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个性化辅导学历案
第二节 认识万有引力定律
教学目标
掌握万有引力定律的发现和内容，清楚万有引力定律的使用条件
了解卡文迪许与引力常量的测量
了解万有引力的推导思路和方法
掌握月—地检测的思路
教学重点
万有引力定律的内容
月-地检测
三．知识点精讲
知识点一：万有引力定律
内容：任何两个物体之间都存在相互作用的引力，这个力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与两物体之间距离的平方成反比。
公式：，万有引力常数G=6.67×10-11N·m2/kg2.（r为两个物体之间的距离）
【说明】
m1、m2是所研究的两个物体的质量，r是两个物体质心的距离。
G=6.67×10-11N·m2/kg2的意义：质量都是1kg的质点相距1m时相互吸引力为6.67×10-11N。
r的含义：
质点之间的距离
质点到球心的距离
质量分布均匀的球体球心间的距离
理解：宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引作用力
知识点二：卡文迪许与引力常量的测量（了解）
卡文迪许实验
实验示意图
主要材料 金属丝 T行架、四个球 光源、直尺、平面镜
作用 扭转 放大、对称、平衡 放大
实验思想 放大法实验思想
实验的意义 证明了万有引力定律，使定律具有更广泛的实用价值。
知识点三：万有引力的推导思路和方法
看成匀速圆周运动，万有引力提供向心力， ，根据开普勒三定律，得
牛顿认为k是一个与行星无关的量，但与太阳质量有关，行星与太阳之间的万有引力属于相互作用力，而由上式可知，引力F与行星质量m成正比，自然也应该与太阳质量M有关，即，所以，写成等式得：，G为常量
注意：运用了类比思想。
知识点四：月—地检验
牛顿认为：太阳与行星之间的引力、行星与卫星之间的引力以及地球作用于物体上的重力都是同种性质的力。
根据上述引力公式，对“月—地系统”和地面上的物体分别可得到：
，（是地球对月球的重力加速度，g是地球对地表物体的重力加速度）
由计算得到加速度与用求得的加速度结果完全相符，这表明万有引力公式是可靠的。
四．典型例题练习
典型例题一：引力常量的测量
1．测定出万有引力常量的科学家是（　　）
A．牛顿 B．卡文迪许 C．开普勒 D．亚里士多德
（多选）2．关于引力常量G，下列说法中正确的是（　　）
A．G值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值
B．引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
C．引力常量G在数值上等于两个质量都是1kg的可视为质点的物体相距1m时的相互吸引力
D．引力常量G是不变的，其数值大小由卡文迪许测出，与单位制的选择无关
（多选）3．物理学中的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量就是其中之一。1687年牛顿发现了万有引力定律，但并没有得出引力常量。直到1798年，卡文迪许首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量。关于这段历史，下列说法正确的是（　　）
A．卡文迪许被称为“首个测量地球质量的人”
B．万有引力定律是牛顿和卡文迪许共同发现的
C．这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度
D．引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小
典型例题二：万有引力的公式和计算万有引力的大小
1.两个质量相等的球形物体，两球心相距r，它们之间的万有引力为F。若它们的质量都加倍，其余不变，它们之间的作用力为（　　）
A． 4F B．F C． D．
2．2021年4 月 29 日 11 时 22 分我国空间站“天和”核心舱发射成功。在地球引力作用下，绕地球做匀速圆周运动，已知地球的质量为M，地球的半径为R，“天和”的质量为m，离地面的高度为h，引力常量为G，则地球对“天和”的万有引力大小为（　　）
A． B． C． D．
