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个性化辅导学历案
第二节 运动的合成与分解
教学目标
理解合运动与分运动，清楚合运动与分运动的区别
掌握合运动与分运动的关系
运动的合成与分解的本质及方法
掌握小船过河模型，通过小船过河模型理解运动的合成与分解
掌握关联体速度问题的解题思路
教学重点
分运动与和运动之间的关系
运动的合成与分解的本质及方法
小船过河模型及关联体的速度问题
三．知识点精讲
知识点一：合运动和分运动
如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，那几个运动就是分运动。
2. 物体的实际运动一定是合运动，实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。
知识点二：合运动与分运动的关系
独立性：各分运动互相独立，互不影响。
等时性：各个分运动与合运动总是同时开始、同时结束，经历的时间相同。
等效性：分运动合起来的效果和合运动的效果相同，即分运动与合运动可以“等效替代”。
同体性：合运动和它的分运动必须对应同一个物体的运动。
矢量性：合运动与分运动的位移、速度和加速度之间的关系均可以进行矢量运算。
知识点三：运动合成与分解的方法
1.可以分解位移、速度、加速度，遵循平行四边形法则
2.采用正交分解法
知识点四：合运动性质的决定因素
1.合运动性质由合加速度、合初速度决定
知识点五：小船渡河问题
1.小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动和船在静水的运动，船的实际运动是合运动。
（1）最短渡河时间问题：当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，即（d是河宽）
（2）最短渡河位移问题：
（a）当时，渡河的最短位移即河的宽度。为了使渡河位移等于d，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，。（因为0≤cosθ＜1，所以只有在时，船才有可能垂直河岸横渡。）
（b）当时，则不论船的方向如何，总是会被水冲向下游。以v水的末端为圆心，v船大小为半径画圆，当v合与圆相切时，船的渡河位移最短，如图所示。
知识点六：关联速度问题——拉船模型（绳子末端速度分解的处理方法）
1.要点：绳两端的物体在沿绳的方向上的分速度大小相同
2.分解要点：①实际运动就是合运动；②把实际运动沿平行于绳和垂直于绳的方向上分解。
3.速度投影定理：两个物体在不可伸长的绳（或杆）的连接下沿不同方向运动，则两物体沿绳（或杆）方向的分速度相同。
知识点七：关联速度问题——连接杆模型
1.要点：连接杆问题：沿杆的方向上速度大小相等。
【例题】两根光滑的杆互相垂直的固定在一起，上面分别穿有一个小球，小球a、b间用一根直棒相连，如图所示。两球在光滑杆上滑动，当细直棒与竖直杆夹角为θ时，求小球a、b实际速度大小之比。
四．典型例题练习
典型例题一：运动的合成与分解的概念
1．物理学的研究方法在自然科学的很多领域都起着重要作用力的合成和分解、运动的合成和分解所体现的研究方法是（　　）
A．图像法 B．整体法 C．等效法 D．隔离法
2．关于运动的合成和分解，下列说法正确的是（　　）
A．物体只有做曲线运动时，才能将这个运动分解为两个分运动
B．两个匀速直线运动（速度大小不等）的合运动仍是匀速直线运动
C．合运动的时间等于两个分运动的时间之和
D．合运动的速度大小等于两个分运动的速度大小之和
3．(多选)关于合运动与分运动，下列说法正确的是（　　）
A．分运动的时间一定与合运动的时间相等
B．一个合运动只能分解成两个互相垂直的分运动
C．物体的分运动相互独立，互不影响
D．合运动就是物体的实际运动
4.如图所示，红蜡块可以在竖直玻璃管内的水中匀速上升，若在红蜡块从A点开始匀速上升的同时，玻璃管从AB位置水平向右做匀减速直线运动，则红蜡块的实际运动轨迹可能是图中的（ ）
A．直线P B．曲线Q
