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2021——2022学年度人教版八年级数学下册 第十八章平行四边形 18.2.正方形 练习题
一、选择题
1．正方形具有而矩形不一定有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角互补 D．四个角相等
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当 ABCD是矩形时，∠ABC＝90° B．当 ABCD是菱形时，AC⊥BD
C．当 ABCD是正方形时，AC＝BD D．当 ABCD是菱形时，AB＝AC
3．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，则∠EAF=（ ）度
A．30° B．45° C．50° D．60°
4．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（ ）
A．4 B．4.5 C．5.5 D．5
5．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
6．如图，正方形ABCD的边长为6，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（　　）
A． B． C．3 D．3.5
7．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（ ）
A． B． C． D．＋1
8．如图，在边长为1的正方形中，当第1次作，第2次作；第3次作，……依次方法继续作垂直线段，当作到第10次时，所得的最小的三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连结CE．若∠AFD＝56°，则∠CEF的度数为（　　）
A．22° B．24° C．26° D．28°
10．如图，已知四边形是平行四边形，对角线、交于点，下列叙述错误的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
二、填空题
11．一个正方形的对角线长为2，则其面积为_____．
12．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN．则MN的长为_________．
13．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1，3，则正方形ABCD的面积是 _____．
14．如图，在正方形ABCD中，点O在内，，则的度数为______．
15．如图，正方形的边长为，为边的中点，点在边上移动，点关于直线的对称点记为，连接、、．当四边形为正方形时，的长为________．
三、解答题
16．如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数．
17．如图，正方形ABCD，CEFG的边长分别为a，b，点G在边CD上，这两个正方形的面积之差为51cm2，且BE＝17cm，求DG的长．
18．如图，点E在正方形ABCD内，AE=3，BE=4，AEBE，请求出阴影部分的面积S.
19．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OB、OC上，OE＝OF．求证：AE＝BF．
20．如图，E、F、G、H为四边形ABCD各边的中点，对角线AC⊥BD．求证：四边形EFGH为矩形．
21．如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，.
（1）若、、三点共线，求的长；
（2）求的面积的最小值.
22．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止．已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．
（Ⅰ）当x为何值时，AP、ND长度相等？
（Ⅱ）当x为何值时，以PQ、MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边能构成一个三角形？
（Ⅲ）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？
23．如图，是边长为的等边三角形，点为下方的一动点，．
（1）若，求的长；
（2）求点到的最大距离；
（3）当线段的长度最大时，求四边形的面积．
【参考答案】
1．A 2．D 3．B 4．D 5．D 6．B 7．A 8．B 9．A 10．D
11．2
12．1
13．10
14．135°
15．
16．解：∵四边形是正方形，
∴，，
，
在和中，
，
∴；
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
17．解：∵四边形ABCD，CEFG都是正方形，
设BC为x，CE为y，
可得：，
解得：x y＝3，
∴DG＝CD CG＝BC CE＝3（cm）．
18．解：∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°，
在RtΔABE中，由勾股定理得AE +BE =AB ，
∴3 +4 =AB ，
∴ AB=5 ，
∴ =5 - =25-6=19．
19．∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OB，AC⊥BD，
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（SAS）
∴AE＝BF．
20．证明：∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AC，EF//AC，
同理，GH＝AC，GH//AC，FG＝BD，
∴EF＝GH，EF//GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴∠HEF＝90°，
∴平行四边形EFGH为矩形．
21．（1）由旋转得：，，
∵是边的中点，∴.
在中，.
∴.
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
即，
∴.
在和中
∴.
∴.
（2）由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动.
过点作于点.
∵，
∴
当三点共线，最小，.
∴.
22．(Ⅰ)∵，
∴AP=ND时，即，
解得：或(舍去)，
∴当为2时，AP、ND长度相等；
(Ⅱ)当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形，
①当点P与点N重合时，
由题意得：，
解得： (舍去)，
∵，此时点Q与点M不重合，
∴符合题意；
②当点Q与点M重合时，
由题意得：，
解得：，
此时，不符合题意，
∴点Q与点M不能重合．
综上所述，所求的值为：；
(Ⅲ)∵当N点到达A点时，，此时M点和Q点还未相遇，
∴点Q只能在点M的左侧，
①当点P在点N的左侧时，如图1所示：
由题意得：，
解得： (舍去)，，
当时四边形PQMN是平行四边形；
②当点P在点N的右侧时，如图2所示：
由题意得：，
解得：(舍去)，，
当时，四边形NQMP是平行四边形；
综上所述，当或时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
23．是等边三角形，
又
;
取的中点，连接
:∠ACB=90°，AB=2,
又点为下方的一动点，
当时，点到的距离最大为
连接
为等边三角形，
.
根据三角形三边关系
即共线时，最大，
的最大长度为
此时，四边形的面积为．

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