3．对于太阳与行星间引力的表述式，下面说法中正确的是（ ）
A．公式中G为引力常量，它是牛顿测量出来的的
B．当r趋近于零时，太阳与行星间的引力趋于无穷大
C．太阳与行星受到的引力总是大小相等的、方向相反，是一对平衡力
D．太阳与行星受到的引力总是大小相等的、方向相反，是一对作用力与反作用力
4．一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如图所示．已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d＝6r处有一质量为m2的质点．已知万有引力常量为G，球的体积与半径关系为．求：
（1）被挖去的小球对m2的万有引力为多大？
（2）剩余部分对m2的万有引力为多大？
典型例题三：月-地检测
1．人们在发现万有引力定律的过程中进行了“地—月检测”，分别用v、、T、a、r表示物体的线速度、角速度、周期、加速度和到地心的距离，那么检测的是（　　）
A． B． C． D．
基础知识过关检测
一．单选题
1．两个相距为r的小物体，它们之间的万有引力为F，若保持距离不变，将它们的质量都增大3倍，那么它们之间万有引力的大小将变为（　　）
A． B．
C． D．
2．要使相距较远的两物体间的万有引力增加到原来的4倍，下列方法不可行的是（　　）
A．使两物体的质量各变成原来2倍，距离不变
B．使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变
C．使两物体间的距离减少为原来的，质量不变
D．使两物体间的距离和两个物体质量都减少原来的
3．下列关于万有引力定律的说法中正确的是（ ）
A．公式中的G是一个比例系数，它没有单位
B．公式中的G是引力恒量，这是由实验得出的而不是人为规定的
C．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
4．2018年12月8日，我国发射的嫦娥四号探测器成功升空，实现了人类首次探访月球背面.在嫦娥四号逐渐远离地球，飞向月球的过程中（ ）
A．地球对嫦娥四号的引力增大 B．地球对嫦娥四号的引力减小
C．月球对嫦娥四号的引力减小 D．月球对嫦娥四号的引力不变
5．甲、乙两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其质量m甲=2.5m乙，轨道半径r甲=0.5r乙，则甲、乙两颗卫星所受万有引力的大小之比为（　　）
A．5：1 B．2.5：1
C．8：1 D．10：1
6．如图所示，a、b、c是以O为圆心的三个圆上的点，物体A固定在O点，将另一物体B先后放置在a、b、c三处，A、B两物体均可视为质点。比较物体B在这三处受到A的万有引力大小。下列判断正确的是（　　）
A．a处最大 B．b处最大
C．c处最大 D．三处一样大
7．已知地球质量为，半径为，引力常量为。质量为的导弹被发射到离地面高度为时，受到地球的万有引力大小为（　　）
A． B． C． D．
8．如图所示，两质量均匀分布的小球半径分别为R1、R2，相距R，质量为m1、m2，则两球间的万有引力大小为（　　）
A． B． C． D．
9．地球、月亮的质量分别为M、m。嫦娥五号从地球奔向月球过程中，当它所受到的地球、月球的引力的合力为零时，它与地球中心的距离和它到月球中心的距离之比为（　　）
A． B． C． D．
10．如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r=，则原球体剩余部分对质点P的万有引力大小变为（　　）
A．F B．F C．F D．F
二．解答题
11．如图所示，两个质量均匀的小球，质量为m，半径为r，两球之间用细杆AB相连，AB长度也为r。某同学认为两球之间的万有引力该同学的看法是否正确？请说明理由。
12．最近几十年，人们对探测火星十分感兴趣，先后曾发射过许多探测器。称为“火星探路者”的火星探测器曾于1997年登上火星。2004年，又有“勇气”号和“机遇”号探测器登上火星。已知地球质量约是火星质量的9.3倍，地球直径约是火星直径的1.9倍。探测器在地球表面和火星表面所受引力大小的比值是多少？
13．如图所示，在距一质量为m0、半径为R、密度均匀的大球体R处有一质量为m的质点，此时大球体对质点的万有引力为F1，当从大球体中挖去一半径为的小球体后（空腔的表面与大球体表面相切），剩下部分对质点的万有引力为F2，求F1：F2。
