,得+++=0,
即=2,所以点P是CA边上的三等分点,如图所示.
故==.
(2)证明:证法一:设正方形ABCD的边长为1,AE=a(0则EP=AE=a,PF=EB=1-a,AP=a,
所以·=(+)·(+)=·+·+·+·
=acos 180°+ (1-a)cos 90°+a2cos 45°
+a·(1-a)cos 45°=-a+a2+a(1-a)=0,
所以⊥,即DP⊥EF.
证法二:设正方形ABCD的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,1),
设P(x,x),则E(x,0),F(1,x),
所以=(x,x-1),=(1-x,x).
因为·=x(1-x)+x(x-1)=0,
所以⊥,即DP⊥EF.
思维突破
　　利用向量解决几何问题的常用思路
把已知问题转化为向量问题,再通过相应的向量运算去完成,同时,引入平面向量的坐标可以使向量的运算代数化,让平面向量的坐标成为数与形的载体.
1-1　如图,已知Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,M在OB上,且OM=1,N在OA上,且ON=1,P为AM与BN的交点,求AP的长.
解析　设=a,=b,
则=b-a,=b-a,=b-a.
设=λ=λ,
=μ=μ.
∵=+=λ+μ
=b-a,
∴解得
∴=,
∴||2=
=,
又=a=3,=b=2,∠AOB=90°,
∴||=(舍负),
故AP的长为.
探究二　向量在物理中的应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例2　(易错题)如图所示,某人用1.5 m长的绳索,施力25 N,把重物沿坡度为30°的斜面向上拖了6 m,拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m.求此人对物体所做的功.
解析　因为绳索长为1.5 m,拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m,斜面坡度为30°,所以作用力F与斜面之间所成的角θ满足sin θ==,
所以cos θ==,
记沿斜面向上方向的单位向量为e,则位移s=6e,
W=F·s=|F||s|cos θ=25×6×=30(J),
所以此人对物体所做的功为30 J.
易错点拨
　　利用题目中给出的角度直接求功,导致对角度认识不清而致错.
1.要求对物体所做的功,可以转化为求解作用力F与物体的位移s两者之间的数量积,关键是求解作用力F与物体的位移s两者之间的夹角的大小.
2.用向量法解决物理问题的步骤:
(1)把物理问题中的相关量用向量表示;
(2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决;
(3)结果还原为物理问题.
2-1　一个质量为m的物体,受到三个水平力的作用后,静止在光滑的水平面上,将其中一个水平向南的力|F|减少,其他力不变,那么该物体在时间t内的位移是(　　)
A.0 B.|F|;向南
C.|F|;向北 D.|F|;向北
答案　D　物体受力平衡的条件下,水平向南的力|F|减少,则物体在大小为|F|力的作用下向北匀加速运动,根据匀加速运动的位移公式,得该物体在时间t内的位移|s|=×·t2=|F|,方向向北.
1.在△ABC中,已知顶点A(4,1),B(7,5),C(-4,7),D为BC的中点,则BC边的中线AD的长是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.2
B.
C.3
D.
答案　B　由题意得,BC的中点D的坐标为,又A(4,1),∴=,
∴||=.
2.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为60°,那么|F1|等于(　　)
A.5 N
B.5 N
C.10 N
D.5 N
答案　B　由题意,得四边形OABC是矩形,如图,
∵∠AOB=60°,
∴|F1|=|F合|cos 60°=10×=5(N).
3.一条河的宽度为d,一只船从A出发到河的正对岸B处,船速为v1,水速为v2,则船行到B处时,行驶速度的大小为(　　)
A.-
B.|v1|2-|v2|2
C.
D.
答案　D　如图,由平行四边形法则和解直角三角形的知识,可得|v|2=|v1|2-|v2|2,即|v|=.
4.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处,其所用时间为　　　　.
答案　3
解析　设所用时间为t,则=tv,即(7,12)-(4,6)=t(1,2),所以t=3.
5.已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.
证明　以C为坐标原点,CA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系(图略).
设AC=a,则A(a,0),B(0,a),D,C(0,0),E.
∴=,=,
∴·=-a·a+·a=0,
∴⊥,即AD⊥CE.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　数学运算——用向量法或坐标法解决几何问题
已知:如图,AD、BE、CF是△ABC的三条高.
求证:AD、BE、CF交于一点.
审:证明三线共点,只需证明一条直线经过另两条直线的交点.
联:一条直线经过另两条直线的交点,即三线共点,转化为向量共线,利用两直线垂直的数量积为0,借助方程思想列方程组解决.
证明:证明一:设AD与BE交于点H,=a,=b,=p.
因为AD⊥BC,BE⊥CA,
所以①　　　　　　　　　　　　　,
⊥ (a+p)·b=0 b·a+p·b=0,
所以②　　　　　　　
·=0,即③　　　　　,
因为CH,CF重合,CF过点H,
所以AD、BE、CF交于一点.
证法二:如图,建立平面直角坐标系,
设A(0,a),B(b,0),C(c,0),H(0,m),F(x,y),
则=(-c,a),=(b,-a),=(x,y-a),
=(-c,m),=(x-c,y),=(-b,m).
因为⊥,
所以·=(-b,m)·(-c,a)=bc+am=0,
所以④　　　　,则==-(a,b).
