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6.2　平面向量的运算
6.2.1　向量的加法运算
课标解读 课标要求 核心素养
1.借助实例理解并掌握向量加法的概念. 2.掌握向量加法运算法则,并能熟练地进行加法运算.(重点) 3.理解向量加法运算的几何意义.(难点) 1.通过向量加法的三角形法则、平行四边形法则,培养直观想象核心素养. 2.借助向量加法的运算律进行相关运算,培养数学运算核心素养.
俄罗斯著名寓言作家克雷洛夫在他所著的《克雷洛夫寓言》中有一篇《天鹅、梭子鱼和虾》的故事,故事的大意是这样的:有一天,天鹅、梭子鱼和虾一起拉一车货物,天鹅想,我的家在天上,应该把货物拉到我家,于是,天鹅伸长脖子拼命往天上飞.梭子鱼想,我的家在河里,应该往河里拉,于是,梭子鱼使劲往河里拽.虾想,我的家在池塘里,应该把货送到池塘,于是,虾弓着身子往池塘拉.他们三个累的精疲力尽,车子却纹丝不动.
问题1:车子为什么纹丝不动
答案　天鹅、梭子鱼和虾用力的方向不一致.
　　问题2:这则故事给我们的启示是什么
答案　要想成功,就要好好合作,用力方向要合理.
1.向量的加法
(1)定义:求①两个向量和的运算,叫做向量的加法.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
对于零向量与任意向量a,规定0+a=a+0=a.
(2)向量求和的法则:
三角形法则 已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作②a+b,即a+b=+=
平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作③ OACB,则以O为起点的向量(OC是 OACB的对角线)就是向量a与b的和,即=a+b
特别提醒
　　三角形法则与平行四边形法则的区别与联系
三角形法则 平行四边形法则
区别 满足条件 两向量“首尾相接” 两向量“共起点”
适用范围 所有向量 不共线的两向量
联系 平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这两种求向量和的方法,通过向量平移能相互转化,解决具体问题时视情况而定
　　2.向量加法的运算律
(1)交换律:a+b=④b+a.
(2)结合律:(a+b)+c=⑤a+(b+c).
思考:向量加法的运算律与实数加法的运算律相同吗
提示　相同.
　　3.|a|-|b|,|a±b|,|a|+|b|三者的关系
根据三角形的三边关系可得|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当向量a,b方向相同时取“=”.
探究一　向量加法运算法则的应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　如图所示,已知向量a、b、c,试作出向量a+b+c.
解析　解法一:如图1所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,接着作向量=b,则得向量=a+b,然后作向量=c,则向量=(a+b)+c=a+b+c.
解法二:如图2所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,=b,=c,以OA、OB为邻边作 OADB,连接OD,则=+=a+b,再以OD、OC为邻边作 ODEC,连接OE,则=+=a+b+c.
思维突破
　　向量求和法则的应用技巧
(1)当两个不共线向量求和时,三角形法则和平行四边形法则都可以用.
(2)多个向量求和时,可先求两个向量的和,再和其他向量求和.
1-1　如图(1)、图(2)所示,试作出向量a与b的和.
探究二　向量加法运算律的应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例2　化简下列各式:
(1)++++;
(2)(+)+++.
2-1　化简:(+)+(+)+=　　　　.
探究三　向量加法的实际应用
　　例3　在某地抗震救灾时,一架飞机先从A地按北偏东35°方向飞行800 km到达B地接到受伤人员,然后从B地按南偏东55°方向飞行800 km将受伤人员送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次飞行的位移的和.
3-1　如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平木杆AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A处和B处所受力的大小(绳子的质量忽略不计).
1.在四边形ABCD中,若=+,则(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.四边形ABCD一定是矩形
B.四边形ABCD一定是菱形
C.四边形ABCD一定是正方形
D.四边形ABCD一定是平行四边形
2.化简+++的结果为(　　)
A. B. C. D.
3.(多选题)在如图所示的 ABCD中,下列结论正确的是(　　)
A.= B.+=
C.=+ D.+=0
4.若a表示“向东走8 km”,b表示“向北走8 km”,则|a+b|=　　　　,a+b的方向是　　　　.
5.如图,已知向量a,b,c,求作向量a+b+c.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　逻辑推理——向量加法的应用
如图,在正六边形OABCDE中,=a,=b,试用向量a,b将,,表示出来.