基础知识过关检测——【答案解析】
1．A
【解析】
甲、乙两个质点相距为r时，它们之间的万有引力大小为
若保持它们各自的距离不变，将它们之间的质量增大3倍，则甲、乙两个质点间的万有引力大小为
故A正确，BCD错误。
故选A。
2．D
【解析】
A．根据万有引力定律公式
可知，使两物体的质量各变成原来2倍，距离不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故可行，A错误；
B．根据万有引力定律公式
可知，使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故可行，B错误；
C．根据万有引力定律公式
可知，使两物体间的距离减少为原来的，质量不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故可行，C错误；
D．根据万有引力定律公式
可知，使两物体间的距离和两个物体质量都减少原来的，两物体间的万有引力不变，故不可行，D正确。
故选D。
3．B
【解析】
A．公式
中的G是一个比例系数，由公式知G的单位是，故A错误。
B．公式
中的G是引力恒量，G值首先是由卡文迪许测出的，而不是人为规定的，故B正确。
C．公式
适用于质点间引力的计算，当两物体间的距离r趋于零时，物体不能看成质点，该公式不再适用，所以得不出万有引力趋于无穷大的结论。故C错误；
D．两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力与反作用力。故D错误。
故选B。
4．B
【解析】
嫦娥四号逐渐远离地球，飞向月球的过程中，离地球越来越远，离月球越来越近，由万有引力定律
地球对嫦娥四号的引力由于r变大，所以引力变小，月球对嫦娥四号的引力由于r减小，所以引力变大，故B正确，ACD错误。
故选B。
5．D
【解析】
设地球的质量为M，根据万有引力定律，卫星受到的万有引力为
由于其质量m甲=2.5m乙，轨道半径r甲=0.5r乙，则甲、乙两颗卫星所受万有引力的大小之比为10：1，故D正确。
故选D。
6．C
【解析】
由万有引力公式得
可知，距离越小，万有引力越大，即c处最大。故ABD错误，C正确。
故选C。
7．A
【解析】
【详解】
导弹被发射到离地面高度为时，距离地球球心为（R+h）,根据万有引力公式可得导弹受到地球的万有引力大小为
故选A。
8．B
【解析】
两质量均匀分布的小球可以看作位于球心的质点，两球间的万有引力大小为
故选B。
9．A
【解析】
设飞船到地球中心的距离与到月球中心的距离分别为、，飞船质量为′，飞船所受地球、月球引力平衡
解得
故选A。
10．C
【解析】
设原球体的质量为M，质点P的质量为m0，球心与质点P的距离为L。根据
m=ρπr3
知挖去部分的小球的质量
m=M
未挖时，原球体对质点P的引力
F=G
挖去的部分对质点P的引力
F'=F
则剩余部分对质点P的引力
F″=F-F'=F
故选C。
11．该同学看法不正确，理由见详解
【解析】
该同学看法不正确，对于质量均匀分布的球体，万有引力公式中的r是两球心间的距离。两球之间的万有引力应为
12．2.6
【解析】
设探测器的质量为m，根据万有引力定律，它在地面和火星表面分别受到地球和火星的引力大小为
和
所以
即探测器在地球表面受到的引力大小是在火星表面所受到的2.6倍。
13．
【解析】
质点与大球球心相距2R，其万有引力为F1，则有
F1=
大球质量为
M=ρ×πR3
挖去的小球质量为
M′=ρ×π
即
M′=ρ×πR3=
小球球心与质点间相距，小球与质点间的万有引力为
F1′=
则剩余部分对质点m的万有引力为
F2=F1-F1′=-=
故有
能力提升检测练习
一．单选题
1．有关万有引力的说法中，正确的有（　　）
A．万有引力定律是卡文迪许在做扭称实验时发现的
B．中的G是比例常数，适用于任何两个物体之间，它没有单位
C．物体落到地面上，说明地球对物体有引力，物体对地球没有引力
D．地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，都是因为受地球引力作用
2．下列关于万有引力定律的说法中，正确的是（　　）
①万有引力定开普勒在实验室发现的
