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6.2.2　向量的减法运算
课标解读 课标要求 核心素养
1.借助实例理解并掌握向量减法的概念. 2.掌握向量减法运算法则,并能熟练地进行减法运算.(重点) 3.理解向量减法运算的几何意义.(难点) 1.通过向量减法的三角形法则逐步提升直观想象核心素养. 2.借助向量加减法运算培养数学运算核心素养.
以前台胞春节期间来大陆探亲,需乘飞机从台北到香港,再从香港到上海,现在探亲,可直接乘飞机从台北到上海.若台北到香港的位移用向量a表示,香港到上海的位移用向量b表示,上海到台北的位移用向量c表示.
问题1:向量a、b、c有何关系
答案　a+b+c=0.
问题2:现在探亲的位移是什么
答案　位移的方向与c的方向相反,大小为|c|.
1.相反向量
(1)定义:与向量a长度①相等,方向②相反的向量,叫做a的相反向量,记作-a.
(2)性质:a+(-a)=(-a)+a=0.
如果a,b互为相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.
零向量的相反向量仍是③零向量.
思考1:相反向量的两个要素是什么
提示　方向相反,长度相等.
2.向量的减法
(1)定义:求两个向量差的运算叫做向量的减法.a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的④相反向量.
(2)作法:已知向量a,b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,如图所示:
(3)几何意义:如果把两个向量a、b的起点放在一起,则a-b可以表示为从向量b的⑤终点指向向量a的⑥终点的向量.
思考2:作向量减法时,差向量如何表示
提示　连接两向量终点,箭头指向被减向量.
探究一　向量的减法运算
　　例1　化简:(1)(-)-(-);
(2)(++)-(--).
解析　(1)解法一:(统一成加法)
(-)-(-)
=--+=+++
=(+)+(+)=+=0.
解法二:(利用减法)
(-)-(-)=--+
=(-)-+=-+=+=0.
解法三:(利用=-)设O是平面内任意一点,
则(-)-(-)=--+
=(-)-(-)-(-)+(-)
=--+-++-=0.
(2)(++)-(--)
=(+)-(-)=-=0.
思维突破
　　向量减法运算的常用方法
特别提醒:
掌握向量加、减法的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识,可以将杂乱的向量运算有序化处理.
1-1　化简:(1)-+;
(2)++--.
解析　(1)解法一:-+=+=0.
解法二:-+=+-=-=0.
(2)++--=++++=(+)+(+)+=++=++=0+=.
探究二　利用已知向量表示其他向量　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例2　(易错题)如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,且 =a, =b, =c,试用向量a,b,c表示向量,,.
解析　因为四边形ACDE是平行四边形,所以= =c,=- =b-a,
=+ =b-a+c.
1.(变结论)试用向量a,b,c表示与.
解析　=-=c-a,
=-=c-b.
2.(变条件)若将“点B是平行四边形ACDE外一点”换为“点B是平行四边形ACDE内一点”,其他条件不变,其结论又如何呢
解析　因为四边形ACDE是平行四边形,
所以==c,=-=b-a,
=+=b-a+c.
易错点拨
　　常因错误地使用向量的减法法则而失分.
减法口诀:起点相同,连接终点,箭头指向被减向量.
把起点相同的放在一起计算.必要时,可画出图形,结合图形观察可使问题更为直观.
探究三　向量减法的几何意义
　　例3　(1)在菱形ABCD中,∠A=60°,||=2,则|-|=　　　　.
(2)若||=8,||=5,则||的取值范围是　　　　.
答案　(1)2　(2)[3,13]
解析　(1)如图所示,连接BD,
∵-=-=,
且四边形ABCD为菱形,∠A=60°,
∴△ABD为正三角形,
∴||=||=2.
故|-|=2.
(2)由=+及三角不等式,得||-||≤|+|≤||+||,又因为||=||=8,所以3≤|+|=||≤13,即||∈[3,13].
