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者的游览目的地.今有一旅游团乘游船从奥体公同码头出发顺流而下至漕运码头，又立
驻马店市2021~2022学年度第一学期期终考试
即逆水返回奥体公园码头.已知游船在顺水中的速度为V:,在逆水中的速度为V2(V:≠
高二（理科）数学试题
V,),则游船此次行程的平均速度V与V,V的大小关系是
2
本试题卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答
A.v2
B.V&V+v,
2
在答题卡上，在本试题卷上答题无效。
C.v>V.+V:
注意事项：
2
DV-V+V,
2
1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写（涂）在答题卡上。考生要认真核对答题
卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2已知命题：？<加<3是方程二十”n-1表示循园”的充要系件，金题：-
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
ac是a,b,c成等比数列”的必要不充分条件，则下列命题中为真命题的是
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第川卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试
A.p A g
B.p V-g
C.7卫V-g
D.p Ag
题上作答·答案无效。
8,如右图，面。与面3所成二面角的大小为写，且A,B为其棱上两
3.考试结束，监考教师将答题卡收回。
点.直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面中，且都垂直
第I卷（选择题共60分）
于AB,已知AB=2,AC=2,BD=4,则CD=
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
A.w22
B.√/14
是符合题目要求的.
C.30
D.210
1.若a0,-1b0,则有
A.aab ab
B.a abab C.aba ab
D.ab aba
9已知抛物线C:y-r,则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数
2.已知命题p:了xa∈(10，+)，lgxa>1,则命题p的否定为
A.Hx∈(10，+∞)，lgx1
B.x∈(10，+o),lgx>1
A.4037
B.4044
C.2019
D.2022
C.Hx(10,+o∞)，lgx>1
D.xt(10,+),lgx1
10.如右图，边长为2的正方体ABCD一A:B,C:D1中，O是正方体的
D
3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(a十c一b)(a+c十b)=3ac.则A十C
中心，M,N,T分别是棱BC,C1D1,AA:的中点，下列说法错误
的大小为
的是
AS
c
D唔
A.0i.AD)-号
B.OM+ON+OT-0
4.已知等差数列{am}中，a2,a8是2x2一16x一1=0的两根，则(a3-a7)一a:=
C.OM.ON =-1
D,B,到平面MON的距离为1
A.248
B.60
C.12
D.4
11.已知正项等比数列a.}的前n项和为Sn,且Ss=2S十4，则a,十a十ag的最小值为
2x十y-40
A.12
B.16
C.20
D.24
5.设实数x,y满足2x一y十1≥0，则日标函数=43y的最大值是
x-2y+2≤0
12设FR:为议商线若-票-=1a>0,6>0的上，下两个焦点，过R,的直线1交该双
A号
C.16
D.32
曲线的下支于A,B两点，且满足AF·AF:-0,AF-号F,店，则双曲线的离心率为
6.中国大运河项目成功入选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项日，随着对大
A①0
2
B.5
C.10
运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游
0哈
高二数学（理科）第1页（共4页）
高二数学（理科）第2页（共4页）高二数学理科参考答案
一．选择题
1-5 DABBC 6-10 ACBAD 11-12 BA
二 填空题
2 2
13.2 14. x y 1 15. 4 16. 81
3 (3n 1 2n 3)
2 2 5 4
三．解答题（注：使用其它方法时，若解答的步骤推理、计算也正确，仍按点对应给分。）
17.解:由 x2 3x 2 0 ，得1 x 2，
设命题q对应的集合为 A x1 x 2 .........2 分
设命题 p对应的集合为 B， p是q的必要条件，则A B .........4 分
由a22x (a 2)2x 2 0，得 a2x 2 2x 1 0，2x 1 0 .........6 分
法 1：若a 0时, a2x 2 0， x R, A B,显然成立； .........7 分
a 0 log 2 2, 0 a 1若 2 .........9 分a 2
1 .........10 分
综上：a .
2
法2：a2 x 2 0,在 1，2 恒成立 ......... 7分
a 2 1
x 1
即 x f (x)......... 8分2 2
f (x)在 1，2 单调递减
a 1 ......... 10分
2
18. 2 3 3 3 4 b, bsin AcosC csinBcosA 3 b
2 2 2 ...............1 分
a b c
有正弦定理 得， ..............2 分
sin A sin B sinC
sinBsin AcosC sinC sinBcosA 3 sinB ...............3 分
2
sinB 0, sin AcosC 3 sinC cosA
2
sin(A C) sin( B) sinB 3 ........................5 分
2