C．曲线R D．三条轨迹都有可能
典型例题二：运动的合成与分解的应用
1．质量为m=2kg的物体在光滑的水平面上运动，在水平面上建立x0y坐标系，t=0时，物体位于坐标系的原点O。物体在x轴和y轴方向上的分速度vx、vy随时间t变化的图象如图甲、乙所示。求：
（1）t=3.0s时，物体受到的合力的大小和方向；
（2）t=8.0s时，物体速度的大小和方向；
（3）t=8.0s时，物体的位置（用位置坐标x、y表示）
典型例题三：小船过河问题
1．一艘小船在静水中的速度为5m/s，渡过一条宽180m，水流速度3m/s的河。则该小船过河的最短时间为（　　）
A．60s B．36s C．45s D．30s
2．一小船渡河，河宽d=180m，水流速度v=3m/s，若船在静水中的速度为v=5m/s，求：
（1）欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
（2）欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
典型例题四：关联体速度问题
1．如图所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳速度大小为，当船头的绳索与水平面夹角为时，船的速度为（　　）
A． B． C． D．
2．如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高．当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为________．
基础知识过关检测
一．单选题
1．如图所示为某人游珠江，他以一定的速度且面部始终垂直于河岸向对岸游去。设江中各处水流速度相等，他游过的路程、过河所用的时间与水速的关系是（　　）
A．水速大时，路程长，时间长 B．水速大时，路程长，时间不变
C．水速大时，路程长，时间短 D．路程、时间与水速无关
2．有一条宽为50m的河，游泳爱好者小明想要游到对岸去，水流速度为2m/s，小明在静水中的速度为1m/s，以下结论正确的是（　　）
A．小明可能到达正对岸
B．小明的最短过河时间为50s
C．小明以最短路程过河所需时间为50s
D．小明要以最短路程过河，游姿方向需始终与对岸垂直
3．如图所示，两岸平行的小河，水流速度恒为v=4m/s，小船自A处出发，沿航线AB渡河，到达对岸B处。AB与下游河岸的夹角θ=37°。取sin37°=0.6，cos37°=0.8，则小船在静水中的速度不可能为（　　）
A．2.2m/s B．2.4m/s
C．4m/s D．6m/s
4．如图所示，某同学在研究运动的合成时做了下述活动：用左手沿黑板推动直尺竖直向上运动，运动中保持直尺水平，同时，用右手沿直尺向右移动笔尖。若该同学左手的运动为匀速直线运动，右手相对于直尺的运动为初速度为零的匀加速直线运动，则关于笔尖相对于黑板的运动，下列说法中正确的是（　　）
A．笔尖做匀速直线运动 B．笔尖做匀变速直线运动
C．笔尖做匀变速曲线运动 D．图中笔尖的运动轨迹是一条斜向上的直线
5．河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示。若要以最短时间渡河，则（　　）
A．船渡河的最短时间是60s
B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是3m/s
6．在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从时刻起，由坐标原点（0，0）开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度-时间图像如图甲、乙所示，下列说法中正确的是（　　）
A．0~2s内物体沿x轴做匀变速曲线运动
B．0~2s内物体的平均速度为2m/s
C．4s末物体坐标为（6m，4m）
D．2~4s内物体做匀加速曲线运动，但加速度沿y轴方向
