资源简介 6.2.4 向量的数量积课标解读 课标要求 核心素养1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积. 2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.(重点) 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(重点) 1.通过平面向量的数量积的概念培养数学抽象的核心素养. 2.借助投影向量的概念培养直观想象核心素养. 3.通过数量积的性质及运算律解决相关问题,培养数学运算核心素养.一天,物理课上刚学完“做功”这部分内容,小明气喘吁吁地跑进教室,说帮别人抬东西了,太重了,累得不轻,同学说他又没有做功,不要喊累,于是他们争吵了起来……问题1:小明和同学谁说得对呢 问题2:从数学的角度能解释这个问题吗 1.向量的夹角条件 已知两个非零向量a,b定义 O是平面上的任意一点,作=a,=b,则①∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角,如图所示:范围 0≤θ≤π特殊情况 θ=0 a与b同向θ= a与b垂直,记作②a⊥bθ=π a与b反向 思考1:计算向量的夹角时,两个向量需满足什么条件 提示 两个向量共起点. 2.向量的数量积条件 两个非零向量a与b,它们的夹角为θ定义 数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)记法 a·b=③|a||b|cos θ规定 0与任一向量的数量积为0思考2:向量的数量积与数乘向量的区别是什么 提示 向量的数量积是一个实数,不考虑方向,只有大小,而数乘向量是一个向量,既有大小,又有方向. 3.投影向量如图1,设a,b是两个非零向量,=a,=b,我们考虑如下的变换:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,我们称上述变换为向量a向向量b④投影,叫做向量a在向量b上的⑤投影向量. 如图2,我们可以在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量.思考3:向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影分别是什么 4.平面向量数量积的性质设a,b是两个非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则(1)a·e=e·a=|a|cos θ.(2)a⊥b a·b=0.(3)当a与b同向时,a·b=⑥|a||b|;当a与b反向时,a·b=⑦-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|=.此外,由|cos θ|≤1还可以得到(4)|a·b|≤⑧|a||b|.(5)cos θ=(其中θ是非零向量a与b的夹角). 思考4:|a·b|≤|a||b|的等号什么时候成立 提示 当且仅当向量a,b共线,即a∥b时,等号成立. 5.数量积的运算律已知向量a,b,c和实数λ,则(1)交换律:a·b=b·a;(2)数乘结合律:(λa)·b=λ(b·a)=a·(λb);(3)分配律:(a+b)·c=⑨a·c+b·c. 思考5:(a·b)·c=a·(b·c)成立吗 探究一 数量积的运算 例1 (1)已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,则(a+b)·(a-b)= ,(2a-b)·(a+3b)= . (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,求·.思维突破 向量数量积的求法(1)确定两个向量的模及两个向量的夹角,其中确定夹角是求数量积的关键.(2)向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,要根据数量积的运算律计算.1-1 在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则·= . 1-2 如图,在平行四边形ABCD中,已知||=4,||=3,∠DAB=60°,求:(1)·;(2)·;(3)·.探究二 与模、夹角有关的问题 例2 (1)(易错题)已知|a|=|b|=5,向量a、b的夹角θ=,则|a+b|= . (2)已知a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为 . 易错点拨 错误地类比实数运算中的法则,实际上|a2-b2|=|(a+b)·(a-b)|≤|a+b||a-b|.1.利用数量积求解长度问题:(1)a2=a·a=|a|2或|a|=.(2)|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2.求模一般转化为求模的平方.2.求向量的夹角的步骤:(1)求a·b及|a||b|,有时可结合数量积的定义或性质进行计算;(2)利用cos θ=求出cos θ的值;(3)借助θ∈[0,π],求出θ.2-1 已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=1,若c=2a-b,d=a+2b,则c·d= ,|c+2d|= . 2-2 已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,则向量m=2a+b与向量n=a-4b的夹角的余弦值为 . 