②对于相距很远、可以看成质点的两个物体，万有引力定律 中的r是两质点间的距离
③对于质量分布均匀的球体，公式中的r是两球心间的距离
④质量大的物体对质量小的物体的引力大于质量小的物体对质量大的物体的引力．
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
3．关于万有引力定律及万有引力定律的表达式，下列说法正确的是（　　）
A．万有引力定律告诉我们：物体间引力的大小与两物体的质量成正比，与两物体间的距离成反比
B．引力常量G值的大小与中心天体的选择有关
C．由可知两物体间的距离r减小时，它们之间的引力增大，距离r趋于零时，万有引力无限大
D．由万有引力定律的表达式可知，两物体之间的万有引力总是大小相等，与m1、m2是否相等无关
4．已知某星球的质量是地球质量的，直径是地球直径的，一名宇航员来到该星球，宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力大小的（　　）
A． B． C．2倍 D．4倍
5．飞船运行到地球和月球间某处时，飞船所受地球、月球引力的合力恰好为零。已知地球与月球质量之比为，则在该处时，飞船到地球中心的距离与到月球中心的距离之比为（　　）
A． B． C． D．
6．如图所示，质量分布均匀的两球最近处相距为球的质量为 半径为，球的质量为，半径为，则两球间的万有引力大小为（　　）
A． B． C． D．
7．如图所示，两个实心球的半径分别为r1 = 0.60m、r2 = 0.40m，其质量分别为m1 = 4.0kg、m2 = 1.0kg且两实心球的质量分布不均匀（两球外侧密度大）。两球间的距离r0 = 1.0m，则两球间万有引力的大小（ ）
A．等于6.67 × 10﹣11N B．小于6.67 × 10﹣11N
C．大于6.67 × 10﹣11N D．不能确定
8．1687年牛顿在总结了前人研究成果的基础上提出了万有引力定律，并通过月—地检验证明了地球对地面物体的引力与行星对卫星的引力具有相同的性质。当时牛顿掌握的信息有：地球表面的重力加速度g=9.8m/s2，月球绕地球做圆周运动的轨道半径为，约为地球半径的60倍，月球的公转周期约为27.3天。下列关于月—地检验的说法中正确的是（　　）
A．牛顿计算出了月球对月球表面物体的万有引力的数值，从而完成了月—地检验
B．牛顿计算出了地球表面重力加速度约为月球绕地球做圆周运动的加速度的，从而完成了月—地检验
C．牛顿“月—地检验”是为了验证地面上物体的重力与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是同一种性质力
D．牛顿计算出了月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的，从而完成了月—地检验
9．牛顿在发现万有引力定律后曾思考过这样一个问题：假设地球是一个质量均匀分布的球体，已知质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零．沿地球的南北极打一个内壁光滑的洞，在洞的上端无初速释放一个小球（小球的直径略小于洞的直径），在小球向下端运动的过程中，你可能不会推导小球速度随时间变化的表示式，但是你可以用所学过的物理知识定性画出小球的速度与时间图象，取向下为正方向，则下列图象中正确的是（　　）
A．B．C．D．
10．在半径为、质量为、质量分布均匀的铜球中挖去一个半径为的球形部分，留下的空穴与铜球表面相切。在铜球外有一个质量为、可视为质点的小球，它位于铜球、空穴球心连线的延长线上，到铜球球心的距离为。挖去后铜球剩余部分对小球吸引力的大小是（　　）
A． B． C． D．
二．解答题
11．2016年9月15日，“天宫二号”空间实验室发射成功。10月19日“神舟十一号”飞船与在距地面高度为h的圆轨道上运行的“天宫二号”交会对接成功，如图所示．航天员景海鹏、陈冬进入“天宫二号”，驻留时长为t。已知地球质量为M，地球半径为R，“天宫二号”的质量为m，引力常量为G．求：
（1）“天宫二号”受到地球引力的大小。
（2）“天宫二号”绕地球运行的向心加速度的大小。
（3）“天宫二号”在航天员驻留时间t内通过的路程。