7．如图所示，在注满清水的竖直密封玻璃管中，红蜡块 R 正以较小的速度v沿y轴匀速上浮，与此同时玻璃管沿水平x轴正方向做匀速直线运动。从红蜡块通过坐标原点 O 开始计时，直至蜡块运动到玻璃管顶端为止。在此过程中，下列说法正确的是（　　）
A．红蜡块做变速曲线运动
B．红蜡块的速度与时间成反比
C．仅减小玻璃管运动的速度，红蜡块将更慢运动到顶端
D．仅增大玻璃管运动的速度，红蜡块运动到顶端的时间保持不变
8．如图所示绳子通过固定在天花板上的定滑轮，左端与套在固定竖直杆上的物体A连接，右端与放在水平面上的物体B相连，到达如图所示位置时，绳与水平面的夹角分别为夹角为、，两物体的速率分别为、，且此时，、，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题
9．关于不共线的两个直线运动的合运动的描述正确的是（　　）
A．两个匀速直线运动的合运动可能是曲线运动
B．一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动的合运动一定是匀变速曲线运动
C．两个匀加速直线的合运动一定是匀加速直线运动
D．两个匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动
10．如图所示，物体A和B分别与跨过定滑轮的轻绳两端连接（不计绳与滑轮之间的摩擦），当用水平变力F拉着物体B沿光滑水平面向右做匀速直线运动时，下列判断正确的是（ ）
A．物体A的速度小于物体B的速度
B．物体A的速度大于物体B的速度
C．物体A做匀速直线运动
D．轻绳的拉力大于物体A所受的重力
三．解答题
11．小船在160m宽的河中横渡，水路速度为3m/s，船在静水中的航速是4m/s，求：
（1）最短渡河时间及此时的航程
（2）最短航程及此时渡河所用时间
（3）若有最短航程时船头的方向与上游河岸的夹角记为θ，则cosθ时多大？
12．质量的物体在光滑水平面上运动，其在相互垂直的x方向和y方向的分速度和随时间变化的图像如图甲、乙所示，求：
（1）物体所受的合力大小；
（2）物体的初速度大小；
（3）0~4s内物体的位移大小；
（4）时物体的速度大小；
（5）物体运动的轨迹表达式。
基础知识过关检测——【答案解析】
1．B
【解析】
将人运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，水流的运动不影响垂直于河岸方向上的运动，在垂直于河岸方向上
人的划水速度不变，所以过河的时间不变．水流速的大小影响在沿河岸方向上的位移
x=v水t
时间不变，水流速越大，沿河岸方向上的位移越大，根据运动的合成，发生的位移（路程）越大．故B正确，ACD错误．
故选B。
2．B
【解析】
A．小明在静水中的速度v1小于水流速度v2，v1和v2的合速度方向不可能垂直于正对岸，所以小明不可能到达正对岸，故A错误；
B．当小明的游姿方向始终垂直于正对岸时过河时间最短，为
故B正确；
CD．如图所示，当小明的游姿方向与合速度方向垂直时，其过河路程最短，根据速度的合成与分解以可得小明的合速度大小为
并且
以最短路程过河所需的时间为
故CD错误。
故选B。
3．A
【解析】
船的最小速度为
故A不可能，BCD可能。
故选A。
4．C
【解析】
笔尖同时参与了直尺竖直向上的匀速运动和水平向右初速度为零的匀加速运动，合初速度向上，合加速度水平向右，笔尖相对于黑板的运动即实际运动，运动性质取决于合初速度与合加速度，由于合加速度恒定，所以是匀变速运动；合初速度与和合加速度不在同一直线上，所以轨迹是曲线；所以笔尖在做匀变速曲线运动，故ABD错误，C正确。
故选C。
5．B
【解析】
AB．由题图甲可知河宽300m，船头始终与河岸垂直时，船渡河的时间最短，则
故A错误，B正确；
C．由于船沿河漂流的速度大小始终在变化，故船的实际速度大小和方向也在时刻发生变化，船在河水中航行的轨迹是曲线，故C错误；
D．船沿河漂流的最大速度为4m/s，所以船在河水中的最大速度
D错误。
故选B。
6．D
【解析】