　P,Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=QC.求证: +=+.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(多选题)下列等式正确的有(　　)
A.+=0
B.=++
C.+++=0
D.+++=0
2.在 ABCD中,若|+|=|+|,则四边形ABCD是(　　)
A.菱形 B.矩形
C.正方形 D.不确定
3.在 ABCD中,O是对角线的交点,下列结论正确的是(　　)
A.=,= B.+=
C.+=+ D.++=
4.在矩形ABCD中,AB=,BC=1,则向量++的长度为(　　)
A.2 B.2 C.3 D.4
5.根据图示填空,其中a=,b=,c=,d=.
(1)a+b+c=　　　　;
(2)b+d+c=　　　　.
6.若P为△ABC的外心,且+=,则∠ACB=　　　　.
7.如图所示,已知在矩形ABCD中,||=4,设=a,=b,=c,求|a+b+c|的大小.
8.(多选题)向量a、b均为非零向量,下列说法中正确的是(　　)
A.若向量a与b反向,且|a|>|b|,则向量a+b与a的方向相同
B.若向量a与b反向,且|a|<|b|,则向量a+b与a的方向相同
C.若向量a与b同向,则向量a+b与a的方向相同
D.若向量a与b同向,则向量a+b与b的方向相同
9.(多选题)如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式中正确的是(　　)
A.++=0 B.++=0
C.++= D.++=
10.已知 ABCD,设+++=a,且b是非零向量,则下列结论:①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|,其中正确的有　　　　.(填序号)
11.雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的,无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s,现在有风,风使雨滴以 m/s的速度水平向东移动,求雨滴着地时的速度和方向.
12.过△ABC内一点M任作一条直线l,再分别过顶点A,B,C作l的垂线,垂足分别为D,E,F,若++=0恒成立,则点M是△ABC的(　　)
A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心
13.设|a|=2,e为单位向量,求|a+e|的最大值.
13 / 136.2　平面向量的运算
6.2.1　向量的加法运算
课标解读 课标要求 核心素养
1.借助实例理解并掌握向量加法的概念. 2.掌握向量加法运算法则,并能熟练地进行加法运算.(重点) 3.理解向量加法运算的几何意义.(难点) 1.通过向量加法的三角形法则、平行四边形法则,培养直观想象核心素养. 2.借助向量加法的运算律进行相关运算,培养数学运算核心素养.
俄罗斯著名寓言作家克雷洛夫在他所著的《克雷洛夫寓言》中有一篇《天鹅、梭子鱼和虾》的故事,故事的大意是这样的:有一天,天鹅、梭子鱼和虾一起拉一车货物,天鹅想,我的家在天上,应该把货物拉到我家,于是,天鹅伸长脖子拼命往天上飞.梭子鱼想,我的家在河里,应该往河里拉,于是,梭子鱼使劲往河里拽.虾想,我的家在池塘里,应该把货送到池塘,于是,虾弓着身子往池塘拉.他们三个累的精疲力尽,车子却纹丝不动.
问题1:车子为什么纹丝不动
答案　天鹅、梭子鱼和虾用力的方向不一致.
　　问题2:这则故事给我们的启示是什么
答案　要想成功,就要好好合作,用力方向要合理.
1.向量的加法
(1)定义:求①两个向量和的运算,叫做向量的加法.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
对于零向量与任意向量a,规定0+a=a+0=a.
(2)向量求和的法则:
三角形法则 已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作②a+b,即a+b=+=
平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作③ OACB,则以O为起点的向量(OC是 OACB的对角线)就是向量a与b的和,即=a+b
特别提醒
　　三角形法则与平行四边形法则的区别与联系
三角形法则 平行四边形法则
区别 满足条件 两向量“首尾相接” 两向量“共起点”
适用范围 所有向量 不共线的两向量
联系 平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这两种求向量和的方法,通过向量平移能相互转化,解决具体问题时视情况而定
　　2.向量加法的运算律
(1)交换律:a+b=④b+a.
(2)结合律:(a+b)+c=⑤a+(b+c).
思考:向量加法的运算律与实数加法的运算律相同吗
提示　相同.
　　3.|a|-|b|,|a±b|,|a|+|b|三者的关系
根据三角形的三边关系可得|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当向量a,b方向相同时取“=”.