思维突破
　　向量a+b,a-b的几何意义
先对向量条件化简、转化,再找(作)图形(三角形或平行四边形),确定图形的形状,最后利用图形的几何性质求解.
3-1　已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|.
解析　如图,作=a,=b,再以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则有=a+b,=a-b,
即|a+b|与|a-b|是平行四边形的两条对角线的长度,又因为|a+b|=|a-b|,所以该四边形为矩形,从而|a-b|==10.
1.下列等式中,正确的个数是(　　)
①0-a=-a;②-(-a)=a;
③a+(-a)=0;④a+0=a;⑤a-b=a+(-b);
⑥a+(-a)=0.　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.3 B.4 C.5 D.6
答案　C　只有⑥不正确.
2.在△ABC中,=a,=b,则=(　　)
A.a-b B.b-a C.a+b D.-a-b
答案　D　=-=--=-a-b.
3.如图所示,已知正六边形ABCDEF,O是它的中心,其中=a,=b,=c,则等于(　　)
A.a+b B.b-a C.c-b D.b-c
答案　D　==-=b-c.
4.已知=a,=b,=c,=d,且四边形ABCD为平行四边形,则(　　)
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0
C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
答案　B　如图,a-b=-=,
c-d=-=,
因为四边形ABCD为平行四边形,
所以=,即-=0,
所以+=0,即a-b+c-d=0.
5.依据图形,解答下列各题:
(1)用a、d、e表示;
(2)用b、c表示;
(3)用a、b、e表示;
(4)用c、d表示.
解析　(1)=++=d+e+a.
(2)=-=--=-b-c.
(3)=++=e+a+b.
(4)=-=-(+)=-c-d.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　直观想象——利用几何图形的性质判断
已知O为四边形ABCD所在平面外的一点,且向量,,,满足+=+,则四边形ABCD的形状为　　　　.
答案　平行四边形
解析　∵+=+,∴-=-,
∴=,∴||=||,且DA∥CB,
∴四边形ABCD是平行四边形.
素养探究:向量a+b,a-b的几何意义表示的是平行四边形的对角线,所以要熟悉并会应用平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质,解题过程中体现了直观想象的核心素养.
　已知=a,=b,若||=5,||=12,且∠AOB=90°,则|a-b|=　　　　.
答案　13
解析　如图所示:
在矩形OACB中,-=,
则|a-b|=||===13.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(多选题)若非零向量a,b互为相反向量,则下列说法正确的是(　　)
A.a∥b B.a≠b
C.|a|≠|b| D.b=-a
答案　ABD
2.四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则=(　　)
A.a-b+c B.b-(a+c)
C.a+b+c D.b-a+c
答案　A
3.如图,P、Q是△ABC的边BC上的两点,且=,则化简+--的结果为(　　)
A.0 B.
C. D.
答案　A
4.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.若+=,则-=
B.若+=,则+=
C.若+=,则-=
D.若+=,则+=
答案　ABC　由向量的减法就是向量加法的逆运算可知A,B,C都正确.由相反向量的定义知,若+=,则+=--=-(+)=-,故D错误.
5.在△ABC中,D是BC的中点,设=c,=b,=a,=d,则d-a=　　　　,d+a=　　　　.
答案　c;b
解析　根据题意画出图形,如图,
d-a=-=+==c.
d+a=+=+==b.
6.如图,在正六边形ABCDEF中,与-+相等的向量有　　　　.(填序号)
①;②;③;④;⑤+;⑥-;⑦+.
答案　①
解析　-+=+=,
+=+=≠,
-=≠,+=≠.
故与-+相等的向量是①.
7.边长为1的正三角形ABC中,|-|的值为　　　　.
答案　
解析　如图所示,延长CB至点C',使BC'=BC,连接AC',
则|-|=|+|=||,
又||=1,∠ABC'=120°,
所以∠AC'B=30°.
所以||=2||cos 30°=.
