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6.4
6.4.3 余弦定理、正弦定理（2）
平面向量的应用
第六章
学习目标
1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.
2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
新知学习
知识点　正弦定理
条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
结论
文字叙述 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等
正弦
易错辨析
1.正弦定理对任意的三角形都成立.(　　)
2.在△ABC中，等式bsin C＝csin B总能成立.(　　)
3.在△ABC中，若a＞b，则必有sin A>sin B.(　　)
4.任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素.(　　)
√
×
√
√
典例剖析
一、已知两角及任意一边解三角形
例1　在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形.
解　因为B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.
(1)正弦定理实际上是三个等式：
，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.
反思感悟
跟踪训练
在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值.
解　A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
二　已知两边及其中一边的对角解三角形
∵0°反思感悟
已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤
(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角.
(2)用三角形内角和定理求出第三个角.
(3)根据正弦定理求出第三条边.
其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值.
跟踪训练
在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于
三、已知两边及一边对角判断三角形解的个数
例3　不解三角形，判断下列三角形解的个数.
a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)b＝72，c＝50，C＝135°.
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解.
已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；
②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：
反思感悟
A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 absin A 两解
a＝bsin A 一解
a随堂小测
1.在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是
2.在△ABC中，一定成立的等式是
A.asin A＝bsin B B.acos A＝bcos B
C.asin B＝bsin A D.acos B＝bcos A
得asin B＝bsin A.
4.已知在△ABC中，b＝4 ，c＝2，C＝30°，那么此三角形
A.有一解 B.有两解
C.无解 D.解的个数不确定
∴此三角形无解.故选C.
5.在△ABC中，a＝5，b＝5 ，A＝30°，则B＝____________.
60°或120°
∵b>a，∴B>A，且0°课堂小结
1.知识清单：
(1)正弦定理.
(2)正弦定理的变形推论.
(3)利用正弦定理解三角形.
2.方法归纳：化归转化、数形结合.
3.常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论.
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