探究三 两向量的垂直问题 例3 (1)已知两个单位向量a与b的夹角为60°,若a+λb与λa+b互相垂直,则λ的取值范围是 . (2)已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b).思维突破 两向量垂直的作用(1)根据a·b=0可证明向量a与b垂直;(2)向量a与b垂直,则a·b=0,可列方程(组)求未知数;(3)利用两向量垂直可解(或证明)平面几何图形中的垂直问题.3-1 已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,则k的取值范围为 . 3-2 已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角.探究四 向量的投影 例4 如图所示,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是BC边的中点.求:(1)在上的投影向量;(2)在上的投影向量.4-1 已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则向量a+b在向量a上的投影向量是 . 1.设e1,e2是两个平行的单位向量,则下列选项中正确的是( ) A.e1·e2=1 B.e1·e2=-1C.|e1·e2|=1 D.|e1·e2|<12.已知非零向量a,b,若a+2b与a-2b互相垂直,则=( )A. B.4 C. D.23.在△ABC中,若·+=0,则在上的投影向量为( )A. B. C. D.4.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为( )A.30° B.60° C.120° D.150°5.已知向量a与b的夹角为45°,且|a|=1,|2a+b|=,求|b|. 逻辑推理——利用向量判断三角形形状在△ABC中,=c,=a,=b,且a·b=b·c=c·a,试判断△ABC的形状. 若O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状为( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形 1.已知|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为,则向量m=a-4b的模为( )A.2 B.2 C.6 D.122.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则·=( )A.-16 B.-8 C.8 D.163.(2018课标全国Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )A.4 B.3 C.2 D.04.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量a与a-b的夹角为( )A. B. C. D.5.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c⊥d,则k的值为( )A.-6 B.6 C.3 D.-36.已知|b|=5,a·b=12,则向量a在b方向上的投影向量为 . 7.已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|= . 8.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为 . 9.已知非零向量a,b满足|a|=1,(a-b)·(a+b)=,且a·b=.(1)求向量a,b的夹角θ;(2)求|a-b|.10.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们彼此不共线,则下列结论正确的是( )A.a·c-b·c=(a-b)·cB.(b·c)·a-(c·a)·b与c不垂直C.|a|-|b|<|a-b|D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|211.在△ABC中,∠C=90°,||=6,点P满足|CP|=2,则·的最大值为( )A.9 B.16 C.18 D.2512.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为 ,|2a-b|= . 13.已知圆O是△ABC的外接圆,M是BC的中点,AB=4,AC=2,则·= . 14.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,且它们之间的夹角均为120°.(1)求证:(a-b)⊥c;(2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求k的取值范围.15.在△ABC中,⊥,M是BC的中点.(1)若||=||,求向量+2与向量2+的夹角的余弦值;(2)若O是线段AM上任意一点(不与A,M重合),且||=||=,求·+·的最小值.16.如图,在直角△ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问:与的夹角取何值时,·的值最大 并求出这个最大值.17.已知a,b是非零向量,t为实数,设u=a+tb.