12．牛顿做过著名的“月-地”检验，得出重力和星体间的引力是同一性质的力的重要事实，请运用所给数据请进行月-地检验。（如果重力和星体间的引力是同一性质的力，都与距离有一定的关系，那么月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度就应该与地面重力加速度的应该有相同的比例关系），月球轨道半径即月-地的距离r为地球半径R的60倍，地球半径R=6.4×106m，月球的公转周期T=27天，重力加速度g=9.8m/s2。
能力提升检测练习——【答案解析】
1．D
【解析】
A．万有引力定律是牛顿发现的，而引力常量是卡文迪许利用扭称实验得出的，A错误；
B．中的G是比例常数，适用于任何两个物体之间，它的单位是，B错误；
C．物体落到地面上，说明地球对物体有引力，而力是相互的，物体对地球也有引力，C错误；
D．地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，都是因为受地球引力作用，D正确。
故选D。
2．C
【解析】
①万有引力定律是牛顿发现的，①错误；
②对于相距很远、可以看成质点的两个物体，万有引力定律
中的r是两质点间的距离，②正确；
③对于质量分布均匀的球体，公式中的r是两球心间的距离，③正确；
④物体之间的万有引力是作用力和反作用力，不论质量大小，两物体之间的万有引力总是大小相等，④正确。
故选C。
3．D
【解析】
A．由万有引力公式
可知：物体间引力的大小与两物体的质量的乘积成正比，与两物体间的距离的平方成反比， A错误；
B．引力常量G值大小与中心天体选择无关，B错误；
C．当两物体间距离r趋于零时，万有引力定律不再适用，C错误；
D．由万有引力定律的表达式
可知，两物体之间的万有引力是相互作用力总是大小相等方向相反，与m1、m2是否相等无关，D正确。
故选D。
4．B
【解析】
设宇航员的质量为m，则在地球表面上所受万有引力大小为
在某表面上所受万有引力的大小为
故选B。
5．C
【解析】
设地球质量与月球质量分别为、，飞船到地球中心的距离与到月球中心的距离分别为、，飞船质量为，飞船所受地球、月球引力平衡
解得
故选C。
6．D
【解析】
两球球心间的距离为
则两球间的万有引力
故选D。
7．B
【解析】
两球心间的距离为
R = r1 + r2 + r0 = 2.0m
若两球可以看做质点，两球间的引力为
F = G
代入数据可得
F = 6.67 × 10 - 11N
由于两实心球的质量分布不均匀（两球外侧密度大），所以两球重心间距离大于2.0m，故两球间的引力小于6.67 × 10 - 11N。
故选B。
8．C
【解析】
AD．当时牛顿并没有测量出万有引力常量的值，所以牛顿并没有计算出地球对月球的万有引力的数值和月球对月球表面物体的万有引力的数值，也不能计算出月球表面的重力加速度，故AD错误；
BC．设月球的质量为m，地球质量为M，地球表面物体的质量为m′，地球半径为R，月球轨道半径r＝60R，月球绕地球做圆周运动时的加速度为a，若地球对地面物体的引力与行星对卫星的力、太阳吸引行星的力具有相同的性质，由牛顿第二定律有
则
由圆周运动的知识可知
代入数据得
在误差允许的范围内
则完成了月—地检验，故B错误，C正确。
故选C。
9．B
【解析】
由题意可知，小球在光滑的洞中运动时，所受万有引力的合力先变小后变大，速度先增大后减小，在地心处时速度最大，加速度为零。
故选B。
10．D
【解析】
根据
内部挖去一个半径为的球形空穴，则挖去质量为M′
在没有挖去前，大球对m的万有引力为
挖去部分对m的万有引力
则剩余部分对质点的引力大小
11．（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）根据万有引力定律可得“天宫二号”受到地球施加的引力大小为
（2）根据牛顿第二定律可得绕地球运行的向心加速度的大小为
（3）根据万有引力提供向心力可得
解得
在驻留时间t内通过的路程为
12．见解析
【解析】
如果重力和月球受到的地球作用力均为地球与它们之间的万有引力，则根据万有引力定律提供向心力得
解得
则
月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度为
则
说明重力和星体间的引力是同一性质的力。

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