又a b,所以0 B ,可得B ......................6 分
2 3
B （Ⅱ）由上可知
3
余弦定理b2 a2 c2 2ac cos B,16 a2 c2 ac ...........①. ............8 分
S 1 ABC acsinB
3
ac 4 3，ac 16
2 4 ............... ...② ............10 分
由① ②可得： a c b 4 ............11 分
所以该三角形为等边三角形 ............12 分
k
19、（Ⅰ）由题设知建筑物每年的能源消耗费用为C(x) (0 x 10)
3x 5
由C(0) 8，得 k 40 C(x) 40
3x 5 .. ........2 分
而隔热层建造费用为C1(x) 6x
........4 分
f (x) 20C(x) C (x) 800 1 6x(0 x 10)3x 5 ........6 分
f (x) 800 1600（Ⅱ） 6x 6x 10 10
3x 5 6x 10 ........8 分
2 ( 1600 )(6x 10) 10 70
6x 10 ........10 分
1600
当且仅当 6x 10，即 x 5时取等号
6x 10
当隔热层修建厚度为 5cm 时，总费用最小，最小值为 70 万元.........12 分
20 解：（1）证明：在正△PAD中，M为PD的中点，∴ AM PD ........1 分
∵平面PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD，且CD AD .
∴CD 平面PAD ........................3 分
又∵ AM 平面PAD
∴CD AM . 又∵ AM PD，且CD PD D .
∴ AM 平面 PCD .....................5 分
（Ⅱ）如图，取 AD的中点为O ，连接 PO，在正△PAD中， PO AD，
平面PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD，
∴PO 平面 ABCD， ..............6 分
连 接 OB , 则 PBO 为 PB 与 底 面 ABCD 15所 成 角 的 正 切 值 为 . 不 妨 取 AB 2 ，
5
AD 2x,OB 4 x2 , tan PBO PO 3x 15 , x 1 ...........8 分
OB 4 x2 5
法 1：以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系O xyz，则有O 0,0,0 ， A 1,0,0 ， B 1,2,0 ，

C 1,2,0 ，D 1,0,0 ， P 0, 0, 3 ，∴BC 2,0,0 ， BP 1, 2, 3


设面PBC 的一个法向量为m m BC 2x 0x, y,z ，则由 .........9 分
m BP x 2y 3z 0
r
令 z 2，则m 0, 3, 2 ，又因为OP 面 ABCD，

取OP 0, 0, 3 作为面 ABCD的一个法向量， .....................10 分
设二面角 P BC A为 ,
r uuur
m OP
cos 2 3 2 7∴ r uuur ， ..........................11 分
m OP 7 3 7
sin 21 P BC D 21∴ ，因此二面角 的正弦值为 . ..................12 分
7 7
法 2：取 BC 得中点E，连接OE,PE OE BC
PO 面ABCD PE OE, PEO为二面角P BC D的平面角 ........10 分
在 POE中，PO 3,OE 2 PE 7,sin PEO 3 21 ...........12 分
7 7
T (n 2)a (n 2)a a a
21.解：（Ⅰ）选①： n 1 n 即a nn 1 n 1 nTn n n n 2 n
a a a
即 n 1 n 数列
n 2
n 是常数列
（ ）(n 1) (n 1)n (n 1)n
a a a n(n 1) ........................4 分
n 1 1 n
(n 1)n 2 1
选②： 3Sn (n 2)an n 2时，3Sn 1 (n 1)an 1
则3an (n 2)an (n 1)an 1 即(n 1)an (n 1)an 1
an (n 1) (n 1) n 4 3 an a n(n 1)an 1 (n 1) (n 1) n 2 2 1
1
当n 1时，a 2也满足 a n(n 1) ........................4 分1 n
a a
选③：得 n 1 n 1
n 1 n ，
an
所以数列 n 是等差数列，首项为 2，公差为 1.
则 a ......................4 分n 2 (n 1) n 1 an n(n 1)
n
（Ⅱ）由(1)知当n 2时，an 1 (n 1)n cn n(n 1) (n 1)n 2n
又 n 1时，a 2 2 1 c ,符合上式 c 2n .................6 分1 1 n
1
dn 2n ( )
n n (1)n 1
2 2
M 1 (1)0 2 (1)1 3 1 1 1 n ( )
2 (n 1) ( )n 2 n ( )n 1
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 .............8 分
而 M 1 ( )1 2 ( )2 3 ( )3 (n 1) ( )n 1 1 n
2 n
n ( )
2 2 2 2 2
1M (1)0 (1)1 (1 1相减得 )2 ( )n 2 (1 )n 1 1n n ( )
n
2 2 2 2 2 2 2
1 ................10 分1 [1 ( )n ]
2 1 n 1 11 n ( ) 2 2 ( )
n n ( )n
1 2 2 2
2
2 (2 n)(1)n
2
1 n 2 ...........12 分
M n 4 2(2 n)( )
n 4
2 2n 1
22.解：（1）连接 AQ，有题意知： AQ PQ .................1 分
BQ AQ BQ PQ BP 2 2 AB 2 .................3 分
即Q的轨迹为一椭圆，其中 a 2,c 1,b2 a2 c2 1 .................4 分
x2
所以椭圆C的标准方程为 y2 1 ............................................................................ 5 分
2
（Ⅱ）设点 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 )，直线 l的方程为 x my 1
x2
与椭圆 y2 1联立，消去 x整理得
2 m
2 2 y2 2my 1 0
2m 1
显然 0成立，故 y1 y2 ， y1y2 .................................................2 2 7 分m 2 m 2
由椭圆定义得△ ABF1的周长为 4a 4 2
则△ ABF S 1 31的面积 4 2
6
........................................................................... 8 分
2 4 2
1 6
又由 S | F F
2 1 2
| y2 y1 | y1 y2 |，得 y2 y1 ..................................................9 分2
2
从而得 y2 y1
2 4y1y
3 2m 4 3
2 ，即2

m2 2 m2

2 2
整理得 3m4 4m2 4 0 ，解得m2 2 ，故m 2 .....................11 分
故直线 l的方程为 x 2y 1 0 ......................................................................................12 分

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