(1)当|u|取最小值时,求实数t的值;(2)当|u|取最小值时,向量b与u是否垂直 18 / 196.2.4 向量的数量积课标解读 课标要求 核心素养1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积. 2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.(重点) 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(重点) 1.通过平面向量的数量积的概念培养数学抽象的核心素养. 2.借助投影向量的概念培养直观想象核心素养. 3.通过数量积的性质及运算律解决相关问题,培养数学运算核心素养.一天,物理课上刚学完“做功”这部分内容,小明气喘吁吁地跑进教室,说帮别人抬东西了,太重了,累得不轻,同学说他又没有做功,不要喊累,于是他们争吵了起来……问题1:小明和同学谁说得对呢 答案 从物理的角度说小明没有做功,而从日常生活中说小明确实做功了.问题2:从数学的角度能解释这个问题吗 答案 能.1.向量的夹角条件 已知两个非零向量a,b定义 O是平面上的任意一点,作=a,=b,则①∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角,如图所示:范围 0≤θ≤π特殊情况 θ=0 a与b同向θ= a与b垂直,记作②a⊥bθ=π a与b反向 思考1:计算向量的夹角时,两个向量需满足什么条件 提示 两个向量共起点. 2.向量的数量积条件 两个非零向量a与b,它们的夹角为θ定义 数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)记法 a·b=③|a||b|cos θ规定 0与任一向量的数量积为0思考2:向量的数量积与数乘向量的区别是什么 提示 向量的数量积是一个实数,不考虑方向,只有大小,而数乘向量是一个向量,既有大小,又有方向. 3.投影向量如图1,设a,b是两个非零向量,=a,=b,我们考虑如下的变换:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,我们称上述变换为向量a向向量b④投影,叫做向量a在向量b上的⑤投影向量. 如图2,我们可以在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量.思考3:向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影分别是什么 提示 向量a在向量b上的投影是|a|cos θ=·b,向量b在向量a上的投影是|b|cos θ=·a. 4.平面向量数量积的性质设a,b是两个非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则(1)a·e=e·a=|a|cos θ.(2)a⊥b a·b=0.(3)当a与b同向时,a·b=⑥|a||b|;当a与b反向时,a·b=⑦-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|=.此外,由|cos θ|≤1还可以得到(4)|a·b|≤⑧|a||b|.(5)cos θ=(其中θ是非零向量a与b的夹角). 思考4:|a·b|≤|a||b|的等号什么时候成立 提示 当且仅当向量a,b共线,即a∥b时,等号成立. 5.数量积的运算律已知向量a,b,c和实数λ,则(1)交换律:a·b=b·a;(2)数乘结合律:(λa)·b=λ(b·a)=a·(λb);(3)分配律:(a+b)·c=⑨a·c+b·c. 思考5:(a·b)·c=a·(b·c)成立吗 提示 不成立.因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,若c与a不共线,只有a·b=b·c=0时才相等.探究一 数量积的运算 例1 (1)已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,则(a+b)·(a-b)= ,(2a-b)·(a+3b)= . (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,求·.答案 (1)-5;-34解析 (1)(a+b)·(a-b)=a2-a·b+a·b-b2=a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.(2a-b)·(a+3b)=2a2+6a·b-a·b-3b2=2|a|2+5a·b-3|b|2=2×4-5×3-3×9=-34.(2)·=||||cos∠BAC=5×4×=16.思维突破 向量数量积的求法(1)确定两个向量的模及两个向量的夹角,其中确定夹角是求数量积的关键.(2)向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,要根据数量积的运算律计算.1-1 在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则·= . 答案 -16解析 设∠AMB=θ,则∠AMC=π-θ,∵=-,=-,∴·=(-)·(-)=·-·-·+=-25-5×3cos θ-3×5cos(π-θ)+9=-16.1-2 如图,在平行四边形ABCD中,已知||=4,||=3,∠DAB=60°,求:(1)·;(2)·;(3)·.解析 (1)∵与平行且方向相同,∴与的夹角为0°,∴·=||||cos 0°=3×3×1=9.(2)与平行且方向相反,∴与的夹角是180°,∴·=||||cos 180°=4×4×(-1)=-16.(3)∵与的夹角是60°,∴与的夹角是120°,∴·=||||cos 120°=4×3×=-6.