探究一　向量加法运算法则的应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　如图所示,已知向量a、b、c,试作出向量a+b+c.
解析　解法一:如图1所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,接着作向量=b,则得向量=a+b,然后作向量=c,则向量=(a+b)+c=a+b+c.
解法二:如图2所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,=b,=c,以OA、OB为邻边作 OADB,连接OD,则=+=a+b,再以OD、OC为邻边作 ODEC,连接OE,则=+=a+b+c.
思维突破
　　向量求和法则的应用技巧
(1)当两个不共线向量求和时,三角形法则和平行四边形法则都可以用.
(2)多个向量求和时,可先求两个向量的和,再和其他向量求和.
1-1　如图(1)、图(2)所示,试作出向量a与b的和.
解析　如图①、图②所示.即为所求.
探究二　向量加法运算律的应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例2　化简下列各式:
(1)++++;
(2)(+)+++.
解析　(1)++++
=++++
=+++=+=0.
(2)(+)+++
=(+)+(+)+
=++=+=0.
2-1　化简:(+)+(+)+=　　　　.
答案　
解析　(+)+(+)+=(+)++(+)=++=.
探究三　向量加法的实际应用
　　例3　在某地抗震救灾时,一架飞机先从A地按北偏东35°方向飞行800 km到达B地接到受伤人员,然后从B地按南偏东55°方向飞行800 km将受伤人员送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次飞行的位移的和.
解析　如图所示,设,分别表示飞机从A地按北偏东35°方向飞行800 km到达B地,从B地按南偏东55°方向飞行800 km到达C地.
则飞机飞行的路程是||+||,两次飞行的位移的和是+=.
依题意,有||+||=800+800=1 600(km),∠ABC=35°+55°=90°,
所以||===800(km).
其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°.
故飞机飞行的路程是1 600 km,两次飞行的位移和的大小为800 km,方向为北偏东80°.
思维突破
　　向量加法解决实际问题的应用技巧
(1)准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量.
(2)将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求解.
3-1　如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平木杆AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A处和B处所受力的大小(绳子的质量忽略不计).
解析　如图,设,分别表示A,B所受的力,
10 N的重力用表示,则+=.
易得∠ECG=180°-150°=30°,∠FCG=180°-120°=60°,
∴||=||×cos 30°
=10×=5(N).
||=||×cos 60°=10×=5(N).
故A处所受的力的大小为5 N,B处所受的力的大小为5 N.
1.在四边形ABCD中,若=+,则(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.四边形ABCD一定是矩形
B.四边形ABCD一定是菱形
C.四边形ABCD一定是正方形
D.四边形ABCD一定是平行四边形
答案　D　由向量加法的平行四边形法则可知,四边形ABCD必为平行四边形.
2.化简+++的结果为(　　)
A. B. C. D.
答案　B　+++=+0=.
3.(多选题)在如图所示的 ABCD中,下列结论正确的是(　　)
A.= B.+=
C.=+ D.+=0
答案　ABD　由 ABCD知A,B,D正确,因为=+≠+,所以C错误.
4.若a表示“向东走8 km”,b表示“向北走8 km”,则|a+b|=　　　　,a+b的方向是　　　　.
答案　8 km;东北方向
解析　如图所示,作=a,=b,
则a+b=+=,
所以|a+b|=||==8(km),
因为∠AOB=45°,
所以a+b的方向是东北方向.
5.如图,已知向量a,b,c,求作向量a+b+c.
解析　在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,如图所示:
则由向量加法的三角形法则,得
=a+b,=a+b+c,故即为所求向量a+b+c.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　逻辑推理——向量加法的应用
如图,在正六边形OABCDE中,=a,=b,试用向量a,b将,,表示出来.
解析　如图,连接BE,AD,设正六边形的中心为P,则四边形ABPO,AOEP,ABCP,OPDE均为平行四边形.
由向量加法的平行四边形法则得
=+=a+b.
∵==,
∴==a+b.
在△AOB中,根据向量加法的三角形法则,
得=+=a+a+b.
同理,在△OBC中,
=+=a+a+b+b,
在△OED中,
=+=+=b+a+b.
素养探究:用已知向量表示待求向量,可以利用向量的平移性,根据三角形法则、平行四边形法则,结合正六边形的几何性质转化求解,体现了逻辑推理的核心素养.
　P,Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=QC.求证: +=+.