AB．0～2s内，物体在y轴方向速度为零，在x轴方向做匀加速直线运动，0～2s内物体的平均速度为
故AB错误；
C．在前2s内，物体在x轴方向的位移为
在后2s内，x轴方向的位移为
x方向的总位移为
y轴方向位移为
则4s末物体的坐标为（6m，2m），故C错误；
D．在后2s内，物体在x轴方向做匀速直线运动，y轴方向做匀加速直线运动，根据运动的合成得知，物体做匀加速曲线运动，加速度沿y轴方向，故D正确。
故选D。
7．D
【解析】
AB．红蜡块沿x方向和y方向均做匀速直线运动，则合运动也是匀速直线运动，速度不变，选项AB错误；
CD．若增大或减小玻璃管运动的速度，蜡块的竖直速度不变，则红蜡块运动到顶端的时间不变，选项C错误，D正确；
故选D。
8．A
【解析】
设此时绳子的速率为，将A、B的速度分别沿绳的方向和垂直绳的方向分解，可得
结合
解得
故选A。
9．BD
【解析】
A．两个匀速直线运动的合运动是匀速直线运动，故A错误；
B．一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动的合运动，由于不共线，则合外力大小不变，与速度方向不共线，则一定是匀变速曲线运动，故B正确；
CD．两个匀加速直线的合运动，由于不共线，则合外力大小不变，但合外力与速度方向关系未知，不一定是匀加速直线运动，可能是直线运动也可能是曲线运动，故C错误，D正确。
故选BD。
10．AD
【解析】
AB．设物体B的运动速度为vB，将B的速度沿绳和垂直绳的方向进行分解，沿绳方向的速度即为物体A的运动速度，则有
则物体A的速度小于物体B的速度，A正确，B错误；
C．根据
在物体B运动过程中θ不断变小，则vA会不断增大，故物体A做加速运动，C错误；
D．物体A做加速运动，则有
说明轻绳的拉力大于物体A所受的重力，D正确。
故选AD。
11．（1）40s；200m（2）160m； （3）
【解析】
（1）当船头垂直河岸时渡河的时间最短，最短时间为：；
此时的航程
（2）当合速度方向与河岸垂直时航程最短，最短航程为d=160m；此时合速度；
渡河时间：
（3）若有最短航程时船头的方向与上游河岸的夹角记为θ，则cosθ=
12．（1）1N；（2）3 m/s；（3）；（4）5 m/s；（5）
【解析】
（1）物体在x方向的加速度大小
在y方向的加速度大小
故合加速度为
根据牛顿第二定律得
（2）由题图可知，，所以物体的初速度大小为
（3）0~4s内物体在x、y方向上位移分别为
，
所以0~4s内物体的位移
（4）时，物体在x、y方向上位移速度分别为
，
所以此时物体的速度大小为
（5）由，，，，联立可得
能力提升检测练习
一．单选题
1．如图所示，匀速向右运动的汽车用跨过光滑定滑轮的轻绳提升物块A，则A到达滑轮之前（　　）
A．做匀速运动 B．做加速运动 C．处于失重状态 D．绳的拉力是恒力
2．一条两岸平行的小河,河水自西向东流动,各处流速相同,一小船船头垂直河岸行驶,下列说法正确的是（　　）
A．若小船速度不变,小船可能做曲线运动
B．若小船速度不变,小船可能做匀变速直线运动
C．若小船沿垂直河岸方向的初速度为零、加速度不为零且不变,小船做匀变速曲线运动
D．若小船沿垂直河岸方向的初速度为零、加速度不为零且不变,小船可能做变加速曲线运动
3．如图，在水流速度恒为6m/s的河里，一条小船沿直线从A点驶向对岸的B点。已知，AB与河岸成30°角，则船在静水中行驶的最小速度为（　　）
A．2m/s B．3m/s C．4m/s D．5m/s
4．金马河流经温江后河宽逐渐增大，由300米扩至1200米，是温江的一张名片。如图所示，一条小船位于400m宽的河中央A点处，从这里向下游200m处有一危险的急流区，当时水流速度恒定为4m/s，为使小船避开危险区沿直线到达对岸；小船在静水中的速度至少为（　　）
A．m/s B．2m/s C．m/s D．4m/s
5．如图所示，蜡烛块可以在直玻璃管内的水中速上升，若在蜡烛块从A点开始匀速上升的同时，玻璃管水平向右做匀加速直线运动，蜡烛块最终达到C点，蜡烛块从A点到C点的运动轨可能是图中的（ ）
A．曲线1 B．曲线2 C．直线3 D．曲线4