探究二 与模、夹角有关的问题 例2 (1)(易错题)已知|a|=|b|=5,向量a、b的夹角θ=,则|a+b|= . (2)已知a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为 . 答案 (1)5 (2)解析 (1)a·b=|a||b|cos θ=5×5×cos =.|a+b|====5.(2)∵|a|=|a-b|,∴|a|2=|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2.又|a|=|b|,∴a·b=|a|2,又|a+b|===|a|,设a与a+b的夹角为θ,则cos θ====,又θ∈[0,π],∴θ=,即a与a+b的夹角为.易错点拨 错误地类比实数运算中的法则,实际上|a2-b2|=|(a+b)·(a-b)|≤|a+b||a-b|.1.利用数量积求解长度问题:(1)a2=a·a=|a|2或|a|=.(2)|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2.求模一般转化为求模的平方.2.求向量的夹角的步骤:(1)求a·b及|a||b|,有时可结合数量积的定义或性质进行计算;(2)利用cos θ=求出cos θ的值;(3)借助θ∈[0,π],求出θ.2-1 已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=1,若c=2a-b,d=a+2b,则c·d= ,|c+2d|= . 答案 9;解析 因为向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1.所以a·b=|a||b|cos 60°=1.c·d=(2a-b)·(a+2b)=2a2+3a·b-2b2=2|a|2+3×1-2|b|2=2×22+3-2×12=9.因为c+2d=(2a-b)+2(a+2b)=4a+3b,|c+2d|2=(c+2d)2=(4a+3b)2=16a2+24a·b+9b2=16|a|2+24×1+9|b|2=16×22+24×1+9×1=97,所以|c+2d|=.2-2 已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,则向量m=2a+b与向量n=a-4b的夹角的余弦值为 . 答案 -解析 a·b=2×1×cos 60°=1,|m|2=|2a+b|2=4|a|2+4a·b+|b|2=4×22+4×1+1=21,|n|2=|a-4b|2=|a|2-8a·b+16|b|2=22-8×1+16×1=12,∴|m|=,|n|=2,m·n=(2a+b)·(a-4b)=2|a|2-7a·b-4|b|2=2×22-7×1-4×1=-3.设m,n的夹角为θ,则cos θ===-.探究三 两向量的垂直问题 例3 (1)已知两个单位向量a与b的夹角为60°,若a+λb与λa+b互相垂直,则λ的取值范围是 . (2)已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b).答案 (1){-2-,-2+}解析 (1)∵两个单位向量a与b的夹角为60°,∴a·b=|a||b|cos 60°=1×1×cos 60°=,又a+λb与λa+b互相垂直,∴(a+λb)·(λa+b)=0,∴λa2+(λ2+1)a·b+λb2=0,∴λ2+4λ+1=0,∴λ∈{-2-,-2+}.(2)证明:∵|2a+b|=|a+2b|,∴(2a+b)2=(a+2b)2,∴4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,∴a2=b2,∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.又a与b不共线,∴a+b≠0,a-b≠0,∴(a+b)⊥(a-b).思维突破 两向量垂直的作用(1)根据a·b=0可证明向量a与b垂直;(2)向量a与b垂直,则a·b=0,可列方程(组)求未知数;(3)利用两向量垂直可解(或证明)平面几何图形中的垂直问题.3-1 已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,则k的取值范围为 . 答案 (0,1)∪(1,+∞)解析 ∵e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,∴(e1+ke2)·(ke1+e2)=k+k+(k2+1)·e1·e2=2k>0,∴k>0.当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0,不符合题意,舍去.综上,k的取值范围为(0,1)∪(1,+∞).3-2 已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角.解析 由已知条件得即②-①得,23b2-46a·b=0,∴2a·b=b2,代入①得a2=b2,∴|a|=|b|,∴cos θ===.∵θ∈[0,π],∴θ=.探究四 向量的投影 例4 如图所示,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是BC边的中点.求:(1)在上的投影向量;(2)在上的投影向量.解析 如图所示,连接AD,因为AB=AC=4,∠BAC=90°,所以△ABC是等腰直角三角形,又D是BC边的中点,所以AD⊥BC,∠ABD=45°,所以BD=2.