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17.2 勾股定理逆定理
【学习目标】
1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．
2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.
3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.
【知识总结】
一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
【注】：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
二、如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1） 首先确定最大边（如）.
（2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.21世纪教育网版权所有
【注】：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
三、互逆命题
如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.21cnjy.com
【注】：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.www.21-cn-jy.com
四、勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.【来源：21·世纪·教育·网】
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　
1 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
【注】：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；
【典型例题】
【类型】一、原命题与逆命题
例1．下列命题中逆命题是真命题的是_______________．（写序号）
（1）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
（2）等腰三角形两腰上的高线相等；
（3）若三条线段是三角形的三边，则这三条线段满足；
（4）角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．
（5）全等三角形的面积相等．
【答案与解析】
1．（1）、（2）、（4）
解:（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，逆命题是两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，是真命题；21·cn·jy·com
（2）等腰三角形两腰上的高线相等，逆命题是两边上的高线相等的三角形是等腰三角形，是真命题；
（3）若三条线段是三角形的三边，则这三条线段满足，逆命题是若三条线段满足，则这三条线段是三角形的三边，是假命题；21·世纪*教育网
（4）角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，逆命题是在角的平分线上的点到角的两边的距离相等，是真命题；2-1-c-n-j-y
（5）全等三角形的面积相等，逆命题是面积相等的三角形是全等三角形，是假命题；
故答案为：（1）（2）（4）
【总结升华】本题考查的是 ( http: / / www.21cnjy.com )逆命题的概念、涉及勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定、三角形的三边的关系、角平分线的的判定、全等三角形的判定等知识，到命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．www-2-1-cnjy-com
【训练】下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号）
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形．
【答案】①④
提示：①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长满足”也是正确的.21教育网
【类型】二、勾股定理的逆定理
例2、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．
（1）＝7，＝24，＝25；
（2）＝，＝1，＝；
（3），，()；
【思路点拨】判断三条线段能否 ( http: / / www.21cnjy.com )组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．
【答案与解析】
解：（1）∵ ，，
∴ ．
∴ 由线段组成的三角形是直角三角形．
（2）∵ ，，，
∴ ．
∴ 由线段组成的三角形不是直角三角形．
（3）∵ ，
∴ ，．
∵，
，
∴ ．
∴ 由线段组成的三角形是直角三角形．
【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证与是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形．
【训练】判断以线段为边的△ABC是不是直角三角形，其中，，．
【答案】
解：由于，因此为最大边，只需看是否等于即可．
∵ ，，，∴ ，
∴ 以线段为边能构成以为斜边的直角三角形．
【训练】下列四组数：①5 ( http: / / www.21cnjy.com )，12，13；②7，24，25；③1，2，4；④5，6，8．其中可以为直角三角形三边长的有　 　．（把所有你认为正确的序号都写上）2·1·c·n·j·y
【答案】①②；
解：①∵52+122=132，能构成直角三角形；
②72+242=252，能构成直角三角形；
③12+22≠42，不能构成直角三角形；
④52+62≠82，不能构成直角三角形．
所以①②．
故答案为：①②．
例3、已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【思路点拨】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．21*cnjy*com
【答案与解析】
解：连接AC．
∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，
∴AC==，
在△ACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=AB BC+AC CD，
=×1×2+××2，
=1+．
故四边形ABCD的面积为1+．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【总结升华】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
【训练】如图所示，在梯形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
解：EC⊥EB．
过点C作CF⊥AB于F，则四边形AFCD是矩形，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在Rt△BCF中，可得CF＝．
则AD＝CF＝，故DE＝AE＝AD＝．
在Rt△ABE和Rt△DCE中，
，．
∴ ．
∵ BC＝3，∴ ．
∴ ∠CEB＝90°，∴ EB⊥EC．
【类型】三、勾股定理逆定理的实际应用
例4、“远航”号、“海天 ( http: / / www.21cnjy.com )”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【版权所有：21教育】
【思路点拨】我们可以根据题意画出如图所示的图形，可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船所成的角，就能知道“海天”号的航向了．21教育名师原创作品
【答案与解析】
解：根据题意可画出上图，
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PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30，
在△PQR中，
，
∴ ．
∴ △PQR是直角三角形且∠RPQ＝90°．
又∵ “远航”号沿东北方向航行，可知∠QPN＝45°，
∴ ∠RPN＝45°．
由此可知“海天”号沿西北方向航行．也可沿东南方向航行．
【总结升华】根据勾股定理的逆定理，可判断一个角是不是90°，这里需注意与东北方向成90°角的有两个方向，即西北方向或东南方向．21*cnjy*com
【训练】如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，电C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在同一条直线上），并新修一条路，已知千米，千米，千米．
（1）是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
（2）求新路比原路少多少干米？
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解:（1）∵在中，，
又，
是以为直角的直角三角形，
，
∵点到直线垂线段的长度最短，
是村庄C到河边的最近路．
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（2）设，
千米，
千米，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
千米，
比少千米．
【点睛】此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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