8.已知点B是 ACDE内一点,且=a,=b,=c,试用a、b、c表示向量、、、及.
解析　∵四边形ACDE为平行四边形,
∴==c,=-=b-a,
=-=c-a,=-=c-b,
=+=b-a+c.
9.(多选题)化简以下各式,结果为零向量的是(　　)
A.++
B.(+)+(-)
C.(+)+(--)
D.++-
答案　AD　++=+=-=0.
(+)+(-)
=++-=+++=.
(+)+(--)
=+++
=(+)+(+)
=+=.
++-=++=-=0.
10.如图所示,在平行四边形ABCD中,=a,=b,=c,试用a,b,c表示,则=　　　　.
答案　a+c-b
解析　因为=a,=b,=c,所以=-=c-b,又=,所以=+=a+c-b.
11.如图,已知=a,=b,=c,=d,=f,试用a,b,c,d, f表示以下向量:
(1);(2);(3)-;(4)+;(5)-.
解析　(1)=-=c-a.
(2)=+=-+=-a+d.
(3)-==-=d-b.
(4)+=-++=b-a-c+f.
(5)-=--(-)=f-b-d+b.
12.如图所示,已知在矩形ABCD中,||=4,||=8.设=a,=b,=c,则|a-b-c|=　　　　.
答案　8
解析　延长AB到点B',使BB'=AB,延长AD到点D',使DD'=AD.连接D'B,D'B',
如图所示,
则b+c=,a-b-c=a-(b+c)=a-=-=,
则|a-b-c|=||==8.
13.如图,在 ABCD中,=a,=b.
(1)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b所在的直线互相垂直
(2)a+b与a-b有可能为相等向量吗 为什么
解析　(1)=+=a+b,
=-=a-b.
若a+b与a-b所在的直线互相垂直,则AC⊥BD,则四边形ABCD为菱形,此时|a|=|b|.所以当a,b满足|a|=|b|时,a+b与a-b所在的直线互相垂直.
(2)不可能.因为 ABCD的两条对角线不可能平行,所以a+b与a-b不可能为共线向量,更不可能为相等向量.
12 / 136.2.2　向量的减法运算
课标解读 课标要求 核心素养
1.借助实例理解并掌握向量减法的概念. 2.掌握向量减法运算法则,并能熟练地进行减法运算.(重点) 3.理解向量减法运算的几何意义.(难点) 1.通过向量减法的三角形法则逐步提升直观想象核心素养. 2.借助向量加减法运算培养数学运算核心素养.
以前台胞春节期间来大陆探亲,需乘飞机从台北到香港,再从香港到上海,现在探亲,可直接乘飞机从台北到上海.若台北到香港的位移用向量a表示,香港到上海的位移用向量b表示,上海到台北的位移用向量c表示.
问题1:向量a、b、c有何关系
问题2:现在探亲的位移是什么
1.相反向量
(1)定义:与向量a长度①相等,方向②相反的向量,叫做a的相反向量,记作-a.
(2)性质:a+(-a)=(-a)+a=0.
如果a,b互为相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.
零向量的相反向量仍是③零向量.
思考1:相反向量的两个要素是什么
提示　方向相反,长度相等.
2.向量的减法
(1)定义:求两个向量差的运算叫做向量的减法.a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的④相反向量.
(2)作法:已知向量a,b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,如图所示:
(3)几何意义:如果把两个向量a、b的起点放在一起,则a-b可以表示为从向量b的⑤终点指向向量a的⑥终点的向量.
思考2:作向量减法时,差向量如何表示
提示　连接两向量终点,箭头指向被减向量.
探究一　向量的减法运算
　　例1　化简:(1)(-)-(-);
(2)(++)-(--).
思维突破
　　向量减法运算的常用方法
特别提醒:
掌握向量加、减法的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识,可以将杂乱的向量运算有序化处理.
1-1　化简:(1)-+;
(2)++--.