6．在光滑水平桌面上建立直角坐标系xOy，滑块位于坐标原点O处，现给滑块以一沿y方向的初速度v0，同时在x方向施加一恒力F，经过一段时间后撤去F，则滑块的运动轨迹可能为（ ）
A．B．C．D．
二．多选题
7．已知河水自西向东流动，流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2>v1，用小箭头表示船头的指向及小船在不同时刻的位置，虚线表示小船过河的路径，则下图中可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图所示，一块橡皮用细线悬挂于点，用铅笔靠着线的左侧挑起细线水平向右从静止开始匀加速移动，运动中始终保持悬线竖直，则关于橡皮运动的说法正确的是（　　）
A．橡皮做的是直线运动 B．橡皮做的是曲线运动
C．橡皮速度大小始终是铅笔的2倍 D．橡皮加速度大小始终是铅笔的倍
9．质量为4kg的质点在平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．质点的初速度大小为5m/s B．质点所受的合力大小为6N
C．t=0时，质点速度的方向与合外力方向垂直 D．2s末质点速度大小为
三．填空题
10．如图，小九同学在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中R为一个由蜡做成的小圆柱体。R从坐标原点匀速上浮，同时小九同学将玻璃管沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动。小九同学将各个时刻R的x、y坐标值测出，并填入下图表格中。
t/s 0 2 4 6 8
y/cm 0 2.0 4.0 6.0 8.0
x/cm 0 4.0 16.0 36.0 64.0
（1）小圆柱体R的运动轨迹可能是图中的____________。
A． B． C．
（2）小圆柱体R的加速度的大小a=_________m/s2，红蜡块在第4s末速度的大小v4=_________（≈8.1，结果均保留两位有效数字）。
四．解答题
11．一小船渡河，河宽，水流速度。已知，
（1）若船在静水中的速度为，求：
①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
（2）若船在静水中的速度，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
（3）若小船只能停靠在河对岸下游处，则小船在静水中航速至少要达到多大？对应运动时间是多少？船头指向与河岸夹角多大？
12．运动的合成与分解是我们研究复杂运动时常用的方法。如图所示，一高度为h、内壁光滑的圆筒竖直放置，将一个小滑块在圆筒上端O点以水平初速度沿圆筒内壁切线方向抛出。小滑块沿圆筒内壁运动了一周后恰好从点离开圆筒。已知重力加速度为g，不计空气阻力。
a．求小滑块从抛出到离开圆筒所用的时间t。
b．如果沿虚线将圆筒展开，以小滑块初始位置为坐标原点O，初速度方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立直角坐标系，请在图中定性画出小滑块在圆筒内表面的运动轨迹。
能力提升检测练习——【答案解析】
1．B
【解析】
对汽车的速度v沿绳子的方向和垂直于绳子的方向进行正交分解，如图所示，有
，
ABC．物块上升的速度大小等于，由可知，汽车匀速向右，角变小，所以变大，物块向上做加速运动，加速度向上，物块处于超重状态，A、C错误，B正确；
D．由可知，汽车匀速向右，角变小，可知物块向上做加速度减小的加速运动，拉力和重力的合力减小，故绳的拉力为变力，D错误。
故选B。
2．C
【解析】
物体的轨迹是直线还是曲线取决于其速度与合外力是否共线，是匀变速还是非匀变速取决于合外力是否恒定；小船在流动的河水中运动，其实际速度是其静水速度（小船速度）与水流速度的合速度，加速度是两个分运动加速度的合加速度，因水速恒定，所以加速度就是船的加速度。