证明　如图,取BC的中点O,连接AO并延长至点D,使OD=AO,连接BD,CD,则四边形ABDC是平行四边形,所以+=,又BP=QC,BO=CO,所以PO=QO,连接PD,QD,则四边形APDQ是平行四边形,所以+=,所以+=+.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(多选题)下列等式正确的有(　　)
A.+=0
B.=++
C.+++=0
D.+++=0
答案　ABD　由向量加法的三角形法则和零向量的定义可知+=0,故A正确.
++=++=,故B正确.
+++=++=,故C不正确.
+++=+++=0,故D正确.
2.在 ABCD中,若|+|=|+|,则四边形ABCD是(　　)
A.菱形 B.矩形
C.正方形 D.不确定
答案　B
3.在 ABCD中,O是对角线的交点,下列结论正确的是(　　)
A.=,= B.+=
C.+=+ D.++=
答案　C
4.在矩形ABCD中,AB=,BC=1,则向量++的长度为(　　)
A.2 B.2 C.3 D.4
答案　D　在矩形ABCD中,AB=,BC=1,
所以AC=2,
因为++=++=+=2,故其长度为4.
5.根据图示填空,其中a=,b=,c=,d=.
(1)a+b+c=　　　　;
(2)b+d+c=　　　　.
答案　(1)　(2)
解析　(1)a+b+c=++=.
(2)b+d+c=++=++=.
6.若P为△ABC的外心,且+=,则∠ACB=　　　　.
答案　120°
解析　由+=知四边形ACBP为平行四边形,
又P为外心,
所以四边形ACBP为菱形,
且PA=PC=AC,∠ACP=60°,
易得∠ACB=120°.
7.如图所示,已知在矩形ABCD中,||=4,设=a,=b,=c,求|a+b+c|的大小.
解析　如图所示,过点D作AC的平行线,交BC的延长线于点E.
∵DE∥AC,AD∥BE,
∴四边形ADEC为平行四边形,
∴=,=,
于是a+b+c=++
=+=+==+=2,
∴|a+b+c|=2||=8.
8.(多选题)向量a、b均为非零向量,下列说法中正确的是(　　)
A.若向量a与b反向,且|a|>|b|,则向量a+b与a的方向相同
B.若向量a与b反向,且|a|<|b|,则向量a+b与a的方向相同
C.若向量a与b同向,则向量a+b与a的方向相同
D.若向量a与b同向,则向量a+b与b的方向相同
答案　ACD　当向量a与b反向,且|a|<|b|时,向量a+b与b的方向相同,只有B错误,A、C、D都正确.
9.(多选题)如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式中正确的是(　　)
A.++=0 B.++=0
C.++= D.++=
答案　ABC　++=+=0,故A正确;++=++=0,故B正确;
++=+=+=,故C正确;++=+0==≠,故D错误.
10.已知 ABCD,设+++=a,且b是非零向量,则下列结论:①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|,其中正确的有　　　　.(填序号)
答案　①③
解析　因为在平行四边形ABCD中,+=0,+=0,所以a为零向量,因为零向量和任意向量都平行,零向量和任意向量的和等于这个向量本身,所以①③正确,②④错误.
11.雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的,无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s,现在有风,风使雨滴以 m/s的速度水平向东移动,求雨滴着地时的速度和方向.
解析　如图,用表示雨滴下落的速度,表示风使雨滴水平向东移动的速度.
以,为邻边作四边形OACB,就是雨滴下落的实际速度.
在Rt△OAC中,||=4,||=,
∴||=
==,
∴tan∠AOC===,∴∠AOC=30°.
故雨滴着地时的速度大小是 m/s,方向为南偏东30°.
12.过△ABC内一点M任作一条直线l,再分别过顶点A,B,C作l的垂线,垂足分别为D,E,F,若++=0恒成立,则点M是△ABC的(　　)
A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心
答案　B　设直线l过点A,则|AD|=0,有+=0.
则直线AM经过BC的中点,同理,直线BM经过AC的中点.直线CM经过AB的中点,所以点M是△ABC的重心.
13.设|a|=2,e为单位向量,求|a+e|的最大值.
解析　在平面内任取一点O,作=a,=e,
则a+e=+=,因为e为单位向量,所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示),
由图可知,当点B在点B1处时,O,A,B1三点共线,此时||(即|a+e|)最大,最大值是3.
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