探究二　利用已知向量表示其他向量　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例2　(易错题)如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,且 =a, =b, =c,试用向量a,b,c表示向量,,.
1.(变结论)试用向量a,b,c表示与.
2.(变条件)若将“点B是平行四边形ACDE外一点”换为“点B是平行四边形ACDE内一点”,其他条件不变,其结论又如何呢
易错点拨
　　常因错误地使用向量的减法法则而失分.
减法口诀:起点相同,连接终点,箭头指向被减向量.
把起点相同的放在一起计算.必要时,可画出图形,结合图形观察可使问题更为直观.
探究三　向量减法的几何意义
　　例3　(1)在菱形ABCD中,∠A=60°,||=2,则|-|=　　　　.
(2)若||=8,||=5,则||的取值范围是　　　　.
思维突破
　　向量a+b,a-b的几何意义
先对向量条件化简、转化,再找(作)图形(三角形或平行四边形),确定图形的形状,最后利用图形的几何性质求解.
3-1　已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|.
1.下列等式中,正确的个数是(　　)
①0-a=-a;②-(-a)=a;
③a+(-a)=0;④a+0=a;⑤a-b=a+(-b);
⑥a+(-a)=0.　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.3 B.4 C.5 D.6
2.在△ABC中,=a,=b,则=(　　)
A.a-b B.b-a C.a+b D.-a-b
3.如图所示,已知正六边形ABCDEF,O是它的中心,其中=a,=b,=c,则等于(　　)
A.a+b B.b-a C.c-b D.b-c
4.已知=a,=b,=c,=d,且四边形ABCD为平行四边形,则(　　)
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0
C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
5.依据图形,解答下列各题:
(1)用a、d、e表示;
(2)用b、c表示;
(3)用a、b、e表示;
(4)用c、d表示.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　直观想象——利用几何图形的性质判断
已知O为四边形ABCD所在平面外的一点,且向量,,,满足+=+,则四边形ABCD的形状为　　　　.
素养探究:向量a+b,a-b的几何意义表示的是平行四边形的对角线,所以要熟悉并会应用平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质,解题过程中体现了直观想象的核心素养.
　已知=a,=b,若||=5,||=12,且∠AOB=90°,则|a-b|=　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(多选题)若非零向量a,b互为相反向量,则下列说法正确的是(　　)
A.a∥b B.a≠b
C.|a|≠|b| D.b=-a
2.四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则=(　　)
A.a-b+c B.b-(a+c)
C.a+b+c D.b-a+c
3.如图,P、Q是△ABC的边BC上的两点,且=,则化简+--的结果为(　　)
A.0 B.
C. D.
4.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.若+=,则-=
B.若+=,则+=
C.若+=,则-=
D.若+=,则+=
5.在△ABC中,D是BC的中点,设=c,=b,=a,=d,则d-a=　　　　,d+a=　　　　.
6.如图,在正六边形ABCDEF中,与-+相等的向量有　　　　.(填序号)
①;②;③;④;⑤+;⑥-;⑦+.
7.边长为1的正三角形ABC中,|-|的值为　　　　.
8.已知点B是 ACDE内一点,且=a,=b,=c,试用a、b、c表示向量、、、及.
9.(多选题)化简以下各式,结果为零向量的是(　　)
A.++
B.(+)+(-)
C.(+)+(--)
D.++-
10.如图所示,在平行四边形ABCD中,=a,=b,=c,试用a,b,c表示,则=　　　　.
11.如图,已知=a,=b,=c,=d,=f,试用a,b,c,d, f表示以下向量:
(1);(2);(3)-;(4)+;(5)-.
12.如图所示,已知在矩形ABCD中,||=4,||=8.设=a,=b,=c,则|a-b-c|=　　　　.
13.如图,在 ABCD中,=a,=b.
(1)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b所在的直线互相垂直
(2)a+b与a-b有可能为相等向量吗 为什么
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