延长AB到E,则与的夹角为∠DBE=180°-45°=135°.(1)在上的投影向量为||cos 135°·=4××=-.(2)在上的投影向量为||cos 135°·=2××=-.思维突破 设向量a与b的夹角为θ,则a在b上的投影向量为|a|cos θ,b在a上的投影向量为|b|cos θ,注意区分两者之间的差异.4-1 已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则向量a+b在向量a上的投影向量是 . 答案 0解析 ∵向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,∴(a+b)·a=a2+a·b=12+1×2×cos 120°=0,∴向量a+b在向量a上的投影向量是0.1.设e1,e2是两个平行的单位向量,则下列选项中正确的是( ) A.e1·e2=1 B.e1·e2=-1C.|e1·e2|=1 D.|e1·e2|<1答案 C 设e1与e2的夹角为θ,则e1·e2=|e1|·|e2|cos θ=±1,所以|e1·e2|=1.2.已知非零向量a,b,若a+2b与a-2b互相垂直,则=( )A. B.4 C. D.2答案 D ∵(a+2b)·(a-2b)=a2-4b2=0,∴|a|=2|b|,∴=2.3.在△ABC中,若·+=0,则在上的投影向量为( )A. B.C. D.答案 A ∵0=·+=·(+)=·,∴⊥,∴与的夹角为锐角,∴在上的投影向量为.4.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为( )A.30° B.60° C.120° D.150°答案 C 设向量a,b的夹角为θ.由题意得a·c=a·(a+b)=|a|2+|a|·|b|cos θ=0,所以cos θ=-.又θ∈[0,π],所以向量a,b的夹角为120°.5.已知向量a与b的夹角为45°,且|a|=1,|2a+b|=,求|b|.解析 因为|2a+b|=,所以(2a+b)2=10,所以4a2+4a·b+b2=10,又因为向量a与b的夹角为45°,且|a|=1,所以4×12+4×1×|b|×+|b|2=10,整理,得|b|2+2|b|-6=0,解得|b|=或|b|=-3(舍去). 逻辑推理——利用向量判断三角形形状在△ABC中,=c,=a,=b,且a·b=b·c=c·a,试判断△ABC的形状.解析 在△ABC中,易知++=0,即a+b+c=0,因此a+b=-c,a+c=-b,从而两式相减可得b2+2a·b-c2-2a·c=c2-b2,则2b2+2(a·b-a·c)=2c2,因为a·b=a·c,所以2b2=2c2,即|b|=|c|.同理可得|a|=|b|,故||=||=||,即△ABC是等边三角形.素养探究:解题的关键是利用a+b+c=0,对数据进行整理、转化,利用方程思想可得到a、b、c中两个向量的长度之间的关系,过程中体现逻辑推理核心素养. 若O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状为( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形答案 B +-2=-+-=+,-==-,又|-|=|+-2|,所以|-|=|+|,所以|-|2=|+|2,即·=0,所以AB⊥AC.故△ABC为直角三角形. 1.已知|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为,则向量m=a-4b的模为( )A.2 B.2 C.6 D.12答案 B2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则·=( )A.-16 B.-8 C.8 D.16答案 D3.(2018课标全国Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )A.4 B.3 C.2 D.0答案 B4.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量a与a-b的夹角为( )A. B. C. D.答案 A |a-b|===,设向量a与a-b的夹角为θ,则cos θ===,又θ∈[0,π],所以θ=.5.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c⊥d,则k的值为( )A.-6 B.6 C.3 D.-3答案 B 因为c⊥d,所以c·d=0,即(2a+3b)·(ka-4b)=0,所以2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0,所以2k=12,所以k=6.6.已知|b|=5,a·b=12,则向量a在b方向上的投影向量为 . 答案 b解析 a在b方向上的投影向量为|a|·cos θ·=·b=b.7.已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|= . 答案 3解析 |2a-b|= (2a-b)2=10 4+|b|2-4|b|·cos 45°=10 |b|=3.8.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为 . 答案 -解析 设a与b的夹角为θ,因为|a|=3|b|,所以|a|2=9|b|2.又|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b=|a|2+4|b|2+4|a|·|b|·cos θ=13|b|2+12|b|2cos θ,即9|b|2=13|b|2+12|b|2cos θ,故有cos θ=-.9.