由A、B、F共线得,,共线,
可得⑤　　　　,
由⊥得·=(b,-a)·(x-c,y)=0,
即⑥　　　　　　　　,
所以即⑦　　　　　　　　,
所以==(a,b),
所以⑧　　　　,即 ∥,
而CF、CH有公共点C,
所以C、H、F共线,即 AD、BE、CF交于一点.
思:利用向量解决几何问题的步骤:
(1)向量法的步骤:转化、运算、翻译.
(2)坐标法的思想:建立平面直角坐标系,以“算”代“证”.
(3)平行问题转化为向量的共线问题;垂直问题转化为数量积为0;线段的长度及夹角问题利用数量积解决.
答案　①⊥ (b-p)·a=0 b·a-p·a=0　②p·a+p·b=0 p·(a+b)=0　③CH⊥BA　④m=-　⑤bx+a(y-a)=0　⑥b(x-c)+y(-a)=0
⑦F　⑧=
　如图,已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N,在BN的延长线上取点P,使NP=BN,在CM的延长线上取点Q,使MQ=CM.证明:P、A、Q三点共线.
证明　设=a,=b,
则=b,=a,
由此可得==b-a,==a-b,
所以-=+,
=-=a-b,
=+,=a+a-b=a-b,
即=,故∥,且PA,AQ有公共点A,所以P、A、Q三点共线.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为(　　)
A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0) D.(0,9)
答案　A
2.在△ABC中,AB=3,AC边上的中线BD=,·=5,则AC的长为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　B
3.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且++=0,则△ABC的内角A等于(　　)
A.30° B.60° C.90° D.120°
答案　A　由++=0,
得=-,
两边平方得=+-2·,
∵||=||=||,
∴||2=2||||cos<,>,
∴cos<,>=,则∠BOC=60°,
∴∠A=∠BOC=30°.
4.点P在平面上做匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P0的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为(　　)
A.(-2,4) B.(-30,25)
C.(10,-5) D.(5,-10)
答案　C　由题意知,=5v=(20,-15),
设点P的坐标为(x,y),则
解得
∴点P的坐标为(10,-5).
5.(多选题)如图,在直角△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列等式成立的是(　　)
A.||2=·
B.||2=·
C.||2=·
D.||2=
答案　ABD　·=·(+)=+·==||2,故A正确;
同理||2=·成立,故B正确;
·=-||||cos∠ACD<0,
而||2>0,故C错误;
==
=||2,故D正确.
6.在四边形ABCD中,已知=(4,-2),=(7,4),=(3,6),则四边形ABCD的面积是　　　　.
答案　30
解析　∵·=(4,-2)·(3,6)=0,
∴四边形ABCD为矩形.
∵||==2,
||==3,
∴S四边形ABCD=||||=2×3=30.
7.已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上),大小为50 N,一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m,则力F所做的功是　　　　　,摩擦力f所做的功是　　　　　.(g=10 m/s2)
答案　500 J;-22 J
解析　如图所示,设木块运动的位移为s,
则F·s=|F||s|cos 30°=50×20×
=500 (J).
将力F分解,它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|=|F|sin 30°=50×=25(N),
所以摩擦力f的大小为|f|=|μ(G-F1)|
=(80-25)×0.02=1.1(N).
因此f·s=|f||s|cos 180°=1.1×20×(-1)=-22(J).
即F和f所做的功分别是500 J和-22 J.
8.在△ABC中,若动点D满足-+2·=0,则点D的轨迹一定经过△ABC的(　　)
A.外心 B.内心
C.垂心 D.重心
答案　A　取AB的中点E,则-+2·=(+)·(-)+2·=2·+2·=2·(-)=2·=0,
∴AB⊥ED,即点D在AB的垂直平分线上,
∴点D的轨迹一定经过△ABC的外心.
9.已知O为坐标原点,点A(3,0),B(4,4),C(2,1),则AC和OB的交点P的坐标为　　　　　.
答案　
解析　设=t,
∵B(4,4),∴=(4t,4t),
又A(3,0),∴=(3,0),
∴=-=(4t-3,4t),又C(2,1),
∴=(2,1)-(3,0)=(-1,1).
由,共线,得(4t-3)×1-4t×(-1)=0,
解得t=,∴=,
∴点P的坐标为.
10.如图,两根固定的光滑硬杆OA,OB成θ角,在杆上各套一小环P,Q(P,Q重力不计),且用轻线相连,现用恒力F沿方向拉环Q,则当两环稳定时,轻线上的拉力的大小为　　　　　.
答案　
解析　设Q受轻线的拉力为T,以Q为研究对象,由于受力平衡,故轻线与杆OA垂直,即轻线与OB的夹角为-θ,Tcos=F,故|T|=.
11.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD;
(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值.
解析　(1)证明:∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
∴=(1,1),=(-3,3),
∴·=1×(-3)+1×3=0,
∴⊥,
∴AB⊥AD.
(2)∵⊥,四边形ABCD为矩形,
∴=.设点C的坐标为(x,y),
则=(x+1,y-4).
又∵=(1,1),
∴解得
∴点C的坐标为(0,5),
∴=(-2,4),
又∵=(-4,2),
∴||=2,||=2,·=8+8=16.
设与的夹角为θ,
则cos θ===.
故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.
12.如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.
证明　设=a,=b,=e,=c,=d,
则a=e+c,b=e+d,
所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.
由已知可得a2-b2=c2-d2,
所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,
所以e·(c-d)=0.
因为=+=d-c,
所以·=e·(d-c)=0,
所以⊥,
即AD⊥BC.
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