AB．因水流速度处处相同，若小船速度不变，依据运动的合成可知，小船实际速度恒定，故小船做匀速直线运动，故A、B错误；
CD．若小船沿垂直河岸方向的初速度为零、加速度不为零且不变，则加速度与速度不共线，加速度不变，小船会做匀变速曲线运动，故C正确，D错误。
故选C。
3．B
【解析】
若船要从A点驶向对岸的B点，则船的合速度需要沿方向且满足
此时船的速度最小，代入数据解得
故B正确，ACD错误。
故选B。
4．B
【解析】
【详解】
由题意知，小船刚好避开危险区时，合速度方向如图所示
设合速度与水流速度夹角为，则由几何关系得
其中
所以小船在静水中的速度至少为
故选B。
5．A
【解析】
当合速度的方向与合力（合加速度）的方向不在同一条直线上，物体将做曲线运动，且轨迹夹在速度与合力方向之间，轨迹的凹向大致指向合力的方向，而本题竖直向做匀速直线运动，水平向右做匀加速直线运动，因此蜡块将沿着合速度的方向做匀变速曲线运动，合力水平向右指向凹侧，故符合要求的轨迹是曲线1，故选A。
6．C
【解析】
给滑块以一沿y方向的初速度v0，同时在x方向施加一恒力F，y方向做匀速直线运动，x方向做静匀加速，则滑块将做匀变速曲线运动，曲线的凹侧沿x方向；经过一段时间后撤去F时，此时的速度沿曲线的切线方向斜向右上，此后沿速度方向做匀速直线运动，故轨迹正确的选C。
7．AB
【解析】
AC．根据平行四边形定则，合速度方向为北偏东，A正确，C错误；
B．根据平行四边形定则，合速度方向可能向北，B正确；
D．根据平行四边形定则，合速度方向不可能与船的速度方向相同，D错误。
故选AB。
8．AD
【解析】
悬线在水平方向上伸长的距离总是等于它在竖直方向缩短的距离，故橡皮水平速度和竖直速度总是大小相等，它将沿与水平方向成45度向右上方做匀加速直线运动，所以合加速度与合速度均为水平的倍，故AD正确；
故选AD。
9．ABD
【解析】
AB．质点在x方向做匀变速直线运动，由图可知，初速度为
直线在y方向做匀速直线运动，速度大小为
则物体的初速度为
根据牛顿第二定律得
故AB正确；
C．质点所受合外力方向与加速度方向相同，为x方向，由A可知，质点的初速度方向不是沿着y轴方向，故C错误；
D． 2s末质点在x方向的速度大小为6m/s，则质点的速度为
故D正确。
故选ABD。
10． B 2.0×10-2 8.1cm/s
【解析】
（1）[1]小圆柱体R竖直方向做匀速运动，水平方向做匀加速运动，则合运动为曲线运动，曲线的凹向沿x轴正向，则轨迹如图B所示。
（2）[2]小圆柱体R的加速度的大小
[3]红蜡块在第4s末竖直速度
水平速度
第4s末速度的大小
11．（1）①船头垂直河岸，，；②船头与上游河岸成角，，；（2）船头的方向与上游河岸成角，，；（3），，
【解析】
（1）①欲使船在最短的时间内渡河，则船在垂直河岸方向上的速度最大，则船头垂直河岸，所用时间为
此时船航行的速度为
位移为
②欲使船渡河的航程最短，船的航行速度方向指向对岸，如图所示
根据几何关系可知
解得
则当船头与上游河岸成角时航程最短，此时的航行速度为
则航行的位移为
所用时间为
（2）若船在静水中的速度，要使船渡河的航程最短，因为船在静水中的速度小于水流速度，则船一定向下游飘移，设船航行的速度方向与下游河岸夹角为，则航程
则角越大，航程越短，当角最大时，航程最短，船头指向如图所示
根据几何关系可知
则
则船头的方向与上游河岸成角，此时，航行的位移为
船航行的速度
所用时间为
（3）若小船只能停靠在河对岸下游处，当小船以最小的静水速度到达指定地点，小船做直线运动，则实际航线方向与下游河岸的夹角满足
则
即船头与上游河岸的夹角为时，船在静水中速度最小，如图所示
则船航行的速度为
船在静水中的速度为
航行的位移为
航行的时间为
12．a．
b．
【解析】
a．由题意可知，小滑块竖直方向做自由落体运动，可得小滑块从抛出到离开圆筒所用的时间为
解得
b．剪开以后小球做平抛运动，由题意可知，小滑块在圆筒内表面的运动轨迹为

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