已知非零向量a,b满足|a|=1,(a-b)·(a+b)=,且a·b=.(1)求向量a,b的夹角θ;(2)求|a-b|.解析 (1)因为(a-b)·(a+b)=,所以a2-b2=,即|a|2-|b|2=.又|a|=1,所以|b|=.因为a·b=,所以|a|·|b|cos θ=,所以cos θ=,所以向量a,b的夹角θ为45°.(2)因为|a-b|2=(a-b)2=|a|2-2a·b+|b|2=,所以|a-b|=.10.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们彼此不共线,则下列结论正确的是( )A.a·c-b·c=(a-b)·cB.(b·c)·a-(c·a)·b与c不垂直C.|a|-|b|<|a-b|D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2答案 ACD 根据向量数量积的分配律知A正确;因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,所以(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,B错误;因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|可以组成三角形,所以|a|-|b|<|a-b|成立,C正确;易知D正确.11.在△ABC中,∠C=90°,||=6,点P满足|CP|=2,则·的最大值为( )A.9 B.16 C.18 D.25答案 B 取AB的中点D,连接CD,因为∠C=90°,||=6,所以||=||=3.设与的夹角为α,则·=(+)·(+)=+·(+)+·=+·(+)=22+·2=4+2||·||cos α=4+2×2×3cos α=4+12cos α,所以当α=0°时,·有最大值16.12.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为 ,|2a-b|= . 答案 ;2解析 因为a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=2,所以a·b=3.设a与b的夹角为θ,则cos θ==,又θ∈[0,π],所以θ=.因为|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=28,所以|2a-b|=2.13.已知圆O是△ABC的外接圆,M是BC的中点,AB=4,AC=2,则·= . 答案 5解析 因为M是BC的中点,所以=(+),又O是△ABC的外接圆圆心,所以·=||||cos∠BAO=·||2=8,同理,·=||2=2,所以·=(+)·=·+·=4+1=5.14.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,且它们之间的夹角均为120°.(1)求证:(a-b)⊥c;(2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求k的取值范围.解析 (1)证明:因为|a|=|b|=|c|=1,且a,b,c之间的夹角均为120°,所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|·cos 120°-|b|·|c|cos 120°=0,所以(a-b)⊥c.(2)因为|ka+b+c|>1,所以(ka+b+c)·(ka+b+c)>1,即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1.因为a·c=a·b=b·c=cos 120°=-,所以k2-2k>0,解得k<0或k>2.即k的取值范围是k<0或k>2.15.在△ABC中,⊥,M是BC的中点.(1)若||=||,求向量+2与向量2+的夹角的余弦值;(2)若O是线段AM上任意一点(不与A,M重合),且||=||=,求·+·的最小值.解析 (1)设向量+2与向量2+的夹角为θ,则cos θ=,令||=||=a,则cos θ==.即向量+2与向量2+的夹角的余弦值为.(2)∵||=||=,∴||=1,设||=x(0而+=2,∴·+·=·(+)=2·=2||·||cos π=2x2-2x=2-.∴当x=时,·+·取得最小值-.16.如图,在直角△ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问:与的夹角取何值时,·的值最大 并求出这个最大值.解析 设与的夹角为θ,则·=(-)·(-)=·-·-·+·=-a2-·+·=-a2-·(-)=-a2+·=-a2+a2cos θ.故当cos θ=1,即θ=0°(与方向相同)时,·的值最大,最大值为0.17.已知a,b是非零向量,t为实数,设u=a+tb.(1)当|u|取最小值时,求实数t的值;(2)当|u|取最小值时,向量b与u是否垂直 解析 (1)|u|2=|a+tb|2=|b|2t2+2(a·b)t+|a|2=|b|2+|a|2-.∵b是非零向量,∴|b|≠0,∴当t=-时,|u|=|a+tb|的值最小.(2)由(1)知,当|u|取最小值时,t=-,∴b·u=b·(a+tb)=a·b+t|b|2=a·b+=a·b-a·b=0,∴b⊥u.18 / 19 展开更多...... 收起↑ 资源列表 6.2.4 向量的数量积 - 学案.docx 6.2.4 向量的数量积.docx