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6.4
6.4.3 余弦定理（1）
平面向量的应用
第六章
学习目标
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
新知学习
知识点一　余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于____________________
_________________________________
公式表达 a2＝ ，
b2＝ ，
c2＝________________
其他两边平方的和减去
这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
b2＋c2－2bccos A
a2＋c2－2accos B
a2＋b2－2abcos C
余弦定理 推论
cos A＝ ，
cos B＝ ，
cos C＝__________
思考　在a2＝b2＋c2－2bccos A中，若A＝90°，公式会变成什么？
答案　a2＝b2＋c2，即勾股定理.
知识点二　解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 .
元素
解三角形
易错辨析
1.余弦定理适用于任何三角形.(　　)
2.在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一.(　　)
3.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角.(　　)
4.在△ABC中，若a2＋b2－c2>0，则角C为钝角.(　　)
√
×
√
×
典例剖析
一、已知两边及一角解三角形
例1　 (1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2 ，A＝30°，求a的值；
解　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A
(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3 ，B＝30°，解这个三角形.
解　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
当a＝3时，A＝30°，C＝120°；
A＝90°，C＝60°.
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.
反思感悟
跟踪训练
已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝ ，则c＝ ，
sin A＝ .
2
解析　根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2× ＝4，解得c＝2.
二　已知三边解三角形
反思感悟
已知三角形的三边解三角形的方法
利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角.
跟踪训练
在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小.
解　∵a>c>b，∴A为最大角.
由余弦定理的推论，
又∵0°∴最大角A为120°.
三、余弦定理的简单应用
例3　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ ac，则角B的大小是
A.45° B.60°
C.90° D.135°
又0°(2)在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状.
解　由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形.
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线
①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.
②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论
①△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.
②△ABC为锐角三角形 a2＋b2>c2且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.
③△ABC为钝角三角形 a2＋b2④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝ .
反思感悟
跟踪训练
在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
D解析　在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，
所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
随堂小测
1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－ ，则该三角形的第三条边长为
A.52 B.
C.16 D.4
B解析　设第三条边长为x，
B解析　∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角，
4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状是
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
B解析　因为bcos C＋ccos B＝asin A，
整理，得a＝asin A，所以sin A＝1.
故△ABC为直角三角形.
5.在△ABC中，已知a＝2，b＝2 ，C＝15°，则c＝ ，A＝
.
又A为△ABC的内角，
课堂小结
1.知识清单：
(1)余弦定理.
(2)余弦定理解决的两类问题.
(3)余弦定理的简单应用.
2.方法归纳：化归转化、数形结合.
3.常见误区：不要忽略